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专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练
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专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）
专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值
典例1 （大城县校级四模）设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，则m2−n2mn的值等于（ ）
A．23 B．3 C．6 D．3
思路引领：由m2+n2＝4mn得（m﹣n）2＝2mn、（m+n）2＝6mn，根据m＞0、n＞0可得m﹣n=2mn、m+n=6mn，代入到m2−n2mn=(m+n)(m−n)mn计算可得．
解：∵m2+n2＝4mn，
∴m2﹣4mn+n2＝0，
∴（m﹣n）2＝2mn，（m+n）2＝6mn，
∵m＞0，n＞0，
∴m﹣n=2mn，m+n=6mn
则m2−n2mn=(m+n)(m−n)mn=6mn⋅2mnmn=23，
故选：A．
总结提升：本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n、m﹣n的值是关键．
变式训练
1．（达州中考）已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则mn+n+1n的值为 ．
思路引领：将n2+2n﹣1＝0变形为1n2_2n−1＝0，据此可得m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+1n=2，代入mn+n+1n=m+1+1n可得．
解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+2n−1n2=0．
∴1n2−2n−1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠1n．
∴m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+1n=2．
∴mn+n+1n=m+1+1n=2+1＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．
2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a﹣3b+1＝0，则代数式6a﹣9b+1＝ ．
思路引领：首先由已知可得2a﹣3b＝﹣1，将2a﹣3b＝﹣1代入6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1即可．
解：∵2a﹣3b+1＝0，
∴2a﹣3b＝﹣1，
∴6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：本题主要考查了代数式求值，运用整体代入思想是解答此题的关键．
3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：
已知实数a、b满足a+b＝8，ab＝15，且a＞b，求a﹣b的值．
解：因为a+b＝8，ab＝15，
所以：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×15＝4因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以a﹣b＝2．
请利用上面的解法，解答下面的问题．
已知实数x满足x−1x=8，且x＜0，求x+1x的值．
思路引领：直接利用完全平方公式将原式变形得出x2+1x2=10，进而求出答案．
解：∵x−1x=8，
∵（x−1x）2＝8，
∴x2+1x2−2＝8，
∴x2+1x2=10，
∴（x+1x）2＝x2+1x2+2＝12，
∴x+1x=±23，
∵x＜0，
∴x+1x=−23．
总结提升：此题主要考查了完全平方公式应用，得出x2+1x2的值是解题关键．
类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值
典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 ．
思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣2
＝m2+2m﹣2+4m﹣2
＝m2+6m﹣4
＝m2+6m+9﹣13
＝（m+3）2﹣13，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣13≥3，即代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于3．
总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
变式训练
1．（2022•蓝山县校级开学）若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 ．
思路引领：根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m﹣1）2+（n﹣1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解．
解：由题意，得m+n＝2a，mn＝1，
则（m﹣1）2+（n﹣1）2
＝m2+n2﹣2（m+n）+2
＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2
＝4a2﹣4a，
＝4（a−12）2﹣1，
∵a≥1，
∴a＝1时，（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为0．
故答案为0．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了二次函数的最值问题．
2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意上述等式成立，
∴a+1=−1a+b=3解得：a=−2b=5．
∴x2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
这样，分式x2−x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
（1）将分式x2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式2x2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．
思路引领：（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
（2）利用题干中的方法将分式2x2−x−12x−3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
解：（1）由分母x﹣1，可设x2+5x﹣4＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+5x﹣4，
＝x2+ax﹣x﹣a+b，
＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴a−1=5−a+b=−4，
解得：a=6b=2，
∴x2+5x−4x−1，
=(x−1)(x+6)+2x−1，
＝x+6+2x−1．
故答案为：x+6+2x−1．
（2）由分母x﹣3，可设2x2﹣x﹣12＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2﹣x﹣12，
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b，
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴a−6=−1−3a+b=−12，
解得a=5b=3；
∴2x2−x−12x−3，
=(x−3)(2x+a)+bx−3，
=(x−3)(2x+5)+3x−3，
＝2x+5+3x−3，
∵x为整数，分式2x2−x−12x−3的值为整数，
∴3x−3为整数，
∴x＝4或6或0或2．
总结提升：本题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，掌握题干中的方法并熟练应用是关键．
类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围
典例3（2021•杭州三模）已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0
（1）用含x的代数式分别表示a，b；
（2）当a≤4＜b时，求x的取值范围．
思路引领：（1）直接利用已知将原式变形求出答案；
（2）利用a≤4＜b得出关于x的不等式求出答案．
解：（1）由2a﹣3x+1＝0，得a=3x−12，
由3b﹣2x﹣16＝0，得b=2x+163；
（2）∵a≤4＜b，
∴a=3x−12≤4，b=2x+163＞4，
解得：﹣2＜x≤3．
总结提升：此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键．
变式训练
4．平面直角坐标系中，已知点（a，b）在双曲线上，且满足，，，求k的取值范围。
答案：0
典例4（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）指出A与C哪个大？说明理由．
思路引领：（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；
（2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．
（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）
＝a2﹣3a+7﹣a﹣2
＝a2﹣4a+5
＝（a2﹣4a+4）+1
＝（a﹣2）2+1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+1≥1，
∴B﹣A＞0，
∴B＞A；
（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）
＝a2+2a﹣18﹣a﹣2
＝a2+a﹣20
＝（a+5）（a﹣4）
∵a＞2，
∴a+5＞0，
当2＜a＜4时，a﹣4＜0，
∴C﹣A＜0，即A＞C，
当a＞4时，a﹣4＞0，
∴C﹣A＞0，即A＜C
当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．
总结提升：本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
针对训练
1．（2021秋•福清市期末）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5
∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，
因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．
思路引领：（1）将代数式a2﹣2a+2配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：a＝b+2，代入ab+c2﹣4c+5＝0中，再利用配方法即可解决问题．
解：（1）a2﹣2a+2＝（a2﹣2a+1）+1＝（a﹣1）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+1≥1，
即代数式a2﹣2a+2的最小值为1；
故答案为：1；
（2）a2+b2+11＞6a﹣2b，理由如下：
a2+b2+11﹣（6a﹣2b）
＝a2+b2+11﹣6a+2b
＝（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+1
＝（a﹣3）2+（b+1）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a2+b2+11＞6a﹣2b；
（3）∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∵ab+c2﹣4c+5＝0，
∴b（b+2）+c2﹣4c+5＝0，
∴（b+1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b+1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝﹣1，c＝2，
∴a＝﹣1+2＝1，
∴a+b+c＝1﹣1+2＝2．
总结提升：本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•遵义月考）设m，n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
思路引领：利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+2022，则m2+2m+n＝m+n+2022，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴m2+m﹣2022＝0，
∴m2＝﹣m+2022，
∴m2+2m+n＝﹣m+2022+2m+n＝m+n+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝﹣1+2022＝2021．
故选：B．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
2．（2021春•鼓楼区校级期中）若直线y＝k（x﹣1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b﹣1），则代数式k2﹣4kb+4b2的值为 ．
思路引领：由直线y＝k（x﹣1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b﹣1），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出k＝2b﹣3，进而可得出2b﹣k＝3，再将其代入k2﹣4kb+4b2＝（2b﹣k）2中即可求出结论．
解：∵直线y＝k（x﹣1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b﹣1），
∴k(a−1)+3=b+2k(a+1−1)+3=3b−1，
∴k＝2b﹣3，
∴2b﹣k＝3，
∴k2﹣4kb+4b2＝（2b﹣k）2＝32＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
3．（2022春•定远县期中）已知ab＝1，因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2①
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+b2﹣2②
所以由①得a2+b2＝（a+b）2﹣2．由②得a2+b2＝（a﹣b）2+2．
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是 ．
①a2+b2＝6；
②a4+b4＝38；
③（a+b）2＝8．
（2）已知a+b＝2，ab＝1．
①求代数式a2+b2的值；
②求代数式a4+b4的值；
③猜想代数式a2n+b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由．
思路引领：（1）根据完全平方公式分别计算即可；
（2）根据完全平方公式得到①②的值都是2，猜想③的值也是2．
解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×1＝6，故该选项正确；
②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝62﹣2（ab）2＝36﹣2×12＝34，故该选项错误；
③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×1＝8，故该选项正确．
故答案为：①③；
（2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2；
②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝22﹣2（ab）2＝22﹣2×12＝2；
③∵①②的答案都是2，
∴猜想：a2n+b2n＝2．
总结提升：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
4．（2022•襄城区模拟）已知实数a、b满足3a×32b＝27，求代数式（2a﹣b）2﹣3（a﹣b）（a+b）+8（ab﹣1）的值．
思路引领：根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：∵3a×32b＝27，
∴3a+2b＝33，
∴a+2b＝3，
原式＝4a2﹣4ab+b2﹣3（a2﹣b2）+8ab﹣8
＝4a2﹣4ab+b2﹣3a2+3b2+8ab﹣8
＝a2+4ab+4b2﹣8
＝（a+2b）2﹣8，
当a+2b＝3时，
原式＝32﹣8
＝9﹣8
＝1．
总结提升：本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
5．（2021秋•忠县期末）解答下面各题：
（1）当x取何值时，代数式x2﹣4x+6有最小值；
（2）化简：a−2a2−1÷（a﹣1−2a−1a+1）；
（3）当a为（1）中所求x的值时，算出（2）的结果．
思路引领：（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值时对应的x的值；
（2）先计算括号里的，通分后将除法化为乘法，再将分子分母分解因式约分后可得结论；
（3）将a＝2代入计算即可．
解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2≥2；
∴当x＝2时，x2﹣4x+6有最小值；
（2）a−2a2−1÷（a﹣1−2a−1a+1）
=a−2a2−1÷（a2−1a+1−2a−1a+1）
=a−2(a−1)(a+1)÷a2−1−2a+1a+1
=a−2(a−1)(a+1)•a+1a(a−2)
=1a(a−1)
=1a2−a；
（3）当a＝2时，1a(a−1)=12．
总结提升：此题考查了配方法的应用和分式的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和分解因式是解本题的关键．
6．（2022秋•北京期末）已知：P＝x+2，Q=8xx+2．
（1）当x＝1时，计算P﹣Q的值；
（2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；
（3）设y=4P−Q12，若x、y均为非零整数，求xy的值．
思路引领：（1）将x＝1代入计算P﹣Q的值即可；
（2）先求差，再比较差与0的大小关系．
（3）先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题．
解：（1）当x＝1时，
P﹣Q＝x+2−8xx+2
＝1+2−83
=13；
（2）当x＞0时，P≥Q，理由如下：
∵P﹣Q＝x+2−8xx+2
=(x+2)2−8xx+2
=(x−2)2x+2，
∵x＞0，
∴(x−2)2x+2＞0或(x−2)2x+2=0，
∴当x＞0且x≠2时，P＞Q；当x＝2时，P＝Q；
（3）∵y=4P−Q12，P＝x+2，Q=8xx+2，
∴y=4P−Q12
=4x+2−8x12(x+2)
=12−2x3(x+2)
=−2(x+2)+163(x+2)
=−23+163(x+2)，
∵x、y均为非零整数，
∴x＝﹣3时，y＝﹣6，xy＝18；
x＝﹣6时，y＝﹣2，xy＝12；
综上所述：xy的值为18或12．
总结提升：本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
7．（2022春•西乡塘区校级期末）阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ ﹣2 ，x1x2＝ −15 ．
（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
思路引领：（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−15．
（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；
（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．
解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，
∴x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−15．
故答案为：﹣2，−15；
（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，
∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，
∴m+n＝1，mn=−13，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）=−13×1=−13；
（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，
∴p+2q＝7，2pq＝2，
∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．
总结提升：本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2022•吴中区模拟）张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分：(A−x2−1x2−2x+1)÷xx+1=x+1x−1．
（1）求代数式A，并将其化简；
（2）当A＝5时，求x的值；
（3）当x=5+1时，求A的值．
思路引领：（1）根据被除式＝商×除式，被减式＝差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论可得2x+1x−1=5，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；
（3）把x的值，代入A=2x+1x−1，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
A=x+1x−1•xx+1+x2−1x2−2x+1
=xx−1+(x+1)(x−1)(x−1)2
=xx−1+x+1x−1
=x+x+1x−1
=2x+1x−1，
（2）当A＝5时，2x+1x−1=5，
2x+1＝5（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
∴x＝2是原方程的根；
（3）当x=5+1时，A=2(5+1)+15+1−1
=25+2+15
＝2+355．
总结提升：本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022秋•东城区校级期中）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．
例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，求a；
（3）求代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴．
思路引领：（1）利用配方法进行变形计算，即可解答；
（2）利用配方法将x2+2ax﹣1变形为：（x+a）2﹣1﹣a2，然后进行计算即可解答；
（3）先把原式变形为（x+1）2（x﹣4）2，然后再利用配方法把（x+1）（x﹣4）变形为（x+m）2+n的形式，即可解答．
解：（1）x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣9+5
＝（x﹣3）2﹣4，
∴该多项式的对称轴为：x＝3；
（2）x2+2ax﹣1
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣1
＝（x+a）2﹣a2﹣1，
∴该多项式的对称轴为：x＝﹣a，
∵关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，
∴a＝5；
（3）（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）
＝（x+1）2（x﹣4）2
＝[（x+1）（x﹣4）]2
＝（x2﹣3x﹣4）2
＝（x2﹣3x+94−94−4）2
＝[（x−32）2−254]2
∴对称轴为：x=32．
总结提升：本题考查了配方法的应用，轴对称的性质，熟练掌握配方法是解题的关键
专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）
专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值
典例1 （大城县校级四模）设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，则m2−n2mn的值等于（ ）
A．23 B．3 C．6 D．3
思路引领：由m2+n2＝4mn得（m﹣n）2＝2mn、（m+n）2＝6mn，根据m＞0、n＞0可得m﹣n=2mn、m+n=6mn，代入到m2−n2mn=(m+n)(m−n)mn计算可得．
解：∵m2+n2＝4mn，
∴m2﹣4mn+n2＝0，
∴（m﹣n）2＝2mn，（m+n）2＝6mn，
∵m＞0，n＞0，
∴m﹣n=2mn，m+n=6mn
则m2−n2mn=(m+n)(m−n)mn=6mn⋅2mnmn=23，
故选：A．
总结提升：本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n、m﹣n的值是关键．
变式训练
1．（达州中考）已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则mn+n+1n的值为 ．
思路引领：将n2+2n﹣1＝0变形为1n2_2n−1＝0，据此可得m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+1n=2，代入mn+n+1n=m+1+1n可得．
解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+2n−1n2=0．
∴1n2−2n−1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠1n．
∴m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+1n=2．
∴mn+n+1n=m+1+1n=2+1＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，1n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．
2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a﹣3b+1＝0，则代数式6a﹣9b+1＝ ．
思路引领：首先由已知可得2a﹣3b＝﹣1，将2a﹣3b＝﹣1代入6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1即可．
解：∵2a﹣3b+1＝0，
∴2a﹣3b＝﹣1，
∴6a﹣9b+1＝3（2a﹣3b）+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：本题主要考查了代数式求值，运用整体代入思想是解答此题的关键．
3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：
已知实数a、b满足a+b＝8，ab＝15，且a＞b，求a﹣b的值．
解：因为a+b＝8，ab＝15，
所以：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×15＝4因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以a﹣b＝2．
请利用上面的解法，解答下面的问题．
已知实数x满足x−1x=8，且x＜0，求x+1x的值．
思路引领：直接利用完全平方公式将原式变形得出x2+1x2=10，进而求出答案．
解：∵x−1x=8，
∵（x−1x）2＝8，
∴x2+1x2−2＝8，
∴x2+1x2=10，
∴（x+1x）2＝x2+1x2+2＝12，
∴x+1x=±23，
∵x＜0，
∴x+1x=−23．
总结提升：此题主要考查了完全平方公式应用，得出x2+1x2的值是解题关键．
类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值
典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于 ．
思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣2
＝m2+2m﹣2+4m﹣2
＝m2+6m﹣4
＝m2+6m+9﹣13
＝（m+3）2﹣13，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣13≥3，即代数式m2+2n2+4m﹣2的最小值等于3．
总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
变式训练
1．（2022•蓝山县校级开学）若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 ．
思路引领：根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m﹣1）2+（n﹣1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解．
解：由题意，得m+n＝2a，mn＝1，
则（m﹣1）2+（n﹣1）2
＝m2+n2﹣2（m+n）+2
＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2
＝4a2﹣4a，
＝4（a−12）2﹣1，
∵a≥1，
∴a＝1时，（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为0．
故答案为0．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了二次函数的最值问题．
2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意上述等式成立，
∴a+1=−1a+b=3解得：a=−2b=5．
∴x2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
这样，分式x2−x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
（1）将分式x2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式2x2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．
思路引领：（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
（2）利用题干中的方法将分式2x2−x−12x−3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
解：（1）由分母x﹣1，可设x2+5x﹣4＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+5x﹣4，
＝x2+ax﹣x﹣a+b，
＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴a−1=5−a+b=−4，
解得：a=6b=2，
∴x2+5x−4x−1，
=(x−1)(x+6)+2x−1，
＝x+6+2x−1．
故答案为：x+6+2x−1．
（2）由分母x﹣3，可设2x2﹣x﹣12＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2﹣x﹣12，
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b，
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴a−6=−1−3a+b=−12，
解得a=5b=3；
∴2x2−x−12x−3，
=(x−3)(2x+a)+bx−3，
=(x−3)(2x+5)+3x−3，
＝2x+5+3x−3，
∵x为整数，分式2x2−x−12x−3的值为整数，
∴3x−3为整数，
∴x＝4或6或0或2．
总结提升：本题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，掌握题干中的方法并熟练应用是关键．
类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围
典例3（2021•杭州三模）已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0
（1）用含x的代数式分别表示a，b；
（2）当a≤4＜b时，求x的取值范围．
思路引领：（1）直接利用已知将原式变形求出答案；
（2）利用a≤4＜b得出关于x的不等式求出答案．
解：（1）由2a﹣3x+1＝0，得a=3x−12，
由3b﹣2x﹣16＝0，得b=2x+163；
（2）∵a≤4＜b，
∴a=3x−12≤4，b=2x+163＞4，
解得：﹣2＜x≤3．
总结提升：此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键．
变式训练
4．平面直角坐标系中，已知点（a，b）在双曲线上，且满足，，，求k的取值范围。
答案：0
典例4（2019春•灌云县期末）已知A＝a+2，B＝a2﹣3a+7，C＝a2+2a﹣18，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）指出A与C哪个大？说明理由．
思路引领：（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；
（2）把C﹣A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．
（1）证明：B﹣A＝（a2﹣3a+7）﹣（a+2）
＝a2﹣3a+7﹣a﹣2
＝a2﹣4a+5
＝（a2﹣4a+4）+1
＝（a﹣2）2+1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+1≥1，
∴B﹣A＞0，
∴B＞A；
（2）解：C﹣A＝（a2+2a﹣18）﹣（a+2）
＝a2+2a﹣18﹣a﹣2
＝a2+a﹣20
＝（a+5）（a﹣4）
∵a＞2，
∴a+5＞0，
当2＜a＜4时，a﹣4＜0，
∴C﹣A＜0，即A＞C，
当a＞4时，a﹣4＞0，
∴C﹣A＞0，即A＜C
当a＝4时，C﹣A＝0，即A＝C．
总结提升：本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
针对训练
1．（2021秋•福清市期末）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a﹣4＝a2+2a+12﹣12﹣4＝（a+1）2﹣5
∵（a+1）2≥0，∴a2+2a﹣4＝（a+1）2﹣5≥﹣5，
因此，代数式a2+2a﹣4有最小值﹣5．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式a2﹣2a+2的最小值为 ；
（2）试比较a2+b2+11与6a﹣2b的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a﹣b＝2，ab+c2﹣4c+5＝0，求代数式a+b+c的值．
思路引领：（1）将代数式a2﹣2a+2配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：a＝b+2，代入ab+c2﹣4c+5＝0中，再利用配方法即可解决问题．
解：（1）a2﹣2a+2＝（a2﹣2a+1）+1＝（a﹣1）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+1≥1，
即代数式a2﹣2a+2的最小值为1；
故答案为：1；
（2）a2+b2+11＞6a﹣2b，理由如下：
a2+b2+11﹣（6a﹣2b）
＝a2+b2+11﹣6a+2b
＝（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+1
＝（a﹣3）2+（b+1）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴a2+b2+11＞6a﹣2b；
（3）∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∵ab+c2﹣4c+5＝0，
∴b（b+2）+c2﹣4c+5＝0，
∴（b+1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b+1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝﹣1，c＝2，
∴a＝﹣1+2＝1，
∴a+b+c＝1﹣1+2＝2．
总结提升：本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•遵义月考）设m，n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
思路引领：利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+2022，则m2+2m+n＝m+n+2022，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴m2+m﹣2022＝0，
∴m2＝﹣m+2022，
∴m2+2m+n＝﹣m+2022+2m+n＝m+n+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝﹣1+2022＝2021．
故选：B．
总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
2．（2021春•鼓楼区校级期中）若直线y＝k（x﹣1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b﹣1），则代数式k2﹣4kb+4b2的值为 ．
思路引领：由直线y＝k（x﹣1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b﹣1），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出k＝2b﹣3，进而可得出2b﹣k＝3，再将其代入k2﹣4kb+4b2＝（2b﹣k）2中即可求出结论．
解：∵直线y＝k（x﹣1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b﹣1），
∴k(a−1)+3=b+2k(a+1−1)+3=3b−1，
∴k＝2b﹣3，
∴2b﹣k＝3，
∴k2﹣4kb+4b2＝（2b﹣k）2＝32＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
3．（2022春•定远县期中）已知ab＝1，因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2①
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝a2+b2﹣2②
所以由①得a2+b2＝（a+b）2﹣2．由②得a2+b2＝（a﹣b）2+2．
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是 ．
①a2+b2＝6；
②a4+b4＝38；
③（a+b）2＝8．
（2）已知a+b＝2，ab＝1．
①求代数式a2+b2的值；
②求代数式a4+b4的值；
③猜想代数式a2n+b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由．
思路引领：（1）根据完全平方公式分别计算即可；
（2）根据完全平方公式得到①②的值都是2，猜想③的值也是2．
解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×1＝6，故该选项正确；
②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝62﹣2（ab）2＝36﹣2×12＝34，故该选项错误；
③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×1＝8，故该选项正确．
故答案为：①③；
（2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2；
②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝22﹣2（ab）2＝22﹣2×12＝2；
③∵①②的答案都是2，
∴猜想：a2n+b2n＝2．
总结提升：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
4．（2022•襄城区模拟）已知实数a、b满足3a×32b＝27，求代数式（2a﹣b）2﹣3（a﹣b）（a+b）+8（ab﹣1）的值．
思路引领：根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：∵3a×32b＝27，
∴3a+2b＝33，
∴a+2b＝3，
原式＝4a2﹣4ab+b2﹣3（a2﹣b2）+8ab﹣8
＝4a2﹣4ab+b2﹣3a2+3b2+8ab﹣8
＝a2+4ab+4b2﹣8
＝（a+2b）2﹣8，
当a+2b＝3时，
原式＝32﹣8
＝9﹣8
＝1．
总结提升：本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
5．（2021秋•忠县期末）解答下面各题：
（1）当x取何值时，代数式x2﹣4x+6有最小值；
（2）化简：a−2a2−1÷（a﹣1−2a−1a+1）；
（3）当a为（1）中所求x的值时，算出（2）的结果．
思路引领：（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值时对应的x的值；
（2）先计算括号里的，通分后将除法化为乘法，再将分子分母分解因式约分后可得结论；
（3）将a＝2代入计算即可．
解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2≥2；
∴当x＝2时，x2﹣4x+6有最小值；
（2）a−2a2−1÷（a﹣1−2a−1a+1）
=a−2a2−1÷（a2−1a+1−2a−1a+1）
=a−2(a−1)(a+1)÷a2−1−2a+1a+1
=a−2(a−1)(a+1)•a+1a(a−2)
=1a(a−1)
=1a2−a；
（3）当a＝2时，1a(a−1)=12．
总结提升：此题考查了配方法的应用和分式的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和分解因式是解本题的关键．
6．（2022秋•北京期末）已知：P＝x+2，Q=8xx+2．
（1）当x＝1时，计算P﹣Q的值；
（2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；
（3）设y=4P−Q12，若x、y均为非零整数，求xy的值．
思路引领：（1）将x＝1代入计算P﹣Q的值即可；
（2）先求差，再比较差与0的大小关系．
（3）先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题．
解：（1）当x＝1时，
P﹣Q＝x+2−8xx+2
＝1+2−83
=13；
（2）当x＞0时，P≥Q，理由如下：
∵P﹣Q＝x+2−8xx+2
=(x+2)2−8xx+2
=(x−2)2x+2，
∵x＞0，
∴(x−2)2x+2＞0或(x−2)2x+2=0，
∴当x＞0且x≠2时，P＞Q；当x＝2时，P＝Q；
（3）∵y=4P−Q12，P＝x+2，Q=8xx+2，
∴y=4P−Q12
=4x+2−8x12(x+2)
=12−2x3(x+2)
=−2(x+2)+163(x+2)
=−23+163(x+2)，
∵x、y均为非零整数，
∴x＝﹣3时，y＝﹣6，xy＝18；
x＝﹣6时，y＝﹣2，xy＝12；
综上所述：xy的值为18或12．
总结提升：本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
7．（2022春•西乡塘区校级期末）阅读材料并解决下列问题：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ ﹣2 ，x1x2＝ −15 ．
（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
思路引领：（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−15．
（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；
（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．
解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，
∴x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−15．
故答案为：﹣2，−15；
（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，
∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，
∴m+n＝1，mn=−13，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）=−13×1=−13；
（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，
∴p+2q＝7，2pq＝2，
∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．
总结提升：本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2022•吴中区模拟）张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分：(A−x2−1x2−2x+1)÷xx+1=x+1x−1．
（1）求代数式A，并将其化简；
（2）当A＝5时，求x的值；
（3）当x=5+1时，求A的值．
思路引领：（1）根据被除式＝商×除式，被减式＝差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论可得2x+1x−1=5，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；
（3）把x的值，代入A=2x+1x−1，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
A=x+1x−1•xx+1+x2−1x2−2x+1
=xx−1+(x+1)(x−1)(x−1)2
=xx−1+x+1x−1
=x+x+1x−1
=2x+1x−1，
（2）当A＝5时，2x+1x−1=5，
2x+1＝5（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
∴x＝2是原方程的根；
（3）当x=5+1时，A=2(5+1)+15+1−1
=25+2+15
＝2+355．
总结提升：本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022秋•东城区校级期中）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．
例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为0；当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，求a；
（3）求代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴．
思路引领：（1）利用配方法进行变形计算，即可解答；
（2）利用配方法将x2+2ax﹣1变形为：（x+a）2﹣1﹣a2，然后进行计算即可解答；
（3）先把原式变形为（x+1）2（x﹣4）2，然后再利用配方法把（x+1）（x﹣4）变形为（x+m）2+n的形式，即可解答．
解：（1）x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣9+5
＝（x﹣3）2﹣4，
∴该多项式的对称轴为：x＝3；
（2）x2+2ax﹣1
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣1
＝（x+a）2﹣a2﹣1，
∴该多项式的对称轴为：x＝﹣a，
∵关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，
∴a＝5；
（3）（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）
＝（x+1）2（x﹣4）2
＝[（x+1）（x﹣4）]2
＝（x2﹣3x﹣4）2
＝（x2﹣3x+94−94−4）2
＝[（x−32）2−254]2
∴对称轴为：x=32．
总结提升：本题考查了配方法的应用，轴对称的性质，熟练掌握配方法是解题的关键
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