专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧-2023年中考数学二轮专题提升训练

专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧

专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，最重要的技巧就是代数式的恒等变形．恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等．通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等．

第一部分 典例剖析＋变式训练

类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值

典例1 （大城县校级四模）

1．设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值(  )．

A．2 B． C． D．3

变式训练

（达州中考）

2．已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为_____．

（2020秋•锦江区校级期末）

3．已知2a﹣3b+1＝0，则代数式6a﹣9b+1＝__．

（2022秋•吉县期中）

4．请阅读下面解题过程：

已知实数a、b满足，且，求的值．

解：因为，

所以：，

因为，所以，所以

请利用上面的解法，解答下面的问题．

已知实数x满足，且，求的值．

类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值

典例2 （2021秋•下城区期中）

5．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于___．

变式训练

（2022•蓝山县校级开学）

6．若m，n是方程且的两个实数根，则的最小值是______．

（2022秋•海淀区校级月考）

7．阅读下列材料，并解答问题：

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母，可设；

则．

对于任意上述等式成立，

，解得：．

．

这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．

(1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；

(2)已知整数使分式的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．

类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围

典例3（2021•杭州三模）

8．已知2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0.

（1）用含x的代数式分别表示a，b；（2）当a≤4＜b时，求x的取值范围．

变式训练

9．平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且满足，，，求k的取值范围．

类型四 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小

典例4（2019春•灌云县期末）

10．已知A=a+2，B=a2﹣3a+7，C=a2+2a﹣18，其中a＞2．

（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大？说明理由．

针对训练

（2021秋•福清市期末）

11．阅读以下材料：

利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如

∵，

∴，

因此，代数式有最小值

根据以上材料，解决下列问题：

(1)代数式的最小值为　 　；

(2)试比较与的大小关系，并说明理由；

(3)已知：，求代数式的值．

第二部分 专题提优训练

（2022秋•遵义月考）

12．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

（2021春•鼓楼区校级期中）

13．若直线经过点，和，，则代数式的值为___．

（2022春•定远县期中）

14．已知ab＝1，因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2①

（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2＝a2＋b2﹣2②

所以由①得a2＋b2＝（a＋b）2﹣2，由②得a2＋b2＝（a﹣b）2＋2

试根据上面公式的变形解答下列问题：

（1）已知a﹣b＝2，ab＝1，则下列等式成立的是　   　．

①a2＋b2＝6；

②a4＋b4＝38；

③（a＋b）2＝8

（2）已知a＋b＝2，ab＝1，

①求代数式a2＋b2的值；

②求代数式a4＋b4的值；

③猜想代数式a2n＋b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由．

（2022•襄城区模拟）

15．已知实数a、b满足，求代数式的值．

（2021秋•忠县期末）

16．解答下面各题：

(1)当取何值时，代数式有最小值；

(2)化简：；

(3)当为（1）中所求的值时，算出（2）的结果．

（2022秋•北京期末）

17．已知：．

(1)当时，计算的值；

(2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；

(3)设，若x、y均为非零整数，求的值．

（2022春•西乡塘区校级期末）

18．阅读材料：材料1 若一元二次方程的两根为、，则，

材料2：已知实数、满足、，且，求的值．

          解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，

根据上述材料解决下面问题：

（1）一元二次方程的两根为、，则=      ,=        ．

（2）已知实数、满足、，且，求的值．

（3）已知实数、满足、，且，求的值．

（2022•吴中区模拟）

19．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分：

(1)求代数式A，并将其化简；

(2)当时，求x的值；

(3)当时，求A的值．

（2022秋•东城区校级期中）

20．阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如，＝＝．

观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当＝±1，即＝3或1时，的值均为0；当＝±2，即＝4或0时，的值均为3．

我们给出如下定义：

对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于＝对称，称＝是它的对称轴．例如，关于＝2对称，＝2是它的对称轴．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；

（2）若关于的多项式关于＝－5对称，则＝            ；

（3）代数式的对称轴是＝            ．

参考答案：

1．A

【分析】由求得．然后根据代数式的变形得到；最后对所求的代数式进行变形，然后通过代入法进行求值．

【详解】∵m2＋n2＝4mn，

∴，

∵，

∴ ．

∴，

∴，

∴=．

故选：A

【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式．此题对代数式进行变形时，需要熟记完全平方公式和平方差公式．

2．3

【分析】将n2+2n-1=0变形为.据此可得m，是方程x2-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，代入可得．

【详解】由n2+2n-1=0可知n≠0．

∴1+-=0．

∴，

又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠．

∴m，是方程x2-2x-1=0的两根．

∴m+=2．

∴=2+1=3，

故答案为3．

【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2-2x-1=0的两根．

3．

【分析】首先由已知可得，．再将整体代入中求值即可．

【详解】∵，

∴，

∴．

故答案为：-2．

【点睛】本题考查代数式求值．利用整体代入的思想是解答本题的关键．

4．

【分析】根据题意直接利用完全平方公式将原式变形得出，进而求出答案．

【详解】解：∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点睛】此题主要考查了完全平方公式应用，得出的值是解题关键．

5．3

【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

则

，

∵，

∴，

即代数式的最小值等于3，

故答案为：3．

【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键．

6．0

【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后把整理成含与的式子，最后整体代入，结合二次函数的性质求解即可．

【详解】∵m，n是方程的两个实数根，

∴，

∴

．

∵，，

∴当时，有最小值，最小值为．

故答案为：0．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值问题．掌握若是一元二次方程的两根则，，是解题关键．

7．(1)

(2)满足条件的整数的值为、、、 ．

【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出、的值，即可把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；

（2）仿照例题，列出方程组，求出、的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据整除运算即可解答．

【详解】（1）解：由分母，可设

则，

对于任意上述等式成立，

，解得：，

，

这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式；

（2）解：由分母，可设，

则，

∵对于任意上述等式成立，

，解得：，

，

整数使分式的值为整数，

∴为整数，

满足条件的整数、、、．

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键．

8．（1），；（2）﹣2＜x≤3．

【分析】（1）直接利用已知将原式变形求出答案；

（2）利用a≤4＜b得出关于x的不等式求出答案．

【详解】解：（1）由2a﹣3x+1＝0，得，

由3b﹣2x﹣16＝0，得；

（2）∵a≤4＜b，

∴≤4，＞4，

解得：﹣2＜x≤3．

【点睛】此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键．

9．．

【分析】结合题意，依据，可得即，由，可得，整理即可得，结合题意即可得k的取值范围．

【详解】解：，

，

，

，

，

或，

解得：或（不合题意舍去），

，

，，

，

，

，

，

，

在双曲线上，

，

．

【点睛】本题考查了反比例函数上点的特点，整式的化简及平方的非负性；解题的关键是通过平方的非负性得到．

10．（1）证明见解析，B＞A；（2）当2＜a＜4时，A＞C；当a＝4时，A＝C；当a＞4时，A＜C，理由见解析．

【分析】（1）根据题意列出式子，利用完全平方公式把式子变形，根据非负数的性质解答；

（2）把C−A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答．

【详解】解：（1）B﹣A=(a2﹣3a+7)﹣(a+2)，

=a2﹣3a+7﹣a﹣2，

=a2﹣4a+5，

=(a2﹣4a+4)+1，

=(a﹣2)2+1，

∵(a﹣2)2≥0，

∴(a﹣2)2+1≥1，

∴B﹣A＞0，

∴B＞A；

（2）C﹣A=(a2+2a﹣18)﹣(a+2)，

=a2+2a﹣18﹣a﹣2，

=a2+a﹣20，

=(a+5)(a﹣4)，

∵a＞2，

∴a+5＞0，

当2＜a＜4时，a﹣4＜0，则C﹣A＜0，即A＞C，

当a＝4时，a－4＝0，则C﹣A＝0，即A＝C，

当a＞4时，a﹣4＞0，则C﹣A＞0，即A＜C．

【点睛】本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．

11．(1)1

(2)，见解析

(3)2

【分析】（1）将代数式配方可得最值；

（2）作差并配方，可进行大小比较；

（3）变形后得：代入中，再利用配方法即可解决问题．

【详解】（1）解：，

∵，

∴，

即代数式的最小值为1；

故答案为：1；

（2），理由如下：

，

∵，

∴；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型．

12．B

【分析】由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出答案．

【详解】解：∵，是方程的两个实数根，

∴，

∴=2022-1=2021．

故选：B．

【点睛】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．

13．9

【分析】由直线经过点和，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，进而可得出，再将其代入中即可求出结论．

【详解】解：∵直线经过点和，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．

14．（1）①③；（2）①2；②2；③2

【分析】（1）根据完全平方公式分别计算即可；

（2）根据完全平方公式得到①②的值都是2，猜想③的值也是2．

【详解】解：（1）①a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×1＝6，故该选项正确；

②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝62﹣2（ab）2＝36﹣2×12＝34，故该选项错误；

③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×1＝8，故该选项正确，

故答案为：①③；

（2）①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2；

②a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝22﹣2（ab）2＝22﹣2×12＝2；

③∵①②的答案都是2，

∴猜想：a2n+b2n＝2，

理由如下：∵a＋b＝2，ab＝1，

∴（a﹣b）2＝（a+b）2－4ab

＝22－4×1

＝0，

∴a﹣b＝0，

∴a＝b＝1，

∴a2n+b2n＝12n+12n＝2．

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．

15．，1

【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、整式加减运算法则化简原式，再根据同底数幂的乘法运算法则求得a+2b=3，然后代值求解即可．

【详解】解：

=

=，

∵，

∴a+2b=3，则=9，

∴原式=9-8=1．

【点睛】本题考查整式的化简求值、同底数幂的乘法、完全平方公式和平方差公式，熟记公式和运算法则是解答的关键．

16．(1)2

(2)

(3)

【分析】（1）代数式配方变形后，利用完全平方式大于等于0，即可得出结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；

（3）把a=2代入求解即可．

【详解】（1）解：∵（x-2）2≥0，

∴x2-4x+6=x2-4x+4+2=（x-2）2+2≥2，

则当x=2时，代数式x2-4x+6的最小值；

（2）解：

；

（3）解：由（1）得a=2，

则原式=．

【点睛】第（1）题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．第（2）（3）题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

17．(1)

(2),详见解析

(3)12或18

【分析】（1）将代入计算的值即可；

（2）先求差，再比较差与0的大小关系．

（3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题．

【详解】（1）当时，

；

（2）当时，，理由如下：

，

，

或，

当且时，；当时，；

（3），，，

，

、均为非零整数，

时，，；

时，，；

综上所述：的值为18或12．

【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．

18．（1）-2，；（2）-；（3）45.

【详解】试题分析：（1）直接根据根与系数的关系求解；

（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程3x2-3x-1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=-，接着把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；

（3）由实数p、q满足p2=7p-2、2q2=7q-1，且p≠2q，即可得出p、2q是方程x2-7x+2=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可得出p+2q=7、p•2q=2pq=2，利用配方法可将代数式p2+4q2变形为（p+2q）2-2×2pq，再代入p+2q=7、p•2q=2pq=2即可求出结论．

试题解析：（1）-2，

（2）由题意知：m、n是方程3x2-3x-1=0的两个不相等的实数根，

∴m+n=1，mn=-，

∴m2n+mn2=mn（m+n）=-×1=-．

（3）∵2q2=7q-1，

∴4q2-14q+2=0，即（2q）2-7×2q+2=0．

又∵p2=7p-2，即p2-7p+2=0，

∴p、2q是方程x2-7x+2=0的两个不相等的实数根，

∴p+2q=7，p•2q=2pq=2，

∴p2+4q2=（p+2q）2-2×2pq=72-2×2=45．

19．(1)

(2)2

(3)当时，

【分析】(1)根据被除数=除数×商，变形计算即可．

(2) 根据题意，得，解方程即可．

(3)根据被除数=除数商，变形计算即可．

【详解】（1）∵，

∴，

∴

=

=．

（2）根据题意，得

，

∴2x+1=5x-5，

解得：x=2，

经检验，x=2是方程的根．

（3）当时，

=

=．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则，灵活解方程，规范求值是解题的关键．

20．（1），对称轴为x＝3；（2）5；（3）

【分析】（1）加上，同时再减去，配方，整理，根据定义回答即可；

（2）将配成，根据对称轴的定义，对称轴为x=-a，

根据对称轴的一致性，求a即可；

（3）将代数式配方成

=，根据定义计算即可．

【详解】（1）

＝

＝．

∴该多项式的对称轴为x＝3；

（2）∵=，

∴对称轴为x=-a，

∵多项式关于＝－5对称，

∴-a=-5，

即a=5，

故答案为：5；

（3）∵

=

=

=，

∴对称轴为x=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了配方法，熟练进行配方是解题的关键．