山东省济南市山东师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份山东省济南市山东师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
山东师大附中2022级2022-2023学年3月份数学质量检测试题注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，只将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则向量的坐标为（    ）A.  B.  C.  D. 2. 等于（    ）A.  B. 1 C. 0 D. 3. 若，，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 4. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（    ）A.  B. C.  D. 5. 已知向量，，若，则锐角α为（    ）A. 30° B. 60° C. 45° D. 75°6. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 27. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（    ）A.  B.  C.  D. 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知向量，，，则的值可以是（    ）A.  B.  C. 2 D. 10. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则（    ）A. 为偶函数 B. 最小正周期为C. 在上单调递减 D. 图象关于直线对称11. 下图是函数的部分图象，则（    ）A.  B.  C.  D. 12. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）A. B. C. 若，则是在的投影向量D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13. 已知，则线段的中点坐标为___________.14. 若,,,的夹角为，若，则的值为________．15. 将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则__________．16. 已知，，且区间上有最小值，无最大值，则______.四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知两个非零向量，不共线．（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）若与共线，求实数k的值．18. 已知，向量．（1）若向量，求向量的坐标；（2）若向量与向量夹角为120°，求．19. 已知函数f(x)=（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若α∈,且f(α)=,求20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．（1）求重心E的坐标；（2）用向量法证明：．21. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？22. 设，函数在上单调递减.（1）求；（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.             山东师大附中2022级2022-2023学年3月份数学质量检测试题注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，只将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则向量的坐标为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由向量减法的坐标表示计算．【详解】依题意得.故选：D．2. 等于（    ）A.  B. 1 C. 0 D. 【答案】C【解析】【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.【详解】由两角和的余弦公式得：故选：C3. 若，，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.【详解】因为，所以，，即.故选：C.4. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.【详解】A选项，的最小正周期为，且当时，，故图象关于直线对称，A正确；B选项，的最小正周期为，B错误；C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.故选：A.5. 已知向量，，若，则锐角α为（    ）A 30° B. 60° C. 45° D. 75°【答案】A【解析】【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±．又α为锐角，所以α＝30°．故选：A6. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令，则，，，因，于是得，解得，所以的值为.故选：B7. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用定义法求出，再用二倍角公式及两角和的正切公式求解即可.【详解】依题意，角的终边经过点，则，于是，所以.故选：D.8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知向量，，，则的值可以是（    ）A  B.  C. 2 D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，坐标表示，求得的值，根据的取值范围，得到的取值范围即可求解.【详解】解：因为，，所以，则.因为，所以，故.结合选项可知选ABC.故选：ABC.10. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则（    ）A. 为偶函数 B. 最小正周期为C. 在上单调递减 D. 图象关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式，利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则，所以，函数是非奇非偶函数，该函数的最小正周期为，A错B对，当时，，所以，函数在上单调递减，C对，因为，所以，函数的图象不关于直线对称，D错.故选：BC.11. 下图是函数的部分图象，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，，则，不妨令，当时，，，解得：，即函数的解析式为：，故A正确；又，故B错误；又，故C正确；而，故D错误；故选：AC.12. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）A. B C. 若，则是在的投影向量D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为在上，即三点共线，设，.又因为，所以.因为，则，.令，当时，取得最大值.故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13. 已知，则线段的中点坐标为___________.【答案】【解析】【分析】由题意利用向量的坐标运算求出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求出结果．【详解】设因为，所以，即，所以，所以，∵，则线段的中点坐标为，故答案为：．14. 若,,,的夹角为，若，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据，结合平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】由题意知, ，即，解得.故答案为：.15. 将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据题目条件与的图象变换规律， 可得，可得，且由此求得的值，可得的解析式，从而求得的值.【详解】函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的图象，再向右平移个单位长度得到，，且，，.故答案为：.16. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．【详解】依题意，当时，y有最小值，即，则，所以.因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得.故答案为：四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知两个非零向量，不共线．（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）若与共线，求实数k的值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可；（2）由两向量共线，得到，列出方程组，求出答案.【小问1详解】证明：根据条件可知，，所以，共线，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．【小问2详解】因为与共线，所以存在，使得，所以，解得或，即．18. 已知，向量．（1）若向量，求向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为120°，求．【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可；（2）先求，再求后可求解.【小问1详解】由，设，∴，∵，∴，解得或所以或．【小问2详解】∵，，，∴，∴，∴．19. 已知函数f(x)=（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若α∈,且f(α)=,求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简函数得，进而可得周期；（2）由条件可得，，进而由即可得解.【详解】函数f(x)=，（1）最小正周期为；（2）α∈，，由f(α)=，得，所以，所以.所以.【点睛】本题主要考查了二倍角公式及给值求值问题，解题的关键是利用终边所在象限确定三角函数的正负，属于中档题.20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．（1）求重心E坐标；（2）用向量法证明：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标；（2）求出F的坐标，证明即可．【小问1详解】如图，∵，，，∴，则由重心坐标公式，得；【小问2详解】．易知的外心F在y轴上，可设为．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．21. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？【答案】（1），70m    （2）0.5min【解析】【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函数解析式，求出；（2）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出，，从而求出答案.【小问1详解】依题意，，，，则，所以，由可得，，，因为，所以．故在时刻t时点P距离地面的离度．因此，故2023min时点P距离地面的高度为70m．【小问2详解】由（1）知，其中．依题意，令，即，所以，解得，则，由，可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．22. 设，函数在上单调递减.（1）求；（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）分析得到关于的不等式，解不等式即得解；（2）等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点，再对分类讨论得解.【小问1详解】解：因为，在上单调递减，所以，解得.又，且，解得.综上，.【小问2详解】解：由（1）知，所以.由于函数在区间上有且只有一个零点，等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点.①当即时，函数单调递增，，于是有，解得；②当即时，函数先增后减有最大值，于是有即，解得.故k的取值范围为.