2021-2022学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则______.

【答案】

【分析】根据交集的定义求解判断.

【详解】因为，，

由交集的定义可得.

故答案为：

2．若，则_____

【答案】；

【解析】根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.

【详解】，.

故答案为：.

3．不等式的解集是______.

【答案】

【分析】两边同乘以,变为一元二次不等式解出解集即可.

【详解】解:因为,所以,两边同时乘以可得:

,解得或,所以解集为:

故答案为:

4．用反证法证明命题：“若 ， 且 ，则 和 中至少有一个小于2”时，应假设___．

【答案】

两者都大于或等于2

【分析】由反证法思想：先否定原结论并推出矛盾，故只需写出原结论的否命题即可.

【详解】由于“，中至少有一个小于”的反面是“，都大于或等于”，

故用反证法证明命题: “若且，则，中至少有一个小于”时，应假设，都大于或等于.

故答案为：和都大于或等于 .

5．已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是__________．

【答案】3

【详解】∵幂函数在区间是减函数

∴，解得：

故答案为3

6．函数且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是_____.

【答案】

【分析】令，得，

【详解】令，则有

所以过定点

故答案为：

【点睛】处理与指数函数有关的函数过定点时是利用且.

7．函数的最大值为________

【答案】

【分析】首先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求出最大值.

【详解】函数的定义域为，

函数在上是增函数，

函数在上是减函数，

根据结论：增函数减函数增函数，

函数在上是增函数，

当时，函数有最大值，

故答案为：

【点睛】本题考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题.

8．已知关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是______.

【答案】

【分析】分离参数转化为能成立问题，再利用绝对值不等式求解.

【详解】由题意得，

因为，当时等号成立，

所以.

故答案为：.

9．函数在区间上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是          ．

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性即可求出x的范围即可．

【详解】因为f（x）为奇函数，

所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，

于是﹣1≤f（x﹣2）≤1等价于f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），

又f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，

∴﹣1≤x﹣2≤1，

∴1≤x≤3．

故答案为

【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查转化思想，属于基础题．

10．当，时，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】先，，得到，，，推出，，

令，，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.

【详解】因为，，所以，，，

即，

因此，所以，

令，，

任取，则

，

因为，所以，，

因此，即，

所以函数在上单调递增，

所以，即的取值范围是.

【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.

11．若函数的值域为，则实数的取值范围是________

【答案】

【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可

【详解】当时，，；

当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即

故答案为

【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题

12．已知，函数在区间上有两个不同零点，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】设函数的两个不同的零点分别为，且，用表示后利用基本不等式可求的取值范围.

【详解】设函数在上的两个不同的零点分别为，

则为的两个不同的解，

所以，，

故

，

由基本不等式可得，，

故，因，故等号不可取，

所以的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的零点、二次函数的图象和性质和基本不等式，注意用二次方程的根表示目标代数式，本题属于难题.

二、单选题

13．已知，条件：，条件：，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可.

【详解】若，则有，因此有，故；

反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件.

故选：B

14．下列函数中，值域是的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．

【详解】对于A：的值域为；

对于B：，，，

的值域为；

对于C：的值域为；

对于D：，，，

的值域为；

故选D．

【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．

15．已知定义域为R的函数满足：对任意，恒成立，则函数（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

【答案】C

【解析】利用赋值法，再根据函数的奇偶性定义，即可求解.

【详解】令，则，

令，则，

令，则，即，

所以函数既是奇函数又是偶函数.

故选：C.

【点睛】判定函数的奇偶性的常见方法：

（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；

（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；

（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.

16．设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】函数为“倍增函数”，且满足存在，使在上的值域为，所以在上是增函数 ，则，即， 方程有两个不等实根且两根都大于零，设,有两个不等实根都大于零， , 解得，选C.

【点精】本题为自定义信息题，属于创新题型，解决自定义信息题，首先要把新定义读懂，所谓“倍缩函数”就是要满足它的定义要求的函数，函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，就是要求自变量取值于[a,b],对应的值域为，对于所给函数按照“倍缩函数”的定义，列出需要满足的要求，化简转化后解不等式求出结论.

三、解答题

17．已知关于x的不等式的解集为S.

(1)当时，求集合S；

(2)若且，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解；

（2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围.

【详解】（1）当时，，

解得：，

所以不等式的集合为；

（2）若且，

则或，解得：或，

所以的取值范围是.

18．函数的定义域为，关于的不等式的解集为.

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）若，试求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【详解】试题分析：

(Ⅰ)函数有意义，则真数大于零，被开方数不小于零，分母不等于零，据此求解不等式组可得

(Ⅱ)求解二次不等式可得 结合可知 据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域满足：则集合

（Ⅱ）解不等式

可得. 解得            

若则

所以解得：     

则的取值范围是.

19．已知函数，其中.

(1)讨论函数的奇偶性：

(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围.

【答案】(1)详见解析

(2)

【分析】（1）分和两种情况讨论函数的奇偶性；

（2）根据条件转化为当时，，参变分离后，转化为求的范围，即可求参数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

所以的定义域为，关于原点对称，

又，所以是偶函数；

当时，，所以，

所以是非奇非偶函数；

（2）由题意得任取且，则恒成立，

即，即，，

因为，所以，，

所以恒成立，

又，所以，则，

所以.

20．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）. 每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；

(2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)当产量为100件时，最大利润为1000万元

【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；

（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

【详解】（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入−成本，

∴；

②当x≥80时，根据年利润＝销售收入−成本，

∴．

综合①②可得，；

（2）①当0＜x＜80时，，

∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；

②当x≥80时，，

当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．

综合①②，由于950＜1000，

∴当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元

21．已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.

(1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；

(2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；

(3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)是，证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决.

【详解】（1）由题知，函数，定义域为，

所以，

不妨设，

因为，

所以，

所以，

所以是利普希兹条件函数

（2）若函数是“利普希兹条件函数”，

则对于定义域上任意两个，

均有成立，

不妨设，则恒成立，

因为，

所以，

所以的最小值为．

（3）由题意得在上恒成立，

即，

不妨设，

所以，

因为，

所以，

所以.