精品解析：上海市青浦区2023-2024学年高一上学期期末学业质量调研数学试卷

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(时间:90分钟，满分:100分)
学生注意：
1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.
2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.
3.可使用符合规定的计算器答题.
一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格读对得3分，否则一律得零分.
1. 已知集合，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用交集定义直接求解．
【详解】因为集合，，
所以．
故答案为：．
2. 不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式化为，即可得答案.
【详解】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
3. 若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为：.
4. 已知函数是奇函数，且当时，有，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为奇函数可得，求出即可得解.
【详解】解：因为函数是奇函数，且当时，有，
所以.
故答案为：.
5. 设实数，当代数式取最小值时，的值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
故答案为：
6. 设，，则用，表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.
【详解】解：因为，，
所以.
故答案为：
7. 用函数的观点：不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解
【详解】由不等式可得，
令函数，定义域为，
由于，均为定义域内的增函数，
所以在定义域内单调递增，且，
对应不等式即为，解之得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
8. 指数函数在上最大值与最小值之差为6，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】分为和两种情况，结合函数的增减性求解即可
【详解】当时，函数为减函数，，，则，方程无解；
当时，函数为增函数，，，则，解得，舍去
故答案为3
【点睛】本题考查指数函数根据函数最值在给定区间求解参数问题，属于基础题
9. 函数的值域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.
【详解】由题意函数的定义域为，而，
不妨设，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
10. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件.
【详解】由题意对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，故只需，
而由基本不等式可得，等号成立当且仅当，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
11. 若函数有且仅有1个零点，则实数a的取值范围_____
【答案】
【解析】
【分析】把函数，的图象画在同一直角坐标系中，直线在平移过程中，可得到函数与轴的不同交点个数，从而即可求解.
【详解】解：把函数，的图象画在同一直角坐标系中，如图所示：
直线在平移过程中，可得到函数图象与轴的不同交点个数，
当时，函数与轴有且只有一个交点，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
12. 函数在区间上的最大值为，最小值为，则_________.
【答案】2
【解析】
【分析】变形给定函数，构造函数并探讨其奇偶性，再借助函数性质求解即得.
【详解】函数，令，
当时，，则函数是奇函数，
显然，，而，
所以.
故答案为：2
二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题，每题都给出代号为A. B. C. D的四个结论.其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律再零分.
13. “”是“实系数一元二次方程没有实根”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
求出实系数一元二次方程没有实根对应的的范围，根据集合包含关系即可判断.
【详解】实系数一元二次方程没有实根，则，解得，
，
“”是“实系数一元二次方程没有实根”的必要不充分条件.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
14. 若都是实数，且，，则与大小关系是
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【详解】构造函数f(m)=mx，g(m)=m+t.
∵a＞1，t＞0，ax=a+t＞a＞1，
∴x＞1.
在同一坐标系内作出两函数图象.
∵ax=a+t，即两图象交点的横坐标为a.
若b＞a＞1，则f(b)＞g(b)，即bx＞b+t.
本题选择A选项.
15. 已知.且，则下列结论正确的是（ ）
①；
②的最小值为；
③的最小值为；
④的最小值为.
A. ①②④B. ①②③C. ①②D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，判断①，利用基本不等式中消元、配凑、“”的代换的方法即可判断②③④.
【详解】由可得，
所以，①正确；
，
当且仅当即时，等号成立，②正确；
，
当且仅当即时，等号成立，③错误；
由可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，④正确.
故选：A
16. 已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（ ）
A. B. C. D. 的关系无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.
【详解】，有，从而有，进一步，即，所以，
，有，从而有，进一步有，即，所以，
综上所述，有.
故选：C.
三、解答题(本大题满分12分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 已知集合，且，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】由题意解绝对值不等式和分式不等式先化简集合，然后根据交集结果是空集列出不等式求解即可.
【详解】由题意，或，
若，
首先，故不可能是空集，
所以当且仅当，解得，
即实数的取值范围为.
18. 已知函数，其中.
（1）当时，证明：函数在区间上是严格减函数.
（2）讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数.
【解析】
【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可.
（2）由函数奇偶性定义进行判断即可.
【小问1详解】
由题，
设任意，
则
，
因为，
所以，且，
则，
所以，即，
所以函数在区间上是严格减函数.
【小问2详解】
因为，定义域为R，
则，
若为偶函数，则，
若奇函数，则，无解，
所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数.
19. 已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数.
（1）求函数的表达式：
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数，即可求出函数解析式；
（2）不等式在区间上恒成立，令，转化为在上恒成立，直接求在上的最大值即可.
【小问1详解】
由题知，
，
因为是偶函数，只需，故，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
令，则在区间上恒成立，
看作在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
显然，所以在上恒成立，
因为，所以，
则在上的最大值为时，且为，
所以.
20. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．
【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）
【解析】
【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；
（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.
【详解】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .
（2）由条件①可知，上单调递增，
所以当时，满足条件；
当时，由可得
当时，单调递增，
，解得，
所以
由条件②可知，，即不等式在上恒成立，
等价于
当时，取最小值
综上，参数的取值范围是．
【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.
21. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.
（1）证明函数是“正函数”；
（2）如果函数不是“正函数”，求正数a的取值范围.
（3）如果函数是“正函数”，求正数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）有题知：，即证.
（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设是“正函数”，求出范围，再取其补集即可.
（3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可.
详解】（1）.
函数值恒为正数，故函数是“正函数”.
（2）当时，，
显然不是“正函数”.
当时
假设为“正函数”.则恒大于零.
.
所以，即
所以不是“正函数”时，
.
综上：.
（3）有题知：若函数是“正函数”，
则或.
解得：或.
【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.