精品解析：上海市延安中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市延安中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了 已知函数等内容，欢迎下载使用。
一､填空题（每题3分，满分42分）每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. 是第___________象限角.
【答案】三
【解析】
【分析】根据给定的范围确定其象限即可.
【详解】由，故在第三象限.
故答案为：三.
2. 已知角的终边经过点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数定义计算
详解】由题意．
故答案为：．
3. 幂函数的图像在第___________象限.
【答案】一、二
【解析】
【分析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.
【详解】由解析式知：定义域为，且值域，
∴函数图像在一、二象限.
故答案为：一、二.
4. 函数的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域.
【详解】由，又递增，∴函数值域为.
故答案为：.
5. 不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，可得：，则，
∴不等式解集为.
故答案为：.
6. 函数的反函数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得，即可得反函数.
【详解】由，可得，
∴反函数为.
故答案为：.
7. 函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由，则开口向上且对称轴为，又，
∴，，故函数最大值为.
故答案为：.8. 已知扇形的半径为4，圆心角为，则扇形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【详解】根据扇形弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
故答案为：．
9. 已知是偶函数，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数定义求解．
【详解】由题意恒成立，即，恒成立，
所以．
故答案为：．
10 已知，，则___________（用a､b表示）.
【答案】##
【解析】
【分析】根据对数的运算性质可得，再由指对数关系有，，即可得答案.
【详解】由，又，，
∴，，故.
故答案为：.
11. 已知，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦值及角的范围，应用同角的平方关系求.【详解】由，，则.
故答案为：.
12. 某商厦去年1月份的营业额为100万元.如果该商厦营业额的月增长率为1%，则商厦的月营业额首次突破110万元是在去年的___________月份.
【答案】11
【解析】
【分析】根据指数函数模型求解．
【详解】设第月首次突破110万元，则，
，，因此11月份首次突破110万元
故答案为：11．
13. 已知函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】讨论上的零点情况，结合题设确定上的零点个数，根据二次函数性质求m的范围.
【详解】当时，恒有，此时无零点，则，
∴要使上有2个零点，只需即可，
故有2个零点有；
当时，存在，此时有1个零点，则，
∴要使上有1个零点，只需即可，
故有2个零点有；
综上，要使有2个零点，m的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用严格单调减函数定义求得值，然后在由区间上整数个数，可确定的值．
【详解】，根据题意，，又，，
所以，即，，
在上只有13个整数，因此可得，
故答案为：．
二､选择题（每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分.
15. 下列四组函数中，定义域相同的一组是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式、分式、对数的性质求各函数的定义域即可.
【详解】A：定义域为，定义域为，不合题设；
B：定义域为，定义域为，不合题设；
C：、定义域均，符合题设；
D：定义域为，定义域为，不合题设；
故选：C.
16. 终边在y轴上的角的集合不能表示成A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别写出终边落在y轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解.
【详解】终边落在y轴正半轴上的角的集合为：
，
终边落在y轴负半轴上的角的集合为：
，
故终边在y轴上的角的集合可表示成为，
故A选项可以表示；
将与取并集为：
，故C选项可以表示；
将与取并集为：
，故终边在y轴上的角的集合可表示成为，故D选项可以表示；
对于B选项，当时，或，显然不是终边落在y轴上的角；
综上，B选项不能表示，满足题意.
故选：B.
【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.17. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数单调性得出函数在时取得最小值．
【详解】，
因为是增函数，因此当时，，，
当时，，，
而时，，
所以时，．
故选：C．
18. 有三个函数：①，②，③，其中图像是中心对称图形的函数共有（ ）.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的对称性，图象变换，然后结合中心对称图形的定义判断．
【详解】，显然函数的图象是中心对称图形，对称中心是，
而的图形是由的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是；
由得，令，
则，
所以图象的对称中心为；，中间是一条线段，它关于点对称，因此有两个中心对称图形．
故选：D．
三､解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题，必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.
19. 证明：函数是奇函数.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.
【详解】中，，即，
的定义域为，关于原点对称，
,
，函数是奇函数.
20. 已知函数.
（1）用函数单调性定义证明：函数在区间上是严格增函数；
（2）函数在区间上是单调函数吗？为什么？
【答案】（1）证明见解析；
（2）不是单调函数，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式在给定区间内任取，判断对应函数值的大小关系，即可说明函数的单调性.
（2）利用三元基本不等式求在上的最值并确定等号成立的条件，即可判断的单调性.
【小问1详解】由题设，且，
任取，则，
又，，，，即，
∴，即，
∴函数在区间上是严格增函数；
【小问2详解】
由题设，在上，当且仅当时等号成立，
∴，显然在的两侧单调性不同.
∴在上不是单调函数.
21. 如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片的腰长为3，正方形纸片的边长为1，其中B､C､D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，.设两张纸片重叠部分的面积为S.
（1）求关于a的函数解析式；
（2）若，求a的值.
【答案】（1）；
（2）或.【解析】
【分析】（1）讨论、、分别求对应的，进而写出函数解析式的分段形式.
（2）根据（1）所得解析式，将代入求a值即可.
【小问1详解】
如下图，延长到上的，又，则，
∴，
当时，；
当时，；
当时，.
综上，.
【小问2详解】
由（1）知：在上，；
在上，，整理得，解得（舍）或.
综上，或时，.
22 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.
（2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围.
【小问1详解】
由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为.
【小问2详解】
由，则，即在上恒成立，
∵在上均递减，
∴在上递减，则，
∴k的取值范围为.
23. 利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式.
（1）若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）；
（2）若，，，，求证：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析．【解析】
【分析】（1）根据已知写出二次项系数后可得；；
（2）注意到，因此可以在不等式两边同乘以分母后化简不等式，然后比较可得（可作差或凑配证明）．
【小问1详解】
由题意又，所以．
即的值域是；
【小问2详解】
因为，，，，所以，
因为，，，，所以，
所以，
所以，
因为，，，，所以，
所以，
所以，
综上，原不等式成立．