上海市奉贤区2023届高三下学期5月高考模拟数学试卷（原卷+解析）

上海市奉贤区2023届高三下学期5月高考模拟数学试卷

一、单选题

1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．4 B．7 C．8 D．16

2．下列命题中，正确的是（　　）

A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交

B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面

C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线

D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行

3．不论取何值，方程所表示的曲线一定不是（ ）

A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．直线

4．设等差数列的前项和为，则、、成等差数列．类比研究等比数列有下面三个命题：

①设等比数列的前项的和为，则、、成等差数列；

②设等比数列的前项的和为，则、、成等比数列；

③设等比数列的前项的积为，则、、成等比数列；

④设等比数列的前项的积为，则、、成等比数列．

其中真命题的个数是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．设；，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________．

6．将曲线的参数方程（θ是参数）化为普通方程为 __．

7．直线l的方程为，则直线l的一个法向量为 __．

8．如果，为第三象限角，则________．

9．某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是____________

10．在中，角A、B、C的对边分别为，若则____．

11．已知等差数列满足（，），则_____．

12．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________

13．某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且

每班安排名，则不同的安排方案种数为 __．

14．已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，联结，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 ____（用反余弦表示）．

15．已知正项等比数列的公比为，其前项和为，若对一切，都有，则的取值范围是______.

16．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为 __．

三、解答题

17．三棱锥中，BA、BC、BD两两互相垂直，且，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为，求三棱锥的体积．

18．已知函数f(x)＝sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），将函数的图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，x＝是g(x)一个零点．

(1)求函数y＝f(x)的最小正周期；

(2)求函数y＝g(x)在上的单调区间．

19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：

策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.02In﹣0.2．

策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.08In﹣0.46．

当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．

(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？

(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？

20．设曲线是以为焦点的抛物线，曲线是以直线与为渐近线，以为焦点的双曲线，曲线与在第一象限有两个公共点、．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)求的最大值；

(3)是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．

(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)求证：是的“4重覆盖函数”；

(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】求解一元二次不等式化简，结合，得，求得的子集个数即可．

【详解】因为

若，则，所以满足条件的集合的个数为．

故选：．

2．C

【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．

【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A错误；

一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a∥b，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交，如下图l与a相交的情况，l与b异面，B错误；

一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C正确；

一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D错误．

故选：C

3．A

【分析】就的不同取值分类讨论即可.

【详解】若，则方程为，它表示两条直线；

若，则方程可化为，

若，则它表示焦点在轴上的双曲线；

若，则，则它表示焦点在轴上的椭圆；

若，则，则它表示圆，

若，则，则它表示焦点在轴上的椭圆，

综上，选A.

【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程与圆锥曲线类型的对应关系，属于基础题.

4．B

【分析】利用类比推理直接判断即可得到答案．

【详解】解：根据题意，利用类比推理可知，若等比数列的前项的和为，则、、成等比数列，则①错误，

若等比数列的公比为，则，同理可得出，，故②错误；

根据题意，利用类比推理，把等差数列中的差换成商，把等差数列中的和变为积，

即若等比数列的前项的积为，则、、成等比数列，故③错误，

设等比数列的公比为，则，，，，

所以，，，

所以，、、成等比数列，故④正确.

故正确命题为④，只有个.

故选：B.

5．

【分析】先令，，由命题间的关系，得到集合之间关系，进而可求出结果.

【详解】解：令，，

因为是的充分条件，

则，

∴．

故答案为

【点睛】本题主要考查由充分条件求参数，熟记充分条件的概念，以及命题间的关系即可，属于常考题型.

6．

【分析】根据已知条件，消去参数，即可求解．

【详解】解：，

，

故曲线的普通方程为．

故答案为：．

7．

【分析】根据已知条件，结合行列式的公式，以及法向量的定义，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，即，则直线的斜率

故直线l的一个法向量为．

故答案为：．

8．

【分析】由条件，为第三象限角，可求出，再由诱导公式可得，从而可得答案.

【详解】由，为第三象限角,有.

由诱导公式可得

所以

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.

9．38

【分析】利用系统抽样直接求得.

【详解】从42位同学中采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，抽样距为7，

第一个学号为03，所以抽取的6个样本的学号依次为03，10，17，24，31，38.

故答案为：38.

10．

【分析】由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简即可求解

【详解】解：∵，

∴由正弦定理可得，

∴，可得，

故答案为：

11．

【分析】根据等差数列的性质，结合已知条件即可求得结果.

【详解】因为数列是等差数列，故，解得；

令，

则，

故

解得.

故答案为：.

12．8

【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.

【详解】由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为，

令.

所以常数项为.

故答案为8

【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

13．

【分析】先把名学生平均分成两组，组和组无差别，再把这两组分到个班级中的两个班级，根据分步乘法原理即可求得答案．

【详解】先把名学生均分两组有种方法，

然后再把这两组分给这个班中的两个班有种方法，

根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有种．

故答案为：.

14．

【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出所对复数，进而求出点的坐标，即可推理计算作答.

【详解】依题意，点，则向量所对复数为，

因此向量所对复数为，

于是得点，而点在虚轴上，则，

又，则点在以点为圆心，5为半径的圆上，此圆与y轴交于两点，

因此当取最小正角时，点在虚轴的负半轴上，，

从而得，显然点在直线的上方，即，

所以.

故答案为：

15．

【分析】根据题意得对于，时，恒成立，分，，其中分，两种情况讨论，再得即可解决.

【详解】由题知，对一切，都有，即

即对于，时，，即恒成立，

当时，显然不成立，不满足题意；

当时，有，即，

由题知，，

当，即时，得，

所以，

因为当越大，越接近0，

所以此时不恒成立，不满足题意；

当，即时，得，

所以，

因为，且恒成立，

所以，

所以的取值范围是．

故答案为：

16．##1.4

【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示．由AP＝9列式求得m值，由题意可求的坐标，可求得D的坐标，则BD的长度可求．

【详解】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，

则B（4，0），C（0，3），

由若，得，

整理得：．

由AP＝9，得，解得或．

当时，可得，所以点的坐标为，所以

直线PA的方程为，直线BC的方程为，

联立两直线方程可得点D的坐标为，，

所以，

当时，此时，所以三点共线，点在直线上，所以三点共线，又三点共线，所以可知D与C重合（舍去），

∴BD的长度是．

故答案为：．

【点睛】

17．

【分析】设，取DC中点F，推导出EF∥AD，则∠BEF是异面直线BE与AD所成角，求出，由此能求出三棱锥的体积．

【详解】设，取DC中点F，

∴△BEF中，，，

∵EF∥AD，∴∠BEF是异面直线BE与AD所成角，

∵异面直线AD与BE所成的角大小为，

∴，

∴，∴，

∴三棱锥的体积V＝

18．(1)

(2)单调递增区间为；单调递减区间为；

【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的零点求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；

（2）利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．

【详解】（1）函数；

将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，

由于，整理得：，

故或，

整理得或，

即ω＝6k+3或ω＝6k+5（k∈Z）；由于，

所以k＝0，ω＝3，故，

所以函数y＝f(x)的最小正周期为；

（2）由于函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，

令，

整理得；

由于，故函数的单调递增区间为；

令，

整理得；

由于，整理得函数的单调递减区间为．

所以函数y＝g(x)在上的单调递增区间为，单调递减区间为．

19．(1)分类讨论，答案见祥解；

(2)第9周.

【分析】（1）分三种情况讨论即可；

（2）根据题意，时，选择策略B，根据策略B的数列，求出数列的通项公式，根据条件列出不等式，解之即可求解.

【详解】（1）策略A：，

策略B：，

当，可得，

当时，两者相等，

当时，用策略B将使第二周的虫害的严重程度更小；

当时，用策略A将使第二周的虫害的严重程度更小；

（2）由（1）可知：当时，选择策略B，

所以当时，选择策略B，

因为，所以数列是递减数列，

，也即，

由等比数列的通项公式可得：，

正整数范围内解不等式，得

所以虫害的危机最快在第9周解除．

20．(1)

(2)

(3)存在，且

【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和渐近线方程，即可求得双曲线的方程；

（2）设点、，其中，，将抛物线与双曲线的方程，由求出正数的取值范围，列出韦达定理，将表示的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最大值；

（3）求出的重心的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出正数的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：因为双曲线焦点是，故双曲线焦点在轴上，

于是可设双曲线的方程为，且该双曲线的渐近线方程为，

由题意可得，解得，

因此，双曲线的方程为.

（2）解：抛物线的焦点为，设点、，其中，

联立可得，

由题意可知，关于的方程有两个不等的正根、，

所以，，因为，解得，

由韦达定理可得，，，所以，，

，，

所以，

，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为.

（3）解：由（2）可知，的重心为，且，

，

故点，

因为点为第一象限内的点，故点在直线上，

所以，，，解得.

因此，存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21．(1)不是的“2重覆盖函数”理由见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；

（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；

（3）：将题转化为对任意，有2个实根，根据的性质即可求解．

【详解】（1）由可知：，函数的图像如图所示：

当时， ，

当时，解得，

所以不是的“2重覆盖函数”；

（2）证明：因为，

所以，

又因为，

又因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

又因，可得为奇函数且单调递增，

作出两函数的内的大致图像，如图所示：

，

而函数在上单调递增，且，所以，

由此可知在内有4个解．

所以是在的“4重覆盖函数”；

（3）可得的定义域为，

即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），

∵，∴，

所以，

所以，

即，

即对任意，有2个实根，

当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，

当时，，符合题意，

当时，则需满足，解得，

当时，抛物线开口向下，有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成立．

综上，实数a的取值范围是．

【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为与两个函数的图像交点情况.