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天津市南开区2022届高三下学期二模数学试卷(原卷+解析)
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这是一份天津市南开区2022届高三下学期二模数学试卷(原卷+解析),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题,双空题等内容,欢迎下载使用。
天津市南开区2022届高三下学期二模数学试卷 一、单选题1.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个2.设,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.为了解某地区老年人体育运动情况,随机抽取了200名老年人进行调查.根据调查结果绘制了下面日均体育运动时间的频率分布直方图,则日均体育运动时间的众数和中位数分别是( )A.35,35 B.40,35 C.30,30 D.35,304.函数的图象大致为( )A. B.C. D.5.设,,,则的大小关系是( )A. B. C. D.6.已知矩形的顶点都在球心为的球面上,,,且四棱锥的体积为,则球的表面积为( )A. B. C. D.7.函数,其图象的一个最低点是,距离点最近的对称中心为,则( )A.B.是函数图象的一条对称轴C.时,函数单调递增D.的图象向右平移个单位后得到的图象,若是奇函数,则的最小值是8.设抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,到双曲线左顶点的距离为,则该双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.9.已知定义在上的函数若函数恰有2个零点,则实数的取值范围是( )A. B.C. D. 二、填空题10.已知是虚数单位,复数满足,则________.11.在的展开式中,的系数是________.12.已知直线:与圆:相交于两点,若,则的值为________.13.已知,,则的最大值是________. 三、解答题14.在中,内角对边的边长分别是,已知.(1)若,,求;(2)若,求证:是等边三角形;(3)若,求的值.15.如图,在多面体中,底面为正方形,平面,平面,.(1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值;(3)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.16.已知椭圆:,其离心率为,若,分别为的左、右焦点,轴上方一点在椭圆上,且满足,.(1)求的方程;(2)过点的直线交于另一点,点与点关于轴对称,直线交轴于点,若的面积是的面积的2倍,求直线的方程.17.已知为等差数列,为正项等比数列,的前项和为,,,,.(1)求数列,的通项公式;(2)求的前项和的最大值;(3)设求证:.18.已知函数(,是自然对数的底数,).(1)当时,求函数的极值;(2)若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围;(3)若函数有两个极值点,且,求的最大值. 四、双空题19.甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球.①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以表示事件“由乙罐取出的球是红球”,则________;②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球,则取到黑球的个数的数学期望为________.20.已知平行四边形中,,,,则________;若,,则的最大值为________.
参考答案:1.A【详解】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.2.B【分析】根据充分必要条件的定义判断.【详解】,但,不充分,时,必要性满足,故是必要不充分条件.故选:B.3.D【分析】根据频率分布直方图可得众数,求出前三位的频率之和后可求中位数.【详解】由频率分布直方图可得第四组的频率最大,故众数为35,前三组的频率之和为,故中位数为30,故选:D4.D【分析】首先化简函数解析式,确定函数的奇偶性,排除一些选项,然后结合函数值的变化可得结论.【详解】由得,则,且,,为奇函数,排除BC,当且时,,排除A,故选:D.5.C【分析】根据可得,再根据对数的性质可得,从而可得三数的大小关系.【详解】因为,故即,故,故而,且,故,故,故选:C6.A【分析】由题意求出矩形的对角线的长,即截面圆的直径,根据棱锥的体积计算出球心距,进而求出球的半径,代入球的表面积公式,可得答案.【详解】解:由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半,,,,由矩形的面积,则到平面的距离为满足:,解得,故球的半径,故球的表面积为:,故选:A.7.C【分析】由函数的图像的顶点坐标求出,由周期求出,由最低点求出的值,可得函数的解析式,再利用三角函数的图像和性质,得出结论.【详解】解:函数,的图象的一个最低点是,距离点最近的对称中心为,,,,,,解得,,因为,令,可得,所以函数,故A错误;,故函数关于对称,故B错误;当时,,函数单调递增,故C正确;把的图象向右平移个单位后得到的图象,若是奇函数,则,,即,,令,可得的最小值是,故D错误,故选:C8.C【分析】先得到抛物线的焦点坐标,然后根据题意,利用点到直线的距离和两点间的距离求解.【详解】解:抛物线的焦点为,设双曲线的一条渐近线方程为,由题意得,解得,双曲线左顶点为,由题意得,即,解得,所以该双曲线的离心率是,故选:C9.B【分析】画出的图象,数形结合后可求参数的取值范围.【详解】,故,则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解,故的图象有两个不同的交点,设又的图象如图所示,由图象可得两个函数的图象均过原点,若,此时两个函数的图象有两个不同的交点,当时,考虑直线与的图象相切,则由可得即,考虑直线与的图象相切,由可得,则即.考虑直线与的图象相切,由可得即,结合图象可得当或时,两个函数的图象有两个不同的交点,综上,或或,故选:B.【点睛】思路点睛:与分段函数有关的零点问题,通过可转化为确定函数的图象与动直线的位置关系的问题来处理,注意临界位置的合理刻画.10.【分析】由复数的运算法则计算.【详解】因为,所以.故答案为:.11.【分析】根据二项式定理求出的通项,求出的值即可得结果.【详解】由二项式定理知的展开式的通项为:,令,解得,所以的系数是,故答案为:.12.【分析】利用垂径定理得到直线的距离为1,再利用点到直线距离公式解得答案.【详解】由题意,,利用等腰直角三角形的性质,知,又因为,根据垂径定理,到直线的距离,解得.故答案为:.13.【分析】利用二元均值不等式,求解的最小值,即可求解原式的最大值.【详解】解:因为,,则,即,当且仅当是,等号成立;又,即,当且仅当是,等号成立;故,则,当且仅当是,等号成立.故答案为:.14.(1)(2)证明见解析(3) 【分析】(1)先由求得角B的值,再利用正弦定理即可求得 的值;(2)先利用余弦定理求得,再利用即可求得,进而证明是等边三角形;(3)先求得的值,再利用二倍角的余弦公式去求的值.【详解】(1)中,.则,又,,由正弦定理得(2)中,.则,则有又,则,即,则有,则有,又,则有则是等边三角形;(3)中,.则,,又,,则,则则.15.(1)证明见解析(2)(3) 【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,计算及平面的法向量后可证平面.(2)求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值.(3)根据平面可求的坐标,从而可求平面的法向量,利用向量法可求二面角的余弦值.(1)因为底面为正方形,平面,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则,设,则,故,设平面的法向量为,则即,取,故,故,而平面,故平面.(2)因为,故,故,而,设平面的法向量为,故即,取,则,故,设与平面所成角为,则.(3)由(1)可得,而,设平面的法向量为,则即,取,则,故,因为平面,故,故存在非零实数,使得即,故,解得,故,由(2)可得,故与平面夹角的余弦值为.16.(1)(2), 【分析】(1)依题意可得且,根据数量积的运算律,求出,再根据离心率及,求出、,即可得解;(2)由(1)设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,即可求出点坐标,从而得到点坐标,再求出直线方程,求出的坐标,由的面积是的面积的2倍,可得或,即可求出,从而求出直线方程;(1)解:因为,所以,且又,所以,即,即,所以,又离心率,所以,,所以,所以椭圆方程为;(2)解:由(1)可得点的坐标为,依题意直线的斜率存在,设直线的方程为,由消去整理得,解得或,所以点坐标为,从而点坐标为,所以直线的方程为,则点的坐标为,因为的面积是的面积的2倍,所以或,当时,即,解得,所以直线的方程为;当时,即,解得,所以直线的方程为;所以满足条件的直线的方程为,17.(1),(2)(3)证明见解析 【分析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为(),根据所给条件结合等差数列通项公式、求和公式,以及等比数列通项公式计算可得;(2)由(1)可得,利用等比数列求出公式求出前项和,再分奇偶两种情况求出的最大值,即可得解;(2)利用错位相减法求和即可得证;(1)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为(),由,,即,解得,所以,由,所以,由,即,解得或(舍去)所以;(2)解:由(1)可知,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,令的前项和为,则,当为奇数时,当为偶数时,综上可得的前项和的最大值为;(3)证明:因为,所以①,②,由①②可得所以,得证;18.(1), ;(2)(3) 【分析】(1)求出函数的导函数,即可得到,与的关系表,从而得到函数的极值点,计算可得;(2)令,求出函数的导函数,依题意在上恒成立,即可得到不等式组,解得即可;(3)求出的导函数,依题意在上有两个不等实根,令,则在上有两个不等实根、,求出函数的导函数,结合零点存在性定理得到且,即可得到,再由导数说明函数的单调性,即可求出的最大值;【详解】(1)解:当时,令,解得,,所以,与的关系如下:单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以当时,函数取得极大值,即,当时,函数取得极小值,即;(2)解:因为,所以令,则依题意在上恒成立,令,则,解得(3)解:因为,即,则,因为在上有两个极值点,即在上有两个不等实根,即在上有两个不等实根、,因为,所以当时,单调递减,当时,单调递增,则,所以,解得,所以,所以在和上各有一个实根,所以函数在上有两个极值点时,并且,因为,所以,令,则,当时,,单调递减,因为,所以,即则因为且,所以满足题意的整数的最大值为;【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.19. ##0.6 ##0.9【分析】利用条件概率的概率公式可求条件概率,设取得黑球的个数为,利用乘法公式可求的分布列,从而可求其期望.【详解】,设取得黑球的个数为,则可取,又,,,故的分布列为:012 故故答案为:20. 【分析】由求出,然后由平方后求得,把用表示后求数量积化为的函数可得最大值.【详解】由已知,所以,所以,;因为,,所以,,,所以时,取得最大值.故答案为:;.
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