2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学零模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，， 这四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，、、、四个点均在上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.   如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  将数字用科学记数法表示为        ．

12.  若有意义，则的取值范围是______．

13.  计算：的结果为______ ．

14.  把多项式分解因式的结果是______．

15.  已知半径长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为______ ．

16.  已知反比例函数的图象经过点，则______．

17.  如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，、交于点，若，，、、在同一直线上，则的度数为        ．

18.  一商店把某种品牌的羊毛衫按标价的八折出售，仍可获利，若该品牌的羊毛衫的进价每价是元，则标价是每件______ 元．

19.  在中，，，绕点将旋转，使一直角边的另一个端点落在直线上的一点处，则线段的长为        ．

20.  如图，在正方形中，点在上，于点，连接，若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，在小正方形边长均为的方格纸中有线段，点、均在小正方形的顶点上．
以为一边画点在小正方形的顶点上，使的周长为；
在的条件下，以为一边作，点在小正方形的顶点上，使，且的面积为；连接，并直接写出的正切值．

23.  本小题分
为迎接年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数；
将条形统计图补充完整；
若该中学九年级共有人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
 

24.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，作于，延长至，使，连接、、．
如图，求证：四边形是平行四边形；
如图，连接交于点，若，请直接写出图中所有长度等于的线段．
 

25.  本小题分
某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
若学校每天需付给甲队的绿化费用为万元，乙队为万元，要使这次的绿化总费用不超过万元，至少应安排甲队工作多少天？

26.  本小题分
、为圆的弦，平分．
如图，求证：弧弧；
如图，连接并延长交圆于点，连接，作于点，延长交于点，求证：；
如图，在的条件下，连接，延长交圆于点，连接并延长，与的延长线交于点，，，求的长．
 

27.  本小题分
抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
如图，求抛物线解析式；
如图，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示；
如图，在的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
在，，，这四个数中，最大的数是．
故选D．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据同底数幂的除法，，那么B正确，故B符合题意．
C.根据合并同类项法则，，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据幂的乘方，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法则法、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：解：从左边看，如图，

故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．
根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，最后利用圆周角定理得出的度数即可．
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，摸出的小球是黄球的结果数为，
摸出的小球是黄球的概率为，
故选：．
用黄球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】解：在直角中，，
则．
故选B．
首先根据勾股定理求得的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的定义及判定以及平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】
解：对于，，
，
，故A正确；
对于，，
，
，故B错误；
对于，由知，
，故C错误；
对于，，
，
，故D错误；
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接化简二次根式进而合并求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：半径长为的扇形的圆心角为，
此扇形的面积．
故答案为：．
直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
故答案为：．
坐标代入函数关系式即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针方向旋转到的位置，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设标价是元．
根据题意有：，
解可得；
故答案为．
根据题意，由等量关系实际售价标价的八折进价获利率，可得方程，解可得答案．
本题考查了一元一次方程的应用，此题的等量关系：实际售价标价的八折进价获利率，八折即标价的．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，过点作于，

，，，
，
，
，
，
，
，
，
当点落在直线上时，则，
，
，
，
当点落在直线上时，则，
，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或．
由勾股定理可求的长，由面积可求的长，由勾股定理可求，的长，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于，交于，
四边形是正方形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
负值舍去，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的长，的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用特殊角的三角函数值化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、特殊角是三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
． 

【解析】利用勾股定理结合三角形周长求法得出答案；
根据题意画出图形，根据三角函数的定义进而得出答案．
此题主要考查了作图应用设计与作图，正确结合网格分析是解题关键．
 

23.【答案】解：抽取的总人数是人，
则成绩是“中”的人数是人；

；
该校九年级学生的数学成绩可以达到优秀的人数是人． 

【解析】根据成绩是“良”的人数是，对应的百分比是，据此即可求得抽查的总人数，进而求得成绩类别为“中”的人数；
根据即可补全直方图；
利用总人数乘以对应的比例即可求得．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

24.【答案】证明：如图中，

，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
四边形四边形是平行四边形；

解：如图中，

四边形四边形是平行四边形，
，，设，则，
，，
∽，
，
，
在中，，
，
，，
线段、、、都是线段的倍． 

【解析】欲证明四边形是平行四边形，只要证明，即可．
由四边形四边形是平行四边形，推出，，设，则，由，，推出∽，推出，推出，在中，，推出，因为，，即可推出线段、、、都是线段的倍．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
设应安排甲队工作天，根据题意得：
，
解得：，
答：至少应安排甲队工作天． 

【解析】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天，列出方程，求解即可；
设应安排甲队工作天，根据这次的绿化总费用不超过万元，列出不等式，求解即可．
 

26.【答案】证明：如图，连接、，
平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
证明：如图，延长交于点，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
解：如图，延长与交于点，连接，延长交于，交于点，作于点，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
由勾股定理得，，
解得负值舍去，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
． 

【解析】连接、，利用证明≌，得，则；
延长交于点，连接，首先利用圆周角、弧、弦的关系可知，再说明即可证明结论；
延长与交于点，连接，延长交于，交于点，作于点，首先利用证明，得，再说明，得，可得，设，，由勾股定理得，，进而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数求线段的长是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图中，设，，
由题意得：，
解得，
，，
把代入，
得：．
解得：，
抛物线的解析式为；
过作轴交于，交轴于点，如图，

抛物线的解析式为，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
点横坐标为，
，，
，，
，
，
．
，
即；
过点作轴于点，，过点作于点，在轴上取一点，使得，如图，

，，
，
等腰直角三角形，
，，，
四边形为正方形，
，，
．
，
，
．
 在和中，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
令，则，
．
，
，
．
，
点，，，四点共圆，
．
，，
．
，
．
，
．
，，
，
，
．
在和中，
，
，
．
，
，
．
四边形为正方形，
，
，
，
或舍．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
，，
，
，
，
，
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
解得：．
． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
过作轴交于，交轴于点，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，得到，，则，利用三角形的面积公式解答即可得出结论；
过点作轴于点，，过点作于点，在轴上取一点，使得，利用点的坐标得到，利用正方形的判定定理得到四边形为正方形，则，；利用全等三角形的判定与性质得到，利用直线的解析式求得，则；通过证明，得到，利用，，得到关于的方程，解方程即可得到值，则点坐标可得，进而求得线段，，，的长度；利用相似三角形的判定与性质求得线段的长度，利用待定系数法求得的解析式，将的解析式与直线的解析式联立，解方程组就看得出点的坐标．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与轴的交点，待定系数法确定函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．