2022年北京市昌平区高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份2022年北京市昌平区高考数学二模试卷（含答案解析），共17页。
2022年北京市昌平区高考数学二模试卷 已知集合，，则A.  B.  C.  D. 若复数z满足，则A.  B.  C.  D. 为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量单位：千瓦时，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为
A. 300 B. 450 C. 480 D. 600记为等差数列的前n项和，若，，则A. 4 B. 7 C. 8 D. 9已知双曲线的焦距为4，其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为A.  B.  C.  D. “”是“函数在区间上单调递减”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件如图，在正四棱柱中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是，的中点，则下列结论正确的是A.
B.
C. 平面
D. 平面
  已知直线l：与圆C：相交于两点A，B，当a变化时，的面积的最大值为A. 1 B.  C. 2 D. 已知函数，则关于x的不等式的解集是A.  B.  C.  D. 在中，，，只需添加一个条件，即可使存在且唯一．在条件：①；②；③中，所有可以选择的条件的序号为A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③抛物线的准线方程为______在的展开式中，常数项为______请用数字作答已知D是的边AB的中点，，，则______；______.若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为______.刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史．小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分．它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，，，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，，，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______；图中螺旋形图案的面积为______.
 
如图，在棱长为2的正方体中，点M是BC的中点．
求证：平面；
求二面角的大小；
求点A到平面的距离．

  






 已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
求的解析式；
设，若在区间上的最大值为2，求m的最小值．
条件①：的最小值为；
条件②：的图象经过点；
条件③；直线是函数的图象的一条对称轴．






 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示．产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量件30506060若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望；
为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．请直接写出结论






 已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为A，B，且过点的直线与椭圆C相交于不同的两点M，不与点A，B重合
求椭圆C的方程；
若直线AM与直线相交于点P，求证：B，P，N三点共线．






 已知函数，
若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数a，b的值；
若函数无零点，求实数a的取值范围；
当时，函数在处取得极小值，求实数a的取值范围．






 已知数列，给出两个性质：
①对于任意的，存在，当，时，都有成立；
②对于任意的，，存在，当，时，都有成立．
已知数列满足性质①，且，，，试写出，的值；
已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；
若数列满足性质①②，且当，，时，同时满足性质①②的存在且唯一．证明：数列是等差数列．







答案和解析 1.【答案】A
 【解析】解：集合，，

故选：
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】B
 【解析】解：，

故选：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 3.【答案】D
 【解析】解：由频率分布直方图可知，
人均月用电量低于80千瓦时的频率为，
故估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为，
故选：
由频率分布直方图先求频率，再求家庭数即可．
本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 4.【答案】B
 【解析】解：由题意可知等差数列的公差，
，
解得，
，
故选：
利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
 5.【答案】D
 【解析】解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，焦距为4，可得，所以，
双曲线的渐近线方程：
故选：
由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为b，结合焦距求解c，求出a，即可求得双曲线C的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线中几何量之间的关系，考查数形结合的能力，属于基础题．
 6.【答案】A
 【解析】解：当时，，则在在区间上单调递减，即充分性成立，
反之若在区间上单调递减，当时，在上单调递减，但此时不成立，即必要性不成立，
则“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件，
故选：
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 7.【答案】B
 【解析】解：在正四棱柱中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是，的中点，
以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正四棱柱中棱长为2，
则，，，，，
，，，
与不共线，与EF不平行，故A错误；
，，故B正确；
设平面的法向量为，
则，取，得，
，与平面不平行，故C错误；
与不共线，与平面不垂直，故D错误．
故选：
建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 8.【答案】C
 【解析】解：设AC与BC的夹角为，
由题意可知，，当时取等号，
故的面积的最大值为
故选：
当实数a变化时，的最大面积为9，可知此时AC与BC相互垂直时，可求出r的值，进而求出a的值．
本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最大值的求法，属于中档题．
 9.【答案】C
 【解析】解：，
由的定义域为，
可排除选项A；
当时，，，，不等式成立，可排除选项B、D；
当时，，，结合图像可得不等式的解集为，
故选：
由对数函数的定义域和，，运用排除法和数形结合法，可得结论．
本题考查不等式的解法，运用排除法和图像法是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．
 10.【答案】B
 【解析】解：在中，，，
若添加条件①，则由余弦定理可得，即，即存在且唯一；
若添加条件②，则由余弦定理，可得：，解得，即存在且唯一；
若添加条件③，则由，则，则，即不存在，
即可以选择的条件的序号为①②，
故选：
由余弦定理，结合余弦函数的单调性及三角形的性质逐一判断即可得解．
本题考查了余弦定理，重点考查了余弦函数的单调性及三角形的性质，属基础题．
 11.【答案】
 【解析】解：抛物线的准线方程为：
故答案为：
直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
 12.【答案】60
 【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，，6，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，进而可以求解．
考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 13.【答案】
 【解析】解：由，，则；
，
故答案为：3；
由平面向量数量积运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属基础题．
 14.【答案】不唯一
 【解析】解：因为当时，，令，解得，
又因为有且仅有两个零点，
所以当时，仅有一个零点，
即在上仅有一个解，
等价于在上仅有一个解，
又因为，
所以只需满足即可．
故答案为：不唯一
由题意可知是函数的一个零点，所以当时，函数有且仅有一个零点，即在上仅有一个解，根据的范围求解即可．
本题属于开放型问题，考查了函数的零点、转化思想，属于基础题．
 15.【答案】 
 【解析】解：设正三角形ABC的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，，
设第一个阴影三角形面积为，后续阴影三角形面积为，，，，
由题意知，，
，是以3为首项，为公比的等比数列，
，，
，
，
，是以为首项，以为公比的等比数列，
图中阴影部分面积为：

故答案为：；
根据余弦定理得到等边三角形边长为等比数列，即可得的长度，再根据三角形的面积公式，求出各个阴影三角形面积成等比数列，能求出结果．
本题考查螺旋形图案的面积的求法，考查等比数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 16.【答案】证明：在正方体中，
因为平面，平面，
所以，即
因为四边形是正方形，
所以
因为，，平面，
所以平面
解：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，

所以，
由知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则所以，，
令，则，，所以，
所以
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的大小为；
设点A到平面的距离，
则
所以点A到平面的距离为
 【解析】根据线面垂直判定定理进行证明；
建立空间直角坐标系，将二面角的问题转为向量的夹角问题求解；
利用距离公式计算即可．
本题考查了线面垂直的证明，二面角的求解以及点到平面的距离问题，属于基础题．
 17.【答案】解：由题意知，，
选条件①②：的最小值为；，则，
的图象经过点，得，，
，，，
选条件①③：的最小值为；，则，
直线是函数的图象的一条对称轴．
，，
，，，
选条件②③：直线是函数的图象的一条对称轴．
，，即，，
，，，
的图象经过点，得，，
，
，
由，，
若在区间上的最大值为2，则，，
的最小值为
 【解析】先根据已知求出的最小正周期，即可求解，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和的值，从而可得的解析式；
由正弦函数的图象与性质可得关于m的不等式，即可求解．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：在样本空间中，
随机抽取一件产品为优等品的频率为，
故若从流水线上随机抽取一件产品，
估计该产品为优等品的概率为；
由题意得，
样本空间中单件产品利润大于20元的频率为，
故，
，
，
，
，
故X的分布列为X0123P；
每件产品的销售价格均降低了5元，
产品的平均销售价格也降低了5元，
故由方差的定义知，
降价前后这200件样本产品的利润的方差不变，
即
 【解析】求样本空间中随机抽取一件产品为优等品的频率作为概率即可；
由题意得，从而求分布列及数学期望；
由方差的常用结论可判断
本题考查了二项分布的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：根据题意，解得，，
所以椭圆C的方程为：
证明：由知，，
根据题意，直线MN的斜率一定存在，设直线MN的方程为
由得
根据题意，恒成立，设，
则
直线AM的方程为，
令，得，所以
因为，，
则直线BN，BP的斜率分别为，





所以，
所以B，P，N三点共线．
 【解析】由题意得到关于a，b，c方程组，求解方程组即可确定椭圆方程．
联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理即可证得三点共线．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 20.【答案】解：因为函数，
所以，
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，
所以，，
解得，，即，；
由题意，，
设，
当时，，在上单调递增，且，
所以，所以在上无零点，
当时，令，得，
当，即时，，在上单调递增，且，
所以，所以在上无零点，
当时，，
，符号变化如下，x-0+↘极小值↗所以，
当，即时，，
所以，所以在上无零点．
当，即时，由，，所以至少存在一个零点
所以至少存在一个零点，
综上，若无零点，实数a的取值范围为；
当时，，
定义域为
，
由可知，
当时，，
当时，，
所以当时，在上恒成立，
此时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，
当时，，
当时，，，
所以，单调递减，
此时不是极小值点．即时，不合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为
 【解析】根据导数的几何意义列出方程组求解即可；
整理，设，通过研究的单调性进而可确定的零点，从而得到无零点时a的取值范围，注意分情况讨论；
时，，求导可得，结合中所求，分，，三种情况求解即可．
本题考查了导数的几何意义，函数的零点问题和极值点问题，属于难题．
 21.【答案】解：因为数列满足性质①，且，，所以，所以，
又因为，即，所以，所以，同理可得；
证明：因为数列的通项公式为，
所以对于任意的，i，，令，则，
，
又，则，，
又，所以，
即对于任意的，，
所以数列满足性质①；
证明：由题意，数列满足性质①②，且当，时，同时满足性质①②的存在．
即对于任意的，存在，当时，都有成立，
所以，当时，，，即，
对于任意的，有，
对于任意的，有，
，
又当时，，
所以满足条件的数列是等差数列．
 【解析】由性质①，可求出且，可得，同理可得的值；
由，验证性质①，即可证明；
数列满足性质①②，代入验证，即可得当时，，即可证明满足条件的数列是等差数列．
本题考查数列的应用，通过新的数列的定义，联系所学的知识和方法，以及知识的迁移，属中档题．