2022-2023长沙中考数学新定义压轴精选

这是一份2022-2023长沙中考数学新定义压轴精选，共30页。试卷主要包含了新定义，我们定义，党的二十大报告指出，若定义，定义等内容，欢迎下载使用。
2022-2023长沙新定义压轴精选
一．解答题（共12小题）
1．新定义：若实数m，n满足m﹣n＝1时，就称点P（m，n）为“雅隽致远点”．
（1）判断点M（1，2）、N（2，1）是不是“雅隽致远点”？
（2）若反比例函数y＝（k≠0）的图象上存在两个不同的“雅隽致远点”A、B，且AB＝，求反比例函数的解析式；
（3）已知抛物线y＝x2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5上存在唯一的“雅隽致远点”，且当﹣4≤c≤5时，s的最小值为t+1，求t值．
2．我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点A（2，4），点B（﹣3，﹣6）．
（1）函数y＝3x+1的双语点是 　 　；
（2）函数y＝（k为常数，目k≠0）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数y＝的图象上只有唯一一个双语点，且当1≤n≤3时，m的最小值为k，求实数k的值．
3．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝　 　，[B]＝　 　；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
4．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
5．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P（m，n）的坐标满足n＝m2，则称点P为“高质量发展点”．
（1）若点P（m，4）是反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；
（2）若函数y＝2x+3﹣p（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；
（3）若二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+2（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令w＝﹣b2﹣8（a﹣1），当t﹣1≤b≤t时，w有最大值﹣t，求t的值．
6．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 　 　“明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y＝x2的图象上的明德点是 　 　；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
7．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 　 　“青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图象上的青一点是 　 　；
（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
8．2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：w+＞﹣x02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．
9．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　 　；②y＝x2−1 　 　；③y＝x2+4 　 　．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
10．我们不妨约定在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，若b2＝2b+4ac，则把该函数称之为“明麓函数”，根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，若是“明麓函数”的，请在相应题目后的括号中打“√”，若不是“明麓函数”的，请在相应的题目后打“×”．
①y＝x2　 　
②y＝x2+1 　 　
③y＝x2﹣2x+2 　 　
（2）求证：“明麓函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x总有两个不同的交点．
（3）已知“明麓函数”y＝x2+bx+c与直线y＝x相交于A、B两点，P是“明麓函数”y＝x2+bx+c上的一个动点，并在直线y＝x的下方，求△ABP面积的最大值．
11．规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数y＝x2上，点Q（﹣2，﹣4）在函数y＝﹣2x﹣8上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣2x﹣8互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．
（1）函数y＝﹣2x﹣1和函数y＝4x是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数y＝x2+2x和y＝4x+n﹣2022互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），其中0＜x1＜x2，AB＝2，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线y＝2bx+1与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的一点F的坐标，使得四边形FQEN为平行四边形．
12．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．
（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 　 　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．

2022-2023长沙新定义压轴精选
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．新定义：若实数m，n满足m﹣n＝1时，就称点P（m，n）为“雅隽致远点”．
（1）判断点M（1，2）、N（2，1）是不是“雅隽致远点”？
（2）若反比例函数y＝（k≠0）的图象上存在两个不同的“雅隽致远点”A、B，且AB＝，求反比例函数的解析式；
（3）已知抛物线y＝x2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5上存在唯一的“雅隽致远点”，且当﹣4≤c≤5时，s的最小值为t+1，求t值．
【分析】（1）由定义可知，点的横、纵坐标之差为1时，该点为“雅隽致远点”，由M（1，2），且1﹣2＝﹣1≠1，可判断该点是“雅隽致远点”；由N（2，1），且2﹣1＝1，可判断该点是“雅隽致远点”；
（2）由P（m，m﹣1），可证明“雅隽致远点”在直线y＝x﹣1上，而该直线与坐标轴成45°角，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＝AB＝，所以（x1﹣x2）2＝11，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝11，由y＝和y＝x﹣1得＝x﹣1，即x2﹣x﹣k＝0，则x1+x2＝1，x1x2＝﹣k，于是得1+4k＝11，求出k的值即可；
（3）由y＝x2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5和y＝x﹣1得x2+（c﹣t）x+2s+2t﹣4＝0，由该方程有两个相等的实数根得（c﹣t）2﹣4×（2s+2t﹣4）＝0，整理得s＝（c﹣t）2+2﹣t，对于s关于c的二次函数，当﹣4≤c≤5时，s的最小值为t+1，可分三种情况，一是当t＜﹣4时，则t+1＝（﹣4﹣t）2+2﹣t；二是当﹣4≤t≤5时，则t+1＝2﹣t；三是当t＞5时，则t+1＝（5﹣t）2+2﹣t，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）∵M（1，2），且1﹣2＝﹣1≠1，
∴M（1，2）不是“雅隽致远点”；
∵N（2，1），且2﹣1＝1，
∴N（2，1）是“雅隽致远点”．
（2）∵“雅隽致远点”P（m，n），且m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝m﹣1＝x﹣1，
∴点P（m，m﹣1）在直线y＝x﹣1上，
如图，设直线y＝x﹣1与x轴、y轴分别交于点C、点D，
当x＝0时，y＝﹣1；当y＝0时，则x﹣1＝0，解得x＝1，
∴C（1，0），D（0，﹣1），
∵OC＝OD＝1，
作AE⊥x轴，BE⊥y轴，AE与BE交于点E，则∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝∠OCD＝45°，
∴BE＝AB•cos45°＝AB＝×＝，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＝，
∴（x1﹣x2）2＝11，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝11，
由得＝x﹣1，
整理得x2﹣x﹣k＝0，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣k，
∴1+4k＝11，
解得k＝，
∴y＝＝，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（3）由得x2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5＝x﹣1，
整理得x2+（c﹣t）x+2s+2t﹣4＝0，
∵抛物线y＝x2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5上存在唯一的“雅隽致远点”，
∴关于x的一元二次x2+（c﹣t）x+2s+2t﹣4＝0有两个相等的实数根，
∴（c﹣t）2﹣4×（2s+2t﹣4）＝0，
整理得s＝（c﹣t）2+2﹣t，
∵s为c的二次函数，且当﹣4≤c≤5时，s的最小值为t+1，
∴当t＜﹣4时，则t+1＝（﹣4﹣t）2+2﹣t，此方程无解；
当﹣4≤t≤5时，则t+1＝2﹣t，解得t＝；
当t＞5时，则t+1＝（5﹣t）2+2﹣t，解得t1＝6+，t2＝6﹣（不符合题意，舍去），
综上所述，t的值为或6+．

【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2．我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点A（2，4），点B（﹣3，﹣6）．
（1）函数y＝3x+1的双语点是 　（﹣1，﹣2）　；
（2）函数y＝（k为常数，目k≠0）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数y＝的图象上只有唯一一个双语点，且当1≤n≤3时，m的最小值为k，求实数k的值．
【分析】（1）根据题意，联立，即可求解；
（2）根据题意，联立，即可求解；
（3）根据题意，转化为二次函数与一次函数的交点问题，即有相等的两个实数根，得出m＝（n﹣k﹣3）2﹣k﹣2，进而根据二次函数的性质，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）依题意，，
解得：，
∴函数y＝3x+1的双语点是：（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（2）依题意，，
即，
∴2x2＝k，
当k＞0时，解得：或，
当k＜0时，无解，
∴和；
∴当k＞0时，有两个双语点，分别为和；
当k＜0时，不存在双语点；
（3）依题意，，
整理得，，
∵函数的图象上只有唯一一个双语点，
∴有相等的两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（n﹣k﹣3）2﹣（m+k+2）＝0，
∴（n﹣k﹣3）2＝m+k+2，
∴m＝（n﹣k﹣3）2﹣k﹣2，
对称轴为直线n＝k+3，开口向上，
当1≤k+3≤3，时，k＝﹣k﹣2，
即﹣2≤k≤0时，解得：k＝﹣1，
当k+3＜1时，则当n＝1时，取得最小值m＝（﹣2﹣k）2﹣k﹣2＝2+k2+3k，
∵m的最小值为k，
∴2+k2+3k＝k，
即k2+2k+2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣8＜0，
∴原方程无解，
当k+3＞3时，则当n＝3时，取得小值m＝k2﹣k﹣2，
∴k2﹣k﹣2＝k，
即k2﹣2k﹣2＝0，
解得：或（舍去），
综上所述：或﹣1．
【点评】本题考查了一次函数交点问题，反比例函数与一次函数交点，二次函数与一次函数交点问题，理解新定义，掌握一次函数，二次函数，反比例函数的性质是解题的关键．
3．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝　3　，[B]＝　3　；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出[A]和[B]即可；
（2）不妨设C（a，2a+2），此时需要进行分类讨论求解当a＞0时；当﹣1≤a≤0时；当a＜﹣1时；
（3）根据二次函数图象性质直接判断．
【解答】（1）解：∵A（﹣1，3），，
∴[A]＝|﹣1|+|3|＝1+3＝4，，
故答案为：3，3．
（2）解：设C（a，2a+2），即[C]＝|a|+|2a+2|＝4，
当a＞0时，a+2a+2＝4，
解得：，
∴；
当﹣1≤a≤0时，﹣a+2a+2＝4，
解得：a＝2，（不符合题意，舍去）；
当a＜﹣1时，﹣a﹣2a﹣2＝4，
解得：a＝﹣2，
∴C（2，2）；
故满足条件的有：或（2，2）；
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，
∴方程组只有一组解．
消去y得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴，
∴ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为：，
∴[（b﹣1）x+2]2＝0，
∴．
∴，
∵D在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∴b＜1．
∵2≤|D|≤4，
∴，
∴，
∴﹣1≤b≤0，
∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，
∵﹣1≤b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1，
∴t随b的增大而增大，
∴2020≤t≤2021．
【点评】本题考查新定义类问题，绝对值法则、一次函数的性质、二次函数的图象和性质，解题的关键是表示点C，D的坐标，利用函数的性质求解．
4．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+2和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【分析】（1）设一次函数上任意一点P（a，a+2），则P点关于y轴的对称点Q（﹣a，a+2），根据题意可得﹣a（a+2）＝﹣3，求出a的值即可求“幸福点”；
（2）设一次函数上任意一点P（b，b﹣k+1），则P点关于y轴的对称点Q（﹣b，b﹣k+1），根据题意可得﹣b（b﹣k+1）＝k+2，再由Δ＝（1﹣k）2﹣4（k+2）＝0，求出k的值即可确定“向光函数”的解析式；
（3）由题意可得xA+xB＝﹣，xA•xB＝，xC+xD＝﹣，xC•xD＝，再由已知条件得到b＝2a﹣1，c＝1﹣3a，则S＝CD×（yA﹣yB）＝×（4a﹣1），求得＝×（4﹣）2，再由1＜＜2，求出2＜＜．
【解答】解：（1）存在“向光函数”，理由如下：
设一次函数上任意一点P（a，a+2），则P点关于y轴的对称点Q（﹣a，a+2），
当﹣a（a+2）＝﹣3时，解得a＝1或a＝﹣3，
∴P（1，3）或（﹣3，﹣1）是“幸福点”，一次函数y＝x+2和反比例函数存在“向光函数”；
（2）设一次函数上任意一点P（b，b﹣k+1），则P点关于y轴的对称点Q（﹣b，b﹣k+1），
当﹣b（b﹣k+1）＝k+2时，b2+b（1﹣k）+k+2＝0，
∵一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数只有一个“幸福点”，
∴Δ＝（1﹣k）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝﹣1或k＝7，
当k＝﹣1时，y＝x+2，y＝，则“向光函数”为y＝x2+2x+1；
当k＝7时，y＝x﹣6，y＝，则“向光函数”为y＝x2﹣6x+9；
（3）设一次函数上任意一点P（x，ax+b），则P点关于y轴的对称点Q（﹣x，ax+b），
当﹣x（ax+b）＝c时，ax2+bx+c＝0，
∵一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，xA+xB＝﹣，xA•xB＝，
∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点，
∴xC+xD＝﹣，xC•xD＝，
∵“向光函数”经过点（﹣3，4），
∴9a﹣3b+c＝4，
∵a+b+c＝0，
∴b＝2a﹣1，c＝1﹣3a，
∴y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
∵a＞b＞0，
∴a＞2a﹣1＞0，
∴＜a＜1，
∴xD﹣xC＝，yA﹣yB＝a（xA﹣xB）＝4a﹣1，
∴S＝CD×（yA﹣yB）＝×（4a﹣1），
∴＝＝×（4﹣）2，
∵1＜＜2，
∴2＜＜．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清新定义是解题的关键．
5．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P（m，n）的坐标满足n＝m2，则称点P为“高质量发展点”．
（1）若点P（m，4）是反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；
（2）若函数y＝2x+3﹣p（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；
（3）若二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+2（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令w＝﹣b2﹣8（a﹣1），当t﹣1≤b≤t时，w有最大值﹣t，求t的值．
【分析】（1）将P（m，4）代入得到关于m，k的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于m，k的另一个方程，解方程组即可；
（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为（t，t2），依据题意可得含t的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应Δ＞0，即可求出p的取值范围；
（3）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为（t，t2），将（t，t2）代入y＝ax2+（b﹣1）x+2，可得含t的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即Δ＝0，得出a，b的关系式，从而由w＝﹣b2﹣8（a﹣1）变形为关于w，b的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．
【解答】解：（1）将P（m，4）代入，得：，即k＝4m，
又因为P（m，4）是“高质量发展点”，
故m2＝4，解方程组，得：或，
则这个反比例函数的解析式为或．
（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为（t，t2），依据题意将（t，t2）代入y＝2x+3﹣p得：t2﹣2t﹣（3﹣p）＝0，
由函数y＝2x+3﹣p（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程t2﹣2t﹣（3﹣p）＝0有两个不相等的实根，即Δ＝（﹣2）2+4（3﹣p）＞0，解得：p＜4，
且由韦达定理可知t2﹣2t﹣（3﹣p）＝0的两根之和为2，两根之积为﹣（3﹣p），
又因为这两点都在第一象限可得：﹣（3﹣p）＞0，
解得：p＞3，
综上可得：4＞p＞3．
（3）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为（t，t2），将（t，t2）代入y＝ax2+（b﹣1）x+2，可得t2＝at2+（b﹣1）t+2，整理得（a﹣1）t2+（b﹣1）t+2＝0，
根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程（a﹣1）t2+（b﹣1）t+2＝0两根相等，即Δ＝（b﹣1）2﹣8（a﹣1）＝0，变形得：（b﹣1）2＝8（a﹣1），
因为w＝﹣b2﹣8（a﹣1），
所以w＝﹣b2﹣（b﹣1）2＝﹣2b2+2b﹣1，
故由抛物线w＝﹣2b2+2b﹣1性质：开口向下，对称轴为，顶点，
∵当t﹣1≤b≤t时，w有最大值﹣t，
∴分情况讨论最值情况：
①当，即时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，
故当b＝t﹣1时w有最大值﹣t，即﹣t＝﹣2（t﹣1）2+2（t﹣1）﹣1，化简得：2t2﹣7t+5＝0，得：，
∵，故t1＝1舍去，
∴，
②当且，即时，函数w＝﹣2b2+2b﹣1的自变量取值范围包括了顶点，即当，w有最大值，解得：，
∴，
（3）时函数w＝﹣2b2+2b﹣1自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w最大值当b＝t时取得，即：﹣t＝﹣2t2+2t﹣1，整理得：2t2﹣3t+1＝0，解得，
∵t
∴均不合要求，此时无解，
综上可得：或．
【点评】本题结合新定义综合考查了二次函数的性质，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数，第3问运用分类讨论可条理清晰解决问题．
6．若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y＝x+1，其“明德点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 　不是　“明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y＝x2的图象上的明德点是 　（0，0）或（2，4）　；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【分析】（1）根据“明德函数”的定义直接判断即可导出结论；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解，
∴函数y＝2x+3不是“明德函数”；
②令y＝x2＝2x，解得x＝0或x＝2，
∴函数y＝x2的图象上的“明德点”是：（0，0）或（2，4）；
故答案为：①不是；②（0，0）或（2，4）；
（2）由题意可知，＝2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m＝0，
∵抛物线上有两个“明德点”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×m（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m＜且m≠1．
（3）由题意可知，x2+（m﹣k+2）x+﹣k＝2x，
整理得，x2+（m﹣k）x+﹣k＝0，
∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（﹣k）＝0，
整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），
对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k；
根据题意需要分类讨论：
①，
∴k＝0；
②，无解；
③，
∴k＝或k＝（舍去）．
综上，k的值为0或．
【点评】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想等，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
7．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 　不是　“青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图象上的青一点是 　（2，4）或（﹣2，﹣4）　；
（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可导出结论；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解，
∴函数y＝2x+3不是“青一函数”；
②令＝2x，解得x＝2或x＝﹣2，
∴函数的图象上的青一点是（2，4）或（﹣2，﹣4）；
故答案为：①不是；②（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（2）由题意可知，＝2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x+m＝0，
∵抛物线上有两个“青一点”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m＜且m≠1．
（3）由题意可知，＝2x，
整理得，x2+（m﹣k）x+﹣＝0，
∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（﹣）＝0，
整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），
对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k；
根据题意需要分类讨论：
①，
∴k＝0；
②，无解；
③，
∴k＝或k＝（舍去）．
综上，k的值为0或．
【点评】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想等，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
8．2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：w+＞﹣x02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．
【分析】（1）根据定义可得p＝2023，再由2023＝|q+1|，求出q＝﹣2024，即可求p+q的值；
（2）分两种情况讨论：当k＝0时，函数y＝kx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；当k≠0时，由于kx1＝kx2（k≠0），则有x1＝x2，这与A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是两个不同的点矛盾，此时，y＝kx+b不是“高水平函数”；
（3）由题意求出2＜x0＜3，再由＝﹣（x+2）2+3，求出h的取值范围为﹣＜h＜﹣1，根据题意恒成立，可知w+≥﹣1，即可求w≥﹣．
【解答】解：（1）由题意可知，yP＝yq，即p＝2023，
将点Q（q，2023）代入函数y＝|x+1|，
∴2023＝|q+1|（q≠2022），
解得q＝﹣2024，
∴p+q＝2023+（﹣2024）＝﹣1；
（2）①当k＝0时，函数y＝kx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；
②当k≠0时，不是“高水平函数”，
若存在“高水平点“，设一组高水平点为A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b），
∴kx 1+b＝kx2+b（k≠0），
∴kx1＝kx2（k≠0），
∴x1＝x2，这与A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是两个不同的点矛盾，
∴当k≠0时，y＝kx+b不是“高水平函数”；
（3）∵m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c（a＞0），
解得，即，
∵点M、P为该函数的一组“高水平点”，纵坐标相等，
由抛物线对称性，得：2＜x0＜3，
∵恒成立，
设＝﹣（x+2）2+3，
∴﹣＜h＜﹣1，
∴w+≥﹣1，
∴w≥﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，能将所求问题转化为二次函数的性质是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　√　；②y＝x2−1 　√　；③y＝x2+4 　×　．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【分析】（1）根据“一中点”定义进行判断即可；
（2）由定义可得3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，再由判别式Δ＝m﹣1≤0，求出m≤1，根据根与系数的关系可得t＝（m﹣）2﹣，当m＝1时，t有最小值；
（3）由定义可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由题意可知Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，得到a＝（b﹣c）2﹣c+2，当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值求出c的值；当c≥2时，当b＝2时，a有最小值求出c的值；当c≤﹣1时，当b＝﹣1时，a有最小值，求出c的值．
【解答】解：（1）①当3x＝2x﹣1，解得x＝﹣1，
∴点（﹣1，﹣3）在y＝2x﹣1上，
∴y＝2x﹣1存在一中点”（﹣1，﹣3），
故答案为：√；
②当3x＝x2−1，解得x＝或x＝，
∴点（，）或（，）在y＝x2−1 上，
∴y＝x2−1 上存在两个“一中点”（，）或（，），
故答案为：√；
③当3x＝x2+4时，
∵Δ＝9﹣16＜0，
∴y＝x2+4上不存在“一中点”，
故答案为：×；
（2）∵抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，
∴3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，
整理得−x2+mx−m2﹣m+1＝0，
∴Δ＝﹣2m+2≥0，
∴m≤1，
∵x1+x2＝，x1•x2＝，
∴t＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（m﹣）2﹣，
∴当m＝1时，t有最小值；
（3）∵函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，
∴x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得x2+（b﹣c）x+a+c﹣2＝0，
∵函数的“一中点”是唯一的，
∴Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，
∴a＝（b﹣c）2﹣c+2，
当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2﹣c＝c，
∴c＝1；
当c≥2时，（2﹣c）2﹣c+2＝c，
解得c＝3+或c＝3﹣（舍去）；
当c≤﹣1时，（﹣1﹣c）2﹣c+2＝c，
整理得c2＝﹣3，
∴方程无解；
综上所述：c的值为1或3+．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
10．我们不妨约定在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，若b2＝2b+4ac，则把该函数称之为“明麓函数”，根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，若是“明麓函数”的，请在相应题目后的括号中打“√”，若不是“明麓函数”的，请在相应的题目后打“×”．
①y＝x2　√　
②y＝x2+1 　×　
③y＝x2﹣2x+2 　√　
（2）求证：“明麓函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x总有两个不同的交点．
（3）已知“明麓函数”y＝x2+bx+c与直线y＝x相交于A、B两点，P是“明麓函数”y＝x2+bx+c上的一个动点，并在直线y＝x的下方，求△ABP面积的最大值．
【分析】（1）①根据“明麓函数”的定义，求得b2＝2b+4ac＝0，可知y＝x2是“明麓函数”；
②通过计算得b2＝0，2b+4ac＝4，则b2≠2b+4ac，可知y＝x2+1不是“明麓函数”；
③通过计算得b2＝2b+4ac＝4，可知y＝x2﹣2x+2是“明麓函数”；
（2）由y＝ax2+bx+c（a≠0）是“明麓函数”，得b2＝2b+4ac，变形为b2﹣4ac＝2b，再将二次函数与一次函数的关系式联立方程组，得ax2+bx+c＝x，整理得ax2+（b﹣1）x+c＝0，计算一元二次方程根的判别式的值得Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝b2﹣4ac﹣2b+1＝2b﹣2b+1＝1＞0，即可证明“明麓函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x总有两个不同的交点；
（3）先由y＝x2+bx+c是“明麓函数”，推导出c＝b2﹣b，则y＝x2+bx+b2﹣b，由x2+bx+b2﹣b＝x整理得x2+（2b﹣2）x+b2﹣2b＝0，解得x1＝﹣b，x2＝﹣b+2，则A（﹣b，﹣b），B（﹣b+2，﹣b+2），过点P作PC⊥x轴于点C，交直线y＝x于点Q，设P（x，x2+bx+b2﹣b），则Q（x，x），所以PQ＝x﹣（x2+bx+b2﹣b）＝﹣x2+（1﹣b）x﹣b2+b，而点A（﹣b，﹣b）与点B（﹣b+2，﹣b+2）的水平距离为（﹣b+2）﹣（﹣b）＝2，则S△ABP＝﹣x2+（1﹣b）x﹣b2+b，由二次函数的性质可求得当x＝1﹣b时，S△ABP最大＝．
【解答】（1）解：对于二次函数y＝ax2+bx+c，由约定可知，b2＝2b+4ac，
①∵a＝1，b＝0，c＝0，
∴b2＝2b+4ac＝0，
∴y＝x2是“明麓函数”，
故答案为：√．
②∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴b2＝0，2b+4ac＝4，
∴b2≠2b+4ac，
∴y＝x2+1不是“明麓函数”，
故答案为：×．
③∵a＝1，b＝﹣2，c＝2，
∴b2＝2b+4ac＝4，
∴y＝x2﹣2x+2是“明麓函数”，
故答案为：√．
（2）证明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）是“明麓函数”，
∴b2＝2b+4ac，
即b2﹣4ac＝2b，
由得ax2+bx+c＝x，
整理得ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝b2﹣4ac﹣2b+1＝2b﹣2b+1＝1，
∵Δ＞0，
∴方程组有两个不相等的实数根，
∴“明麓函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x总有两个不同的交点．
（3）解：∵y＝x2+bx+c是“明麓函数”，
∴b2＝2b+4×c＝2b+2c，
∴c＝b2﹣b，
∴y＝x2+bx+b2﹣b，
由x2+bx+b2﹣b＝x得x2+（2b﹣2）x+b2﹣2b＝0，
∵（2b﹣2）2+4×1×（b2﹣2b）＝4，
∴x＝＝﹣b+1±1，
∴x1＝﹣b，x2＝﹣b+2，
∴“明麓函数”y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为A（﹣b，﹣b），B（﹣b+2，﹣b+2），
如图，过点P作PC⊥x轴于点C，交直线y＝x于点Q，
设P（x，x2+bx+b2﹣b），则Q（x，x），
∴PQ＝x﹣（x2+bx+b2﹣b）＝﹣x2+（1﹣b）x﹣b2+b，
∴S△ABP＝[﹣b+2﹣（﹣b）][﹣x2+（1﹣b）x﹣b2+b]＝﹣x2+（1﹣b）x﹣b2+b，
∴当x＝﹣＝1﹣b时，S△ABP最大＝﹣（1﹣b）2+（1﹣b）2﹣b2+b＝，
∴△ABP面积的最大值是．

【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
11．规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数y＝x2上，点Q（﹣2，﹣4）在函数y＝﹣2x﹣8上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣2x﹣8互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．
（1）函数y＝﹣2x﹣1和函数y＝4x是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数y＝x2+2x和y＝4x+n﹣2022互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），其中0＜x1＜x2，AB＝2，又，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线y＝2bx+1与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的一点F的坐标，使得四边形FQEN为平行四边形．
【分析】（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝4x上，构建方程组求解即可；
（2）设P（s，t）在y＝x2+2x上，则Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，构建方程组求解；
（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，可得，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，可得Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即b2﹣4ac＝4a，由ax2+bx+c＝0，可知x1+x2＝﹣，x1•x2＝，推出AB＝＝＝2，求出a，b，c的值，可得结论．
【解答】解：（1）是“守望函数”．
理由：设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝4x上，
∴，
解得，
∴“守望点”为（﹣，﹣），（，）；

（2）设P（s，t）在y＝x2+2x上，则Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，
∴，
∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2022＝﹣（s﹣1）2+2023，
当s＝1时，n有最大值2023，
此时“守望点”为（1，3）与（﹣1，﹣3）；

（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，
∴，
整理得ax2﹣bx+c+1＝0，
∵有且仅存在一组“守望点”，
∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即b2﹣4ac＝4a，
∵ax2+bx+c＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴AB＝＝，
∵AB＝2，
∴a＝1，
∴1＝，
∴c＝2或3，
当c＝3，
∴b2＝12+4＝16，
∴b＝﹣4或4（舍弃），
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，直线的解析式为y＝﹣8x+1，

函数图像如图所示，由题意M（2，﹣1），N（0，﹣1），Q（0，1），
∵四边形FQEN为平行四边形，点E在x轴上，
∴F（1，0）或（3，0）．
当c＝2时，同法可得，b＝﹣2，，F（，0）或（﹣1，0），
综上所述，满足条件的点F的坐标为（1，0）或（3，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
12．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．
（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）（﹣1，2）到x轴距离为2，不符合题意，
（0，0）到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，
③（，﹣1）到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，
故答案为：②③．
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，

由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C（2，﹣2）时，﹣2＝2a﹣3a+1，
解得a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D（2，2）时，2＝2a﹣3a+1，
解得a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：a的值为3或a＝﹣1．
（3）∵点（n，n）在直线y＝x上，
∴y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2＝x有两个相等实数根，
∴Δ＝（p﹣t）2﹣q﹣t+2＝0，
∴q＝（p﹣t）2﹣t+2，
∵当2≤p≤3时，q的最小值为t，
若p＝t，则q的最小值为﹣t+2，则﹣t+2＝t，
解得t＝p＝1，不符合题意．
当t＜2时，若p＝2，则q取最小值，即q＝（2﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝3+（舍）或t＝3﹣，
当t＞3时，若p＝3，则q取最小值，即q＝（3﹣t）2﹣t+2＝t
解得t＝4﹣（舍）或t＝4+，
综上所述，t＝3﹣或4+．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
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