2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（3分）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
4．（3分）如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2+∠4＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x8÷x4＝x4 B．x2•x3＝x6
C．x3+x2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
6．（3分）下列调查中，最适合采用普查的是（　　）
A．对某市居民垃圾分类意识的调查
B．对某批汽车抗撞击能力的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对某班学生的身高情况的调查
7．（3分）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
8．（3分）如图，A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点．下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的离；⑤∠APB的大小．其中会随着点P的移动发生变化的值是（　　）

A．②③ B．①③④ C．④⑤ D．②⑤
9．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：2⊕3＝，2⊕（﹣3）＝，则y＝4⊕x（x≠0）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（　　）

A． B． C．256 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3mx﹣6my＝　 　．
12．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
13．（3分）某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是 　 　．
14．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，CD是中线，E是边上一动点，将△DEB沿DE折叠得到△DEF，若点F（不与点C重合）在△ABC的角平分线上，则CE的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（﹣）﹣1；
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
17．（9分）王老师任教的（1）班和（2）班均为40人，期末数学成绩相关的统计表和统计图如下．
统计量
平均数
众数
中位数
优秀率
（1）班
79
84
76
40%

成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（70～79分），合格（60～69分），不合格（60分以下）．（2）班中“良好”这一组学生的成绩分别是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出（2）班成绩的中位数和优秀率．
（2）成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？
（3）你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由．
18．（9分）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD．
（1）利用尺规作图作∠BAD的平分线AE交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABEF是菱形．

19．（9分）北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”．如图1是一场馆内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为1.4m，缓坡BD的坡角∠DBC＝6°，缓坡FD的坡角∠EDF＝8°，平台AF的长为2m，求BC的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin6°≈0.10，cos6°≈0.99，tan6°≈0.11，sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14）

20．（9分）学校用6000元购买了A、B两种树苗共150棵进行植树活动．已知一棵B种树苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同．
（1）求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？
（2）若学校第二次购买A、B两种树苗共90棵，且第二次购买A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，E为AB延长线上一点，EC切⊙O于C，AD⊥CE于点D．
（1）求证：∠DAC＝∠EAC；
（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．

22．（10分）小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，测量得到如下数值：
x/m
0
4
1
1.5
2
2.5
3
y/m
2.5
3.3
3.9
3.85
3.3
2.25
7
小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的情况进行了探究．
（1）首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度OC为 　 　m，可得到y关于x表达式为 　 　，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 　 　m；
（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC，使水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，请求出降低后的水管高度是多少？

23．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　 　．EH与AD的位置关系是　 　．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．


2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（3分）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得：从上面看到的形状图为：

故选：D．

3．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
4．（3分）如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明a∥b的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2+∠4＝180° C．∠3＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x8÷x4＝x4 B．x2•x3＝x6
C．x3+x2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【解答】解：A．x8÷x4＝x4，故本选项符合题意；
B．x2•x3＝x5，故本选项不符合题意；
C．x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D．（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）下列调查中，最适合采用普查的是（　　）
A．对某市居民垃圾分类意识的调查
B．对某批汽车抗撞击能力的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对某班学生的身高情况的调查
【解答】解：A．对某市居民垃圾分类意识的调查，普查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．对某批汽车抗撞击能力的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．对一批节能灯管使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．对某班学生的身高情况的调查，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1且a≠0，
故选：D．
8．（3分）如图，A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点．下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的离；⑤∠APB的大小．其中会随着点P的移动发生变化的值是（　　）

A．②③ B．①③④ C．④⑤ D．②⑤
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN＝AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：D．
9．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：2⊕3＝，2⊕（﹣3）＝，则y＝4⊕x（x≠0）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵p⊕q＝，
∴y＝4⊕x＝，
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（　　）

A． B． C．256 D．
【解答】解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1＝1，
∴B1的横坐标为，OA1＝OB1，
设B1（，y），则，
解答y＝或y＝（舍），
∴B1（，），
∴OB1所在的直线的解析式为y＝x，
∵OA1＝1，∠OA1C＝30°，△OA1B1是等边三角形，
∴∠B1A1C＝90°，
∵∠OB1A1＝∠B1B2A2＝60°，
∴B1A1∥B2A2，
∴∠B1A1C＝∠B2A2A1＝90°，
∴∠B1A2A1＝30°，
∴B1A2＝2A1B1＝2，
∴B2的横坐标为，
∴y＝x＝，
∴B2（，），
同理：B3 （，），
B4 （，），
总结规律：
B1 的横坐标为，
B2 的横坐标为+1＝，
B3 的横坐标为+1+2＝，
B4 的横坐标为+1+2+4＝，
...，
∴点B9的横坐标是1+2+4+8+16+32+64+128＝．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3mx﹣6my＝　3m（x﹣2y）　．
【解答】解：原式＝3m（x﹣2y）．
故答案为：3m（x﹣2y）．
12．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＜　y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
13．（3分）某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是 　　．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中A、B两个小区都被分在第一批的结果有2种，即AB、BA，
∴A、B两个小区都被分在第一批的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 　　．

【解答】解：在正五边形ABCDE中，，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝48°，
∴，
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，CD是中线，E是边上一动点，将△DEB沿DE折叠得到△DEF，若点F（不与点C重合）在△ABC的角平分线上，则CE的长为 　或2（﹣1）　．

【解答】解：如图1，当F点在∠CAB的角平分线上时，
∵∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠BAF＝30°，
由折叠可知，∠B＝∠DFE＝30°，BE＝EF，
∵∠FAD＝∠DFA＝30°，
∴∠BDF＝60°，
∴DF∥AC，
∴DH⊥BC，
∴H是BC的中点，
∵AB＝4，
∴AC＝2，BC＝2，
∴BH＝，
∵D是AB的中点，
∴HD＝1，
在Rt△EFH中，HE＝EF，
∴HE＝，
∴CE＝+＝；
如图2，当F点在∠ABC的角平分线上时，
由折叠知，BD＝BE，
∵∠DBF＝∠FBE，
∴△DBF≌△EBF（SAS），
∴EF＝FE，
∵EB＝EF，
∴BD＝DF＝EF＝BE，
∵BD＝AD＝2，
∴BE＝2，
∵BC＝2，
∴CE＝2﹣2；
综上所述：CE的长为或2（﹣1），
故答案为：或2（﹣1）．


三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：|﹣2|+（3.14﹣π）0﹣（﹣）﹣1；
（2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝2+1+3
＝6；
（2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+9
＝10﹣4x．
17．（9分）王老师任教的（1）班和（2）班均为40人，期末数学成绩相关的统计表和统计图如下．
统计量
平均数
众数
中位数
优秀率
（1）班
79
84
76
40%

成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（70～79分），合格（60～69分），不合格（60分以下）．（2）班中“良好”这一组学生的成绩分别是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出（2）班成绩的中位数和优秀率．
（2）成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？
（3）你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由．
【解答】解：（1）（2）班成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为71、73，
所以其中位数为＝72，优秀率为×100%＝30%；

（2）成绩为76分的学生在（2）班的名次更好，
∵（1）班成绩的中位数是76，（2）班成绩的中位数是72，
∴成绩为76分的学生在（2）班的名次更好；

（3）（1）班，
因为（1）班成绩的中位数和优秀率均高于（2）班．
18．（9分）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD．
（1）利用尺规作图作∠BAD的平分线AE交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABEF是菱形．

【解答】（1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵AB＝AF，
∴AF＝BE，
而AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
19．（9分）北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”．如图1是一场馆内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为1.4m，缓坡BD的坡角∠DBC＝6°，缓坡FD的坡角∠EDF＝8°，平台AF的长为2m，求BC的长．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin6°≈0.10，cos6°≈0.99，tan6°≈0.11，sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14）

【解答】
解：作FM⊥BC于点M，延长DE交FM于点N，设BC＝xm，则CM＝DN＝x﹣2，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴tan6°＝，
∴CD＝x•tan6°＝0.11x，
∴MN＝CD＝0.11x，
∴FN＝1.4﹣0.11x，
在Rt△DFN中，tan∠FDN＝，
∴tan8°＝≈0.14，
解得x≈6.7．
答：BC的长约为6.7米．
20．（9分）学校用6000元购买了A、B两种树苗共150棵进行植树活动．已知一棵B种树苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同．
（1）求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？
（2）若学校第二次购买A、B两种树苗共90棵，且第二次购买A种树苗的棵数不多于B种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？
【解答】解：（1）设购买一棵A种树苗，购买一棵B种树苗分别为x元、2x元，
根据题意得：+＝150，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×30＝60．
答：购买一棵B种树苗需要60元，购买一棵A种树苗需要30元；
（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（90﹣m）棵，
根据题意得：m≤2（90﹣m），
解得：m≤60，
设购买两种树苗90棵所需总费用为w元，则w＝30m+60（90﹣m）＝﹣30m+5400．
∵k＝﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵m≤60，且m为正整数，
∴当m＝60时，w取得最小值为3600．
答：至少要花3600元钱．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，E为AB延长线上一点，EC切⊙O于C，AD⊥CE于点D．
（1）求证：∠DAC＝∠EAC；
（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵EC切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠EAC；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，
在Rt△OCE中，r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴OC＝OB＝3，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴＝，即＝，
∴AD＝．

22．（10分）小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，测量得到如下数值：
x/m
0
4
1
1.5
2
2.5
3
y/m
2.5
3.3
3.9
3.85
3.3
2.25
7
小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的情况进行了探究．
（1）首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度OC为 　2.5　m，可得到y关于x表达式为 　y＝﹣x2+2.4x+2.5　，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为 　1.2　m；
（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC，使水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，请求出降低后的水管高度是多少？

【解答】解：（1）∵记水流与池中心水管的水平距离为x米，距地面的高度为y米，当x＝0时，y＝2.5，
∴水管出水口距地面的高度OC为2.5m；
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，2.5），（1，3.9），（2，3.3）代入得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2.4x+2.5；
∵y＝﹣x2+2.4x+2.5＝﹣（x﹣1.2）2+3.94，
∴该抛物线的顶点坐标为（1.2，3.94），
∴水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2m．
故答案为：2.5；y＝﹣x2+2.4x+2.5；1.2；
（2）∵只降低水管出水口距离地面的高度OC，
∴设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y＝﹣x2+2.4x+m，
∵水流落地点与水管的距离OA缩短为3m，
∴抛物线y＝﹣x2+2.4x+m经过（3，0），
∴﹣32+2.4×3+m＝0，
∴m＝1.8，
∴降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y＝﹣x2+2.4x+1.8，
令x＝0，则y＝1.8，
∴降低后的水管高度为1.8米．
23．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　EH＝AD，　．EH与AD的位置关系是　EH⊥AB　．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．

【解答】解：（1）如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，
故答案为EH＝AD，EH⊥AD．

（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．

∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，EH∥BF，
∴EH⊥AD，EH＝AD．

（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴x2+（2x+x）2＝8，
∴x＝﹣1，
∴AD＝2﹣2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（2﹣2）•（﹣1）＝4﹣2．
如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

同法可求：EH＝+1，AD＝2+2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（2）（+1）＝4+2，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣2或4+2．