四川省成都市第七中学初中学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试卷

这是一份四川省成都市第七中学初中学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都七中初中学校九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（4分）在下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
2．（4分）据报道，华为某新款手机采用了5纳米制程芯片，5纳米就是0.000000005米，数据0.000000005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．0.5×10﹣9
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．|﹣2|＝﹣ C．＝±2 D．（﹣）﹣1＝﹣2
4．（4分）如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．22.5°
5．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（4分）如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O的距离OP＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B．1 C． D．2
7．（4分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（　　）

A．4 B．3 C． D．
8．（4分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．4 B．10 C． D．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
9．（4分）已知扇形的圆心角为135°，半径为1，则扇形的弧长为 　 　．
10．（4分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，则∠CDE的度数是　 　．

11．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 　 　．
12．（4分）如果抛物线y＝2x2﹣bx+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 　 　．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD＝10，直线MN恰好经过点A，则AE的长为 　 　．

14．（4分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　 　．
15．（4分）如图，把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线C2（实线部分），新的双曲线C2与y轴的交点为 　 　．

16．（4分）有4张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为x，另有一个被均匀分成3份的转盘，上面分别标有数字﹣1，0，﹣4，转动转盘，指针所指的数字记为y（若指针指在分割线上则重新转一次），则点P（x，y）落在抛物线y＝2x2﹣2x﹣4与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是 　 　．
17．（4分）如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB．当C′P⊥AC时，AP的长为 　 　．

18．（4分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则AM+BN的最小值为 　 　．

三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
20．（8分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图：
组别
时间t/h
频数（人数）
A
0≤t＜1
2
B
1≤1＜2
m
C
2≤t＜3
10
D
3≤t＜4
12
E
4≤t＜5
7
F
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中，m＝　 　；扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为 　 　，“C”部分所占百分比为 　 　；若该中学有2000名学生，则每周课外阅读时间不低于4h的大约有 　 　人；
（2）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生．用画树状图或列表的方法求从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生的概率．

21．（8分）如图，某编辑部办公楼（矩形ABCD）前有一建筑物（矩形MGHN），建筑物垂直于地面，在办公楼底A处测得建筑物顶的仰角为37°，在办公楼天台B处测得建筑物的俯角为45°，已知办公楼高度AB为14m，求建筑物的高度MN．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

22．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，F为垂足，交AC于点C使∠BED＝∠C．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）若AD＝8，tan∠BED＝，EB与AD的交点为G，求AB，EG的长．

23．（12分）综合与探究
如图，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交BC于点E（﹣2，4），交AB于点F．
（1）求k的值与点F的坐标；
（2）在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，并求出点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是y轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x元（x为正整数且x≤15）．
（1）当宾馆每天收入为8000元，求x的值．
（2）如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；
（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）模型建立：
（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；
类比探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．
①求证：FA2＝FC•FM；
②若AF＝4，CF＝2，AM＝10，求FN的长．



2022-2023学年四川省成都七中初中学校九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（4分）在下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较各数大小即可．
【解答】解：四个数大小关系为﹣3＜﹣2＜0＜1，
则比﹣2小的数是﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较，能够将四个数按照从小到大顺序排列是解本题的关键．
2．（4分）据报道，华为某新款手机采用了5纳米制程芯片，5纳米就是0.000000005米，数据0.000000005用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．0.5×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数据0.000000005用科学记数法表示为5×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．|﹣2|＝﹣ C．＝±2 D．（﹣）﹣1＝﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A.﹣＝，故此选项不合题意；
B．|﹣2|＝，故此选项不合题意；
C.＝2，故此选项不合题意；
D．（﹣）﹣1＝﹣2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
4．（4分）如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到∠ADB的度数．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O
∴的度数等于360°÷6＝60°
∴∠ADB＝30°
故选：C．
【点评】理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．
5．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O的距离OP＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO的度数，连接OA，可知OA⊥AP，故在Rt△AOP中，根据三角函数公式，可将半径求出．
【解答】解：连接OA
∵PA为⊙O的切线
∴PA⊥OA
∵∠APO＝∠APB＝30°
∴OA＝OP×sin∠APO＝2×＝1
∴⊙O的半径为1
故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长定理．
7．（4分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（　　）

A．4 B．3 C． D．
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：连接OC，

∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（8﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．（4分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．4 B．10 C． D．
【分析】先根据位似的性质得到＝，四边形ABCD与四边形EFGH相似，再利用比例的性质得＝＝，然后根据相似多边形的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
∴＝，四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∵，
∴＝，
∴＝，
∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长＝，
∴四边形EFGH的周长＝×25＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
9．（4分）已知扇形的圆心角为135°，半径为1，则扇形的弧长为 　　．
【分析】利用弧长公式l＝，求解即可．
【解答】解：扇形的弧长l＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长公式，解题关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．
10．（4分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，则∠CDE的度数是　60°　．

【分析】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B＝180°，∠CDE+∠ADC＝180°，然后根据同角的补角相等得出∠CDE＝∠B＝60°．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B．
∵∠B＝60°，
∴∠CDE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
11．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 　x≠3　．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，列不等式求解即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
12．（4分）如果抛物线y＝2x2﹣bx+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 　（0，1）　．
【分析】由抛物线的对称轴为y轴可得b＝0，进而求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为y轴，
∴﹣＝0，
∴b＝0，
∴y＝2x2+1，
∴抛物线顶点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD＝10，直线MN恰好经过点A，则AE的长为 　14　．

【分析】根据垂直平分线的性质可知∠AED＝90°，，再根据菱形的性质利用勾股定理即可求出结果．
【解答】解：根据作图可知直线MN是线段CD的垂直平分线，
∴，∠AED＝90°，
∵菱形ABCD中，AD＝10，
∴AD＝CD，CE＝ED＝5，
在Rt△AED中，，
故答案为：5．

【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
14．（4分）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，将其代入已知等式，列出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，
∴+＝＝＝3．
解得k＝．
经检验，k＝是方程＝3的解．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（4分）如图，把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线C2（实线部分），新的双曲线C2与y轴的交点为 　（0，﹣）　．

【分析】先根据平移的性质得出双曲线C2的解析式，再把x＝0代入求得y的值，即可求得新的双曲线C2与y轴的交点．
【解答】解：把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线C2：y＝，
令x＝0，则y＝﹣，
∴新的双曲线C2与y轴的交点为（0，﹣）；
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，熟知左加右减的平移规律是解答此题的关键．
16．（4分）有4张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为x，另有一个被均匀分成3份的转盘，上面分别标有数字﹣1，0，﹣4，转动转盘，指针所指的数字记为y（若指针指在分割线上则重新转一次），则点P（x，y）落在抛物线y＝2x2﹣2x﹣4与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是 　　．
【分析】利用树状图，作出所有等可能的情况，然后据二次函数图象上点的坐标特征求出落在抛物线与x轴围成的区域内的点的个数，再根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：
示意图如下





根据题意，树状图如下：



∴一共有12种结果，分别是（﹣1，﹣4），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣，﹣4），（﹣，﹣1），（﹣，0），（0，﹣4），（0，﹣1），（0，0），（，﹣4），（，﹣1），（，0），以上每种结果等可能性，
当x＝﹣1时，
y＝2x2﹣2x﹣4＝2×（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣4＝2+2﹣4＝0，
所以，没有点落在抛物线与x轴围成的区域内，
当x＝﹣时，y＝2x2﹣2x﹣4＝2×（﹣）2﹣2×（﹣）﹣4＝+﹣4＝﹣3，
所以，点（﹣，﹣1）落在抛物线与x轴围成的区域内，
当x＝0时，
y＝﹣4，
所以，点（0，﹣1）落在抛物线与x轴围成的区域内，
当x＝时，y＝2x2﹣2x﹣4＝2×（）2﹣2×﹣4＝﹣1﹣4＝﹣4，
所以，点（，﹣1）、（，﹣4）落在抛物线与x轴围成的区域内，
综上所述，点P一共有12种情况，落在抛物线与x轴围成的区域内的点有（﹣，﹣1）、（0，﹣1）、（，﹣1）、（，﹣4），共4个，
所以P（落在抛物线与x轴围成的区域内）＝＝．

【点评】本题考查了列表法以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，正确理解题意，画出示意图是解本题的关键．
17．（4分）如图，已知∠ABC＝135°，AB＝3，BC＝6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C′PB．当C′P⊥AC时，AP的长为 　或　．

【分析】分两种情况讨论，根据翻折的性质证明△CPB∽△CBA，过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，根据勾股定理即可求出CP的长，即可求解．
【解答】解：①由翻折可知：∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°，
∴∠CPB＝135°，
∴∠CPB＝∠CBA，
∴△CPB∽△CBA，
∴，
过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，

∴∠CBH＝45°，BC＝6，
∴CH＝BH＝3，
∴AH＝6，
在Rt△CAH中，CA＝＝＝3，
∴CP＝＝＝，
∴AP＝；
②如图，

由翻折可知：∠CPB＝∠C'PB
∵∠C'PC＝90°，
∴∠CPB＝45°，
∴∠APB＝45°，
∴∠APB＝∠ABC，
∴△APB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝AC•AP，
∵AB＝3，AC＝3，
∴AP＝，
∴AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用分类讨论是解决问题的关键．
18．（4分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则AM+BN的最小值为 　2　．

【分析】过点B作BD∥AC，使BD＝AC＝BC＝2，连接AD，交BC于点M．作DE⊥AB于D，则△CBN≌△BDM，所以BN＝MD，AM+BN＝AM+MD，因此当A、M、D在同一直线上时，AM+BN最小为AD，由勾股定理即求出答案．
【解答】解：如图．

过点B作BD∥AC，使BD＝AC＝BC＝2，连接AD，作DE⊥AB于E．
在△CBN与△BDM中，
，
∴△CBN≌△BDM（SAS），
∴BN＝MD，
∴AM+BN＝AM+MD，
∴当A、M、D在同一直线上时，AM+BN最小为AD，
∵BD＝CB＝2，
∴BE＝DE＝，AB＝2
∴AE＝AB+BE＝2+＝3，
∴AD＝＝＝2，
即AM+BN的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先计算相反数、平方根、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减；
（2）先分别对两个不等式进行求解，再求得此题最后结果．
【解答】解：（1）
＝3+4﹣2×+1﹣
＝3+4﹣1+1﹣
＝7﹣；
（2），
解不等式①，
得x≥﹣1，
解不等式②，
得x＜2.5，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜2.5．
【点评】此题考查了实数混合运算和不等式组的求解能力，关键是能准确确定运算顺序与方法，并进行正确地求解．
20．（8分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图：
组别
时间t/h
频数（人数）
A
0≤t＜1
2
B
1≤1＜2
m
C
2≤t＜3
10
D
3≤t＜4
12
E
4≤t＜5
7
F
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中，m＝　5　；扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为 　45°　，“C”部分所占百分比为 　25%　；若该中学有2000名学生，则每周课外阅读时间不低于4h的大约有 　550　人；
（2）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生．用画树状图或列表的方法求从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生的概率．

【分析】（1）根据6组的人数之和为40可求出m，用360°乘以B组人数所占比例可求得其对应圆心角度数；用C组人数除以总人数可求得其对应的百分比；用总人数乘以样本中E、F组人数和所占比例．
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到都是女生的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）m＝40﹣（2+10+12+7+4）＝5，
扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为360°×＝45°，
“C”部分所占百分比为×100%＝25%，
若该校有2000名学生，那么每周课外阅读时间超过4小时的人数大约为2000×＝550（人），
故答案为：5、45°、25%、550；
（2）画树状图如下：

共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数（率）分布表，解决本题的关键是掌握概率公式．
21．（8分）如图，某编辑部办公楼（矩形ABCD）前有一建筑物（矩形MGHN），建筑物垂直于地面，在办公楼底A处测得建筑物顶的仰角为37°，在办公楼天台B处测得建筑物的俯角为45°，已知办公楼高度AB为14m，求建筑物的高度MN．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】设MN＝xm，过点M作MP⊥AB于点P，则∠MPB＝90°，四边形MNAP是矩形，则PA＝MN＝xm，PM＝AN，证PM＝BP＝AN，再由锐角三角函数定义得PM＝BP≈x，然后由BP+PA＝AB得x+x＝14，解方程即可．
【解答】解：设MN＝xm，
过点M作MP⊥AB于点P，如图所示：
则∠MPB＝90°，四边形MNAP是矩形，
∴PA＝MN＝xm，PM＝AN，
∵∠PBM＝90°﹣45°＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴PM＝BP，
∴PM＝BP＝AN，
在Rt△MAN中，∠MAN＝37°，
∵tan∠MAN＝，
∴AN＝≈＝x，
∴PM＝BP≈x，
∵BP+PA＝AB，
∴x+x＝14，
解得：x＝6，
即建筑物的高度MN约为6m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，F为垂足，交AC于点C使∠BED＝∠C．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）若AD＝8，tan∠BED＝，EB与AD的交点为G，求AB，EG的长．

【分析】（1）由∠BED＝∠C，∠BED＝∠BAD，得∠C＝∠BAD，则∠C+∠AOC＝∠BAD+∠AOC＝90°，所以∠OAC＝90°，即可证明直线AC是⊙O的切线；
（2）连接AE，由AF＝AD＝4，＝tan∠OAF＝tan∠BED＝，得OF＝AF＝3，则OA＝＝5，所以AB＝2OA＝10，因为EF＝OE﹣OF＝2，所以AE＝＝2，再证明△GEF∽△EAF，得＝，则EG＝＝．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AD，
∴∠AFO＝∠AFE＝90°，
∵∠BED＝∠C，∠BED＝∠BAD，
∴∠C＝∠BAD，
∴∠C+∠AOC＝∠BAD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AC⊥OA，
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）解：连接AE，
∵AD＝8，tan∠BED＝，∠BED＝∠OAF，
∴AF＝DF＝AD＝×8＝4，＝tan∠OAF＝tan∠BED＝，
∴OF＝AF＝×4＝3，
∴OA＝＝＝5，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2OA＝2×5＝10，∠AEB＝90°，
∵∠AFO＝90°，OE＝OA＝5，OF＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣3＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵∠EFG＝∠AFE＝90°，∠GEF＝∠EAF＝90°﹣∠AEF，
∴△GEF∽△EAF，
∴＝，
∴EG＝＝＝，
∴AB的长为10，EG的长为．

【点评】此题重点考查同角的余角相等、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（12分）综合与探究
如图，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交BC于点E（﹣2，4），交AB于点F．
（1）求k的值与点F的坐标；
（2）在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，并求出点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是y轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）直接将点E的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，再求点F的坐标即可；
（2）作点F关于x轴的对称点G，连接GE与x轴交于点M，连接FM，EF，此时△EMF的周长最小，过点E作EH⊥x轴于点H，通过证明△AGM～△HEM，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）设P（0，t），有两点间距离公式分别表示出，
若EM为菱形的一边，则有两种情况，①ME＝MP，②ME＝EP，若EM为菱形的对角线，则有MP＝EP，分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，4）代入中，得：．
∴k＝﹣8．
当x＝﹣6时，．
∴．
（2）作点关于x轴的对称点G，连接GE与x轴交于点M，连接EF，此时△EMF的周长最小．
方法一：

过点E作EH⊥x轴于点H．
设M（a，0），则AM＝a+6，HM＝﹣2﹣a．
∵，点G与点F关于x轴对称，
∴．
∴．
∵E（﹣2，4），
∴EH＝4．
∵∠GAM＝∠EHM＝90°，∠AMG＝∠HME，
∴△AGM～△HEM．
∴．
∴．
∴a＝﹣5．
∴M（﹣5，0）．
方法二：
设EG的函数关系式为y＝kx+b．
∵，点G与点F关于x轴对称，
∴，
把E（﹣2，4），代入y＝kx+b中，
得：，解得：，
∴，
当y＝0时，x＝﹣5，
∴M（﹣5，0）．
（3）设P（0，t），
∵E（﹣2，4），M（﹣5，0），
∴，
若EM为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下：
①ME＝MP，即，
解得t＝0，
∴P（0，0）；
②ME＝EP，即，
解得，
∴或；
若EM为菱形的对角线，则有MP＝EP，
即，
解得，
∴；
综上，点P的坐标为（0，0）或或或．

【点评】本题考查了求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式及菱形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价100元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加10x元（x为正整数且x≤15）．
（1）当宾馆每天收入为8000元，求x的值．
（2）如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可知宾馆每个房间定价增加10x元，也就会有x个房间空闲，然后即可得到这天游客租住的房间数和每间房间的利润；根据宾馆每天的利润能达到8000元可以列出相应的方程，从而求出答案；
（2）根据题意，可以得到利润W和x之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到房价定为多少时，宾馆每天的利润最大．
【解答】解：（1）由题意可得，
宾馆每个房间定价增加10x元后，这天游客租住了（50﹣x）间房，每间房间的利润是（100+10x）元，
由题意可得，（100+10x）（50﹣x）＝8000，
解得x1＝10，x2＝30，
∵x为正整数且x≤15，
∴x＝10，
答：宾馆每天的收入为8000元时，x＝10；
（2）设利润为W元，
由题意可得W＝（100+10x）（50﹣x）＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∴该函数图象开口向下，对称轴为x＝20，
∵x为正整数且x≤15，，
∴x＝15时取得最大值，此时W＝8750，100+10x＝100+10×15＝250，
答：房价定为250元时，宾馆每天的利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；
（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式，设E（m，﹣m2﹣2m+3），过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F（m，m+3），得到EF＝EH﹣FH＝﹣m2﹣3m，理由三角形的面积公式求得△EAC面积＝＝﹣+，利用二次函数的性质求得m值，则点E坐标可得；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：设M（x，﹣x2﹣2x+3），①当CM交x轴于G时，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法得到直线CG的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论；②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，利用①中的方法解答即可得出结论．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝1或﹣3．
∴A（﹣3，0）．
∴OA＝3．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
∵点E在直线AC上方的抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设E（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0．
过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F（m，m+3），
∴EH＝﹣m2﹣2m+3，FH＝m+3，
∴EF＝EH﹣FH＝﹣m2﹣3m．
∴△EAC面积＝EF•OA＝（﹣m2﹣3m）×3＝﹣﹣m＝﹣+．
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，△EAC面积最大．
此时点E的坐标为（﹣，）；
（3）在抛物线上存在点M，使∠ACM＝∠BCO，理由：
分两种情况：
设M（x，﹣x2﹣2x+3），
①如图，当CM交x轴于G时，

∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACG＝∠OCB，
∵OC＝OA＝3，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠BCM＝45°，
∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB＝∠BGC，
∵∠CBG＝∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴，
∵OB＝1，OC＝3，
∴BC＝，
设G（﹣t，0），
∴，
∴t＝，
∴G（﹣，0），
设直线CG的解析式为y＝ex+f，
∴，
解得：．
∴直线CG的解析式为：y＝2x+3，
则，
∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x1＝0（舍），x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴M（﹣4，﹣5）；
②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，如图，

∵∠OAC＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB＝OA+OB＝3+1＝4，
∴AP＝BP＝＝2，
∵AC＝＝3，
∴CP＝AC﹣AP＝，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACB＝∠OCM，
∵∠BPC＝∠COA＝90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴，
∴，
∴NO＝6，
∴N（﹣6，0），
设直线NC的解析式为y＝dx+n，
∴，
解得：．
∴直线NC的解析式为：y＝x+3，
联立方程组得：，
解得：x1＝0，x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝，
∴M（﹣，），
综上所述，存在点M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．

【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26．（12分）模型建立：
（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；
类比探究：
（2）如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．
①求证：FA2＝FC•FM；
②若AF＝4，CF＝2，AM＝10，求FN的长．


【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得，即可得出结论；
（2）①连接AC，由菱形的性质得∠BAC＝∠BAD，AB∥CD，再证∠FAC＝∠M，然后证△FAC∽△FMA，得，即可得出结论；
②由①可知，△FAC∼△FMA，得，求出AC＝5，再证△NAC∽△AMC，得，求出，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD•AB；
（2）①证明：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD，AB∥CD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠FAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠M，
∴∠FAC＝∠M，
∵∠AFC＝∠MFA，
∴△FAC∽△FMA，
∴，
∴FA2＝FC•FM；
②解：由①得：FA2＝FC•FM，
∵AF＝4，CF＝2，
∴FM＝8，
∴CM＝FM﹣CF＝8﹣2＝6，
由①可知，△FAC∼△FMA，
∴，
即，
解得：AC＝5，
由①得：∠BAE＝∠FAC，
同理得：∠DAN＝∠CAM，
∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠N，
∴∠CAM＝∠N，
由①知，∠NAC＝∠M，
∴△NAC∽△AMC，
∴，
即，
解得：，
∴．

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．