专题42 二次根式-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题42 二次根式

一、二次根式的性质与化简

【学霸笔记】

1. 二次根式的性质

（1）；

（2）.

2. 二次根式运算法则

（1）；

（2）.

【典例】如果式子|x﹣2|化简的结果为2x﹣3，则x的取值范围是（　　）

A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x＞0

【解答】解：∵|x﹣2|＝|x﹣1|+|x﹣2|，

又∵化简的结果为2x﹣3，

∴，

解得x≥2．

故选：B．

【巩固】实数a、b满足10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为　     　．

【解答】解：∵10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，

∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，

∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，

∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，

∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，

∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，

∴a2+b2的最大值为：

52+（﹣4）2＝41．

故答案为：41．

二、二次根式分母有理化

【典例】已知x，y，则　　．

【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：

x5+2，

y5﹣2，

∴98．

故答案为：98．

【巩固】已知x，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x的值为（　　）

A．0 B．1 C． D．

【解答】解：∵x，

∴x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x

＝x5（x﹣2）﹣x4+x2（x﹣2）+2x

＝x5（2）﹣x4+x2（2）+2x

＝x5（）﹣x4+x2（）+2x

＝x4[x（）﹣1]+x2（）+2x

＝0+x（）（）+2x

＝﹣x+2x

＝x

．

故选：C．

三、二次根式中的整数和小数部分应用

【典例】已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值．

【解答】解：∵4＜5＜9，

∴23，

∴45，

∴a＝4，b；

∴

．

【巩固】

设a为的小数部分，b为的小数部分，则　           　．

【解答】解：∵，

∴a的小数部分1；

∵，

∴b的小数部分2，

∴211．

故答案为：1．

巩固练习

1．若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：由两个已知等式可得，

，

而|b|≥0，所以c≤2．

当c＝2时，可得a＝9，b＝0，满足已知等式．

所以c可能取的最大值为2．

故选：C．

2．化简的结果是（　　）

A． B． C．2 D．﹣2

【解答】解：；，

因此，原式．

故选：D．

3．如果实数x，y满足（x）（y）＝1，那么x+y值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．2

【解答】解：∵（x）（x）＝x2+1﹣x2＝1，（y）（y）＝y2+1﹣y2＝1

又∵（x）（y）＝1，

∴，

①+②得：﹣x﹣y＝x+y，

∴2（x+y）＝0，

∴x+y＝0．

故选：A．

4．小明在解方程2时采用了下面的方法：由

（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，

又有2，可得8，将这两式相加可得

，将5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．

请你学习小明的方法，解决下列问题：

（1）已知，则的值为 　　．

（2）解方程4x，得方程的解为 　．

【解答】解：（1）（）（）＝22﹣a2﹣（10﹣a2）＝12，

∵，

∴2，

故答案为：2；

（2）（）（）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x，

∵4x，

∴2，

将这两式相加可得2x+1，

解得x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解．

∴原方程的解为：x＝3，

故答案为：x＝3．

5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且

则：　　．

【解答】解：∵

∴（）（）0

（）（）＝0

∵1＜x＜y＜100

∴0

∴xy＝2009＝7×7×41＝49×41

∵整数x、y满足：1＜x＜y＜100

∴x＝41，y＝49

∴10．

故本题答案为：10．

6．已知x（b＞21），则x2﹣bx+103＝　　．

【解答】解：将x代入x2﹣bx+103，

 x2﹣bx+103

＝（）2﹣b•103

＝0，

故答案为0．

7．已知x＝3+2，求：的值．

【解答】解：原式＝x2+26（x）+5

＝（x）2+6（x）+5

＝（x1）（x5），

∵x＝3+2，

∴3﹣2，

∴x3+23﹣26．

∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．

8．计算：

（1）2（432）；

（2）（π）0+3﹣2

（3）若a1，b1，求a2b+ab2的值．

（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+b||b+c|

【解答】解：（1）原式＝2（892）

＝2

＝10；

（2）原式1+31

＝4；

（3）∵a1，b1，

∴a+b＝2，ab＝4，

∴a2b+ab2＝ab（a+b）

＝4×2

＝8；

（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．

∴|a+b||b+c|

＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c

＝﹣a．

9．已知x﹣y＝6，，求的值．

【解答】解：∵x﹣y＝6，

∴，

∴，

∵

••

（）

＝9，

∴，

即，

∴

（）

＝4．

10．若m满足关系，试求m的值．

【解答】解：根据题意得：，

则x+y﹣199＝0，

即0，

则，

解得．

故m＝201．

11．已知x（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

【解答】解：不存在．

∵x+y2

＝n+1﹣2n+n+1+n+24n+2．

xy•1．

假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．

即19x2+36xy+19y2＝1998．

19x2+19y2＝1962，（x2+y2）．

（x+y）2．

由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．

∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，

∴x+y不为整数．

∴不存在这样的自然数n．