专题14 直线、射线、线段-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题14 直线、射线、线段

一、线段的和、差、倍、分

【典例】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝12cm，BC＝8cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；

（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）

（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．

【解答】解：（1）由AC＝12（cm），M是AC的中点，得

MCAC＝6（cm）．

由BC＝8（cm），N是CB的中点，得

CNCB＝4（cm）．

由线段的和差，得

MN＝MC+NC＝6+4＝10（cm）；

（2）由AC＝a（cm），M是AC的中点，得

MCAC（cm）．

由BC＝b（cm），N是CB的中点，得

CNCB（cm）．

由线段的和差，得

MN＝MC+NC（cm）；

（3）①当点C在B点的右边时，AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，得

MCAC，NCBC（cm）．

由线段的和差，得

MN＝MC−NC（cm）；

②当点C在A点的左边时，AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，得

MCAC，NCBC（cm）．

由线段的和差，得

MN＝NC−MC，

③点C在线段AB上时，MN＝MC+NC（cm）．

【巩固】如图，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．

（1）求线段AB，CD的长；

（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长；

（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．

二、计数类问题

【学霸笔记】

1. 若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多有个；

2. 若一条直线上有n个点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有条；

3. 过平面上任意三个不在同一条直线上的n个点中的两个点，可以画条直线；

4. 平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最多，有个.

【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，

已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，

又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），

所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．

故选：B．

【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n＝2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：

过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9＝45条直线．

请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）

（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？

（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？

巩固练习

1．如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：

①图中共有3条直线；②图中共有7条射线；③图中共有6条线段；④图中射线BC与射线CD是同一条射线．

其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图，线段AF中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EF＝e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（　　）

A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5e 

C．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e

3．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）

A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 

C．点C在A、B两点之间 D．无法确定

4．如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB＝2BC＝3CD＝4DE，若A、E两点表示的数的分别为﹣13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（　　）

A．﹣1 B．5 C．6 D．8

5．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（　　）

A．36 B．37 C．38 D．39

7．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）

A．A区 B．B区 

C．C区 D．A、B两区之间

8．如图，B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE＝9，BD＝4，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为　        　．

9．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　   　；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

10．直线l上的三个点A、B、C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．

若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．

（1）MP＝　          　cm；

（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．