专题43 勾股定理-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

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专题43 勾股定理
一、勾股定理解决几何最值问题
【典例】图①所示的正方体木块棱长为8cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 　 　cm．

【解答】解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD=BC2+BD2=82cm，
则BE=12CD＝42cm，
在Rt△ACE中，AE=AC2−CE2=46cm，
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（42+46）cm．
故答案为：（42+46）．

【巩固】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　）

A．18cm B．15cm C．20cm D．25cm
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=A'D2+BD2=122+162=20（cm）．
故蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm．
故选：C．

二、勾股定理逆定理
【典例】图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为5，25，5，并直接写出这个三角形的面积．

【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△DEF即为所求；
S△DEF=12×5×25=5．

【巩固】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD=2，CD=10．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．

【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝22，
∵AD=2，CD=10，
∴AD2+AC2＝（2）2+（22）2＝2+8＝10＝（10）2＝CD2，
∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，
即∠DAB的度数是135°；
（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，
∵∠DAB＝135°，
∴∠DAE＝45°，
∵DE⊥AE，AD=2，
∴DE＝AE＝1，
∵AB＝2，
∴BE＝3，
∴BD=BE2+DE2=32+12=10，
即BD的长是10．

三、勾股数
【典例】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．
【解答】解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
【巩固】
张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．

（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．





巩固练习
1．△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若ADBD=(ACBC)2，则△ABC是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：①若AD＝BD，
∵ADBD=(ACBC)2，
∴AC＝BC，
此时CD是高，符合题意，
即△ABC是等腰三角形；
②∵ADBD=(ACBC)2，
∴AD⋅ABBD⋅AB=(ACBC)2=AC2BC2，
∴当AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB时成立，
即ACAD=ABAC，
∵∠A是公共角，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC＝2，则EF的长为（　　）

A．3−1 B．32 C．1 D．22
【解答】解：过F点作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD=12BC＝1，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝15°，AD⊥BC，
∵∠ACE=12∠BAC，
∴∠CAD＝∠ACE＝15°，
∴AF＝CF，
∵∠ACD＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DCE＝75°﹣15°＝60°，
在Rt△CDF中，AF＝CF=DCcos60°=2，DF＝CD•tan60°=3，
∵FG∥BC，
∴GF：BD＝AF：AD，即GF：1＝2：（2+3），
解得GF＝4﹣23，
∴EF：EC＝GF：BC，即EF：（EF+2）＝（4﹣23）：2，
解得EF=3−1．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，点O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 　 　．

【解答】解：如图1，当∠AMB＝90°时，

∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OB＝4，
又∵∠AOC＝∠BOM＝60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM＝BO＝4，
在Rt△ABM中，AM=AB2−BM2=43；

如图2，当∠AMB＝90°时，

∵O是AB的中点，AB＝8，
∴OM＝OA＝4，
又∵∠AOC＝60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM＝AO＝4；

如图3，当∠ABM＝90°时，

∵∠BOM＝∠AOC＝60°，
∴∠BMO＝30°，
∴MO＝2BO＝2×4＝8，
在Rt△BOM中，BM=MO2−OB2=43，
在Rt△ABM中，AM=AB2+BM2=47，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为43或47或4．
故答案为：43或47或4．
4．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，……，若点A(32，0)，B(0，2)，则点B2021的坐标为 　　．

【解答】解：由图象可知点B2021在x轴上，
∵OA=32，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=(32)2+22=52，
∴B1（4，0），B3（10，0），B5（16，0），…，
∴B1B3＝B3B5＝6，
∵2021÷2＝1010•••1，
∴1010×6＝6060，6060+4＝6064，
∴B2021（6064，0）．
故答案为（6064，0）．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h．求证：
（1）1a2+1b2=1ℎ2；
（2）a+b＜c+h；
（3）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形．

【解答】证明：（1）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则△ACB∽△ADC∽△CDB，
CDAC=BDBC，即CD2AC2=BD2BC2，
∵h2（1a2+1b2）=CD2BC2+CD2AC2=CD2BC2+BD2BC2=BC2BC2=1，
∴1a2+1b2=1ℎ2；

（2）∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴S△ABC=12ab=12ch，
∴ab＝ch，
∵∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝c2+2ch，（c+h）2＝c2+2ch+h2，
∵a、b、c、h都是正数，
∴（a+b）2＜（c+h）2，
∴a+b＜c+h；

（3）∵（c+h）2＝c2+2ch+h2；
h2+（a+b）2＝h2+a2+2ab+b2，a2+b2＝c2（勾股定理），ab＝ch（面积公式推导），
∴c2+2ch+h2＝h2+a2+2ab+b2，
∴（c+h）2＝h2+（a+b）2，
∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1，则DE的长为多少？

【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠DAG＝∠ACB，DE⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵AG＝GF，
∴DG＝AG＝GF，
∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠DGC＝∠GAD+∠GDA＝2∠GAD，
∵∠DCG＝2∠ACB，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC＝3，
在Rt△DEC中，∵∠DEC＝90°，DC＝3，EC＝1，
∴DE=32−12=22．
7．如图，四边形ABCD中，BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，且AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10，求AC的长．

【解答】解：过C作CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEA＝90°，∠CFD＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
又∵BC＝DC，
∴△CFD≌△CEB（HL），
∴DF＝EB，
同理可得△ACF≌△ACE，
∴AF＝AE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
即9+DF＝21﹣BE，
解得DF＝BE＝6，
由勾股定理得，AC=AF2+CF2=AF2+CD2−DF2=152+102−62=17．
答：AC长为17．

8．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝135°，∠BCD＝120°，AB=6，BC＝5−3，CD＝6，求AD．

【解答】解：如图，过A作AE∥BC交CD于E，过B作BF⊥AE于F，作CG⊥AE于G，
则∠1＝45°，∠2＝60°，
则Rt△ABF为等腰直角三角形，BCGF为矩形，
又因为AB=6，BC＝5−3，
所以BF＝AF=22AB=3，所以CG＝BF=3，
所以CE=23CG＝2，EG=13CG＝1
所以AE＝AF+FG+GE＝AF+BC+GE＝6
DE＝CD﹣EC＝6﹣2＝4
过D作DM⊥AE延长线于M
∠MED＝180°﹣∠AED＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°
所以EM=12DE＝2，DM=32DE＝23
在Rt△AMD中，AD=AM2+DM2=(6+2)2+(23)2=219

9．（1）如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，证明：AD2＝BD•DC．
（2）设a，b＞0，利用（1）中的结论证明：a+b2≥ab，并说明取“＝”的条件．
（3）已知a，b，c＞0，且b2+ab+ac+bc＝4，求a+2b+c的最小值．


【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝（BD+DC）2，
∴BD2+CD2+2BD•CD＝AB2+AC2，
∴2BD•CD＝（AC2﹣CD2）+（AB2﹣BD2）．
∵AD⊥BC，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2＝AD2，
∴2BD•CD＝2AD2，
∴AD2＝BD•CD；
（2）证明：设CD＝b，BD＝a，由（1）得AD2＝ab，
∴AD=ab，
如图，取BC的中点E，连接AE，

∵AE≥AD，当且仅当E，D重合时取等号，此时a＝b，
∵AE=12BC=a+b2，
∴a+b2≥ab，当且仅当a＝b时取等号．
（3）解：∵a，b，c＞0，且b2+ab+ac+bc＝4，
∴4＝c（a+b）+b（a+b），
即4＝（b+c）（a+b），
而a+2b+c＝（a+b）+（b+c）≥2(a+b)(b+c)=24=4．
∴a+2b+c的最小值为4，当且仅当a+b＝b+c，即a＝c时成立．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，点P为△ABC内部一点，连接PA，PB，PC．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2；
①过点C作CP′⊥CP，垂足为点C，且CP′＝CP，连接AP′，PP′，△APP′是怎样的特殊三角形？并说明理由．
②求∠BPC的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝60°，PA＝5，PB＝4，PC＝3，请直接写出∠BPC的度数．

【解答】解：（1）①结论：△APP'为直角三角形．
理由：∵CP＝CP′＝2，∠PCP′＝90°，
∴PP′=CP2+P'C2=22+22=22，
∵∠PCP′＝∠ACB，
∴∠ACP′＝∠BCP，
在△ACP′和△BCP中，
CA=CB∠ACP'=∠BCPCP'=CP，
∴△BPC≌△AP'C（SAS），
∴AP'＝BP＝2，
∵PA＝3
∴PA2＝9，P′A2+P′P2＝12+（22）2＝9，
∴PA2＝P′A2+P′P2，
∴∠PP′A＝90°，
∴△APP'为直角三角形．

②由①可得∠AP'P＝90°，∠PP'C＝∠CPP'＝45°，
∴∠AP'C＝∠AP'P+∠PP'C＝90°+45°＝135°．

（2）如图2，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBP′，连接PP′，

在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BP＝BP′，∠PBP′＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形；
∴PP′＝PB，∠BPP′＝60°，
由旋转的性质得，P′C＝PA＝5，
∵PP′2+PC2＝32+42＝25＝P′C2，
∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP′+∠CPP′＝60°+90°＝150°．
∴∠BPC＝150°．
11．如图，A（0，m），B（n，0），满足(m−5)2+n2﹣10n+25＝0
（1）求点A，点B的坐标；
（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明．
（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝42，求PB的长．

【解答】解：（1）∵(m−5)2+n2﹣10n+25＝0，
∴|m﹣5|+（n﹣5）2＝0
∴m﹣5＝0且n﹣5＝0，
则m＝5，n＝5，
故A（0，5）B（5，0）；

（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，

∵AO⊥BO，
∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）．
又AC⊥PB，∠1＝∠2，
∴∠OAC＝∠OBD（等角的余角相等）．
在△OAC与△OBD中，
∠AOC=∠BODOA=OB∠OAC=∠OBD，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴OC＝OD，
∴CD=2CO，
∴BC﹣AC＝CD=2CO；

（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．

易证△OPB≌△OMA（ASA），
∴PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM，
又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，
∴∠APM＝45°+45°＝90°，
易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7．
在Rt△APM中，由勾股定理得到：MA=AP2+MP2=(42)2+(72)2=130
即PB的长度为130．