2022-2023学年湖北省咸宁市通城县八年级（下）入学数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年湖北省咸宁市通城县八年级（下）入学数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省咸宁市通城县八年级（下）入学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠0 C．0＜x＜1 D．x≠﹣1
2．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列运算结果正确的是（　　）
A．2 B．
C．a D．2﹣3＝﹣8
4．点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
5．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）

A．72° B．85° C．65° D．80°
7．若关于x的方程无解，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE的长度是（　　）

A．6 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．若分式的值为0，则x＝　 　．
10．分解因式：x2y﹣4y＝　 　．
11．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠DBE＝42°，则∠AEB＝　 　．

12．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B＝64°，∠MDN＝136°，则∠AMB＝　 　．

13．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 　 　．
14．若三角形的三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是 　 　．
15．如图∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF＝　 　．

16．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，F，M为EF的中点，连接AM并延长交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN； ④△ADM和△DMN的面积相等．其中正确的结论是 　 　．

三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．分解因式：
（1）5x2+10x+5；
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）．
19．先化简，再求值：（），其中x＝2023．
20．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC∥DF，∠B＝∠E，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF．

21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．

22．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．
23．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

24．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

25．如图1，在等边△ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处．
（1）请直接写出爬行过程中CD和BE的数量关系；
（2）如图2，当蜗牛们分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小将会保持不变，猜想∠CQE的度数并证明你的猜想；
（3）如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，求证：DF＝EF．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠0 C．0＜x＜1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
解：分式有意义应满足分母不为0，即x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义的条件是解题关键．
2．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．
因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．
2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A．2 B．
C．a D．2﹣3＝﹣8
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则、二次根式的性质、同底数幂的除法运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而判断得出答案．
解：A．2+3＝8，故此选项不合题意；
B．＝6，故此选项不合题意；
C．a2÷a6＝（a≠0），故此选项符合题意；
D．2﹣3＝，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、同底数幂的除法运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）

A．72° B．85° C．65° D．80°
【分析】根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．
解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，
∴∠C＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解答本题的关键是根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°．
7．若关于x的方程无解，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．
解：∵方程无解，
∴x＝4是方程的增根，
∴m+1﹣x＝0，
∴m＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查方程的增根问题，计算时要小心，是一道基础题．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE的长度是（　　）

A．6 B．2 C．3 D．4
【分析】分别延长AC、BD交于点F，根据角平分线的性质得到∠BAD＝∠FAD，证明△BAD≌△FAD，根据全等三角形的性质得到BD＝DF，根据平行线的性质得到BE＝ED，EA＝ED，进一步计算即可求解．
解：分别延长AC、BD交于点F，

∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠FAD，∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△BAD和△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴∠ABD＝∠F，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠F，∠EDA＝∠FAD，
∴∠ABD＝∠EDB，∠EDA＝∠EAD，
∴BE＝ED，EA＝ED，
∴BE＝EA＝ED，
∴DE＝AB＝×8＝4，
故选：D．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．若分式的值为0，则x＝　2　．
【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．
解：根据题意，
x﹣2＝0且2x+1≠0，
解得x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
10．分解因式：x2y﹣4y＝　y（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
解：x2y﹣4y，
＝y（x2﹣4），
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
11．如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠DBE＝42°，则∠AEB＝　132°　．

【分析】由等腰直角三角形的性质得AC＝BC，EC＝DC，由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠BCE，即可证明△ACE≌△BCD，得∠CAE＝∠CBD，则∠CAE+∠CBE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE＝42°，所以∠EAB+∠EBA＝45°+45°﹣42°＝48°，则∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝132°，于是得到问题的答案．
解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠BCE，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠CBE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE＝42°，
∴∠EAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA﹣（∠CAE+∠CBE）＝45°+45°﹣42°＝48°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣48°＝132°，
故答案为：132°．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明△ACE≌△BCD是解题的关键．
12．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B＝64°，∠MDN＝136°，则∠AMB＝　72°　．

【分析】根据平行线的性质求出∠BAM，再由三角形的内角和定理可得出∠AMB．
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠MDN＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠MDN＝44°，
在△ABM中，∠AMB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同旁内角互补，及三角形的内角和定理．
13．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 　15°或75°　．
【分析】因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示
∵CD⊥AB，CD＝AC，
∴sin∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
故其底角为15°或75°．
故答案为：15°或75°．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
14．若三角形的三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是 　腰与底边不等的等腰三角形　．
【分析】根据“分式的值为0，分子等于0且分母不等于0”进行解答．
解：依题意得 ab﹣ac+bc﹣b2＝0且a﹣c≠0．
整理得 （b﹣c）（a﹣b）＝0且a≠c，
解得 b＝c或a＝b且a≠c，
故该三角形是腰与底边不等的等腰三角形，
故答案是：腰与底边不等的等腰三角形．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件和等腰三角形的判定．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
15．如图∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF＝　60°　．

【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠DEF的度数．
解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，
∴∠ACB＝15°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠ECD＝∠CED＝45°
∴∠CDE＝180°﹣45°×2＝90°，
∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝180°﹣（30°+90°）＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣（60°+60°）＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
16．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，F，M为EF的中点，连接AM并延长交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN； ④△ADM和△DMN的面积相等．其中正确的结论是 　②③④　．

【分析】根据题意可得：AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，即可证AE＝AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM＝MN；即可得结论．
解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵BE是平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB＝67.5°，∠AFD＝67.5°＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE≠EF，
故①不符合题意，
∵M是EF的中点，AE＝AF，
∴AM⊥BE，∠DAM＝∠CAM＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CBE＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ADN，AD＝BD，
∴△ADN≌△BDF（ASA），
∴DF＝DN，
故②符合题意，
∵AB＝AC，∠ACB＝∠DAB＝45°，∠ABF＝∠CAN＝22.5°，
∴△ABF≌△ACN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AE＝AF，
∴AE＝CN；
故③符合题意，
∵∠BAN＝∠BAD+∠DAN＝67.5°，∠BNA＝∠ACB+∠NAC＝67.5°，
∴∠BAN＝∠BNA，
∴BA＝BN，
∵AM⊥BE，
∴AM＝MN，
∴△AMD和△DMN的面积相等．
故④符合题意，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
解：（1）去分母，得3+（x﹣2）＝﹣（x﹣3），
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根，
∴x＝1；
（2）去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝11，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的根，
∴x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键，注意验根．
18．分解因式：
（1）5x2+10x+5；
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先提公因式，再将括号内整式化简即可．
解：5x2+10x+5
＝5（x2+2x+1）
＝5（x+1）2；
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）
＝（a+4）（a﹣4+3）
＝（a+4）（a﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．先化简，再求值：（），其中x＝2023．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解：原式＝（）×
＝×
＝，
当x＝2023时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC∥DF，∠B＝∠E，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF．

【分析】根据平行线的性质和ASA证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．

【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，再连接A′B，与y轴的交点即为所求．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，

由图知，A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）；

（2）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．
22．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．
【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数＝2，根据这个关系列出方程求解即可．
解：设原计划每天铺设管道x米．
由题意，得．
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每天铺设管道60米．
【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

【分析】利用已知得出BD的长，进而得出PC的长，利用SAS证明△BPD≌△CQP即可．
解：△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1s，
∴BP＝CQ＝3×1＝3（cm），
∵AB＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，
∴PC＝8﹣3＝5（cm），
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及动点问题，利用运动路线得出对应边是解题关键．
24．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；

（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图1，在等边△ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处．
（1）请直接写出爬行过程中CD和BE的数量关系；
（2）如图2，当蜗牛们分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小将会保持不变，猜想∠CQE的度数并证明你的猜想；
（3）如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，求证：DF＝EF．


【分析】（1）证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据△ADC≌△CEB，得到∠ADC＝∠E，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）过点D作DH∥BC交AC于H，证明△DFH≌△EFC，根据全等三角形的性质证明．
【解答】（1）解：CD＝BE，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
由题意得：AD＝CE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴CD＝BE；
（2）∠CQE＝60°，
证明如下：由（1）可知△ADC≌△CEB，
∴∠ADC＝∠E，
∵∠E+∠ABE＝∠BAC＝60°，∠DBQ＝∠ABE，
∴∠CQE＝∠ADC+∠DBQ＝60°；
（3）证明：过点D作DH∥BC交AC于H，
∴∠HDF＝∠CEF，
∵△ABC为等边三角形，
∴△ADH为等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DFH和△EFC中，
，
∴△DFH≌△EFC（AAS），
∴DF＝EF．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．