2022-2023学年湖北省咸宁市通城县八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省咸宁市通城县八年级（下）期中数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于( )
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
2.下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 20B. 12C. 8D. 4
3.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 1， 2， 3B. 3， 4， 5C. 6，7，8D. 2，3，4
4.菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相平分
5.下列计算错误的是( )
A. 2⋅ 3= 6B. 8=2 2C. 12÷ 3=2D. 2+ 3= 6
6.已知y= x−3+ 3−x+1，则x+y的平方根是( )
A. 2B. −2C. ±2D. ±1
7.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1,3)，则A、C两点间的距离是( )
A. 4
B. 13
C. 10
D. 2 2
8.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2 3，AD=2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为( )
A. 3
B. 2 3
C. 4
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算： 12 3=______．
10.比较大小：4 15(填“>”或“
【解析】【分析】
本题考查了实数的大小比较，关键是知道4= 16，题目较好，难度也不大．首先求出4= 16，比较 16和 15的值即可．
【解答】
解：∵4= 16，
16> 15，
∴4> 15，
故答案为>．
11.【答案】5
【解析】解：∵20n=22×5n．
∴整数n的最小值为5．
故答案是：5．
20n是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，n的最小值即可．
本题考查了二次根式的定义，理解 20n是正整数的条件是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=∠CBM，
∵在▱ABCD中，
∴AB/​/CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC=2，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD=7，
∴CD=5，
则DM=CD−MC=3，
故答案为：3．
本题考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键，注意等腰三角形的判定的正确运用．
根据BM是∠ABC的平分线和AB/​/CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，即可得到DM的长．
13.【答案】− 5
【解析】解：
由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，
故OB=OA= OC2+BC2= 22+12= 5，
∵A在x的负半轴上，
∴数轴上点A所表示的数是− 5．
故答案为：− 5．
首先根据勾股定理得：OB= 5.即OA= 5.又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是− 5．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于熟练运用勾股定理并注意根据点的位置以确定数的符号．
14.【答案】2 5
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为 10和2 2，
∴菱形面积=12× 10×2 2=2 5．
故答案为：2 5．
直接由菱形面积公式列式计算即可．
本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键．
15.【答案】−3 6
【解析】解：∵ 3，− 6，3，−2 3， 15，…，(−1)n+1 3n，
∴第18个数据为：−3 6．
故答案为：−3 6．
观察发现规律为(−1)n+1 3n，写出第18个数据即可．
本题考查了算术平方根及数字的变化规律，发现规律是关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OCF=∠OBE=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，故①正确；
∴△BOE与△COF的面积相等，
∴四边形OEBF的面积与△OBC的面积相等，
又∵△BOC的面积等于正方形ABCD面积的四分之一，
∴四边形OEBF的面积保持4不变，故②正确；
如图所示，连接EG，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG=∠FOG，
又∵OE=OF，OG=OG，
∴△EOG≌△FOG(SAS)，
∴EG=FG，
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∵Rt△BEG中，BG2+BE2=EG2，
∴BG2+CF2=GF2，故③正确；
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF= 2OE，
当OE有最小值时，EF的值最小，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴当OE⊥AB时，OE的最小值等于AB的一半，
即OE的最小值等于2，
∴EF的最小值为2 2，故④正确．
故答案为：①②③④．
依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形、直角三角形解决问题．
17.【答案】解：原式=3 2−2 2+3−1
= 2+2．
【解析】直接化简二次根式以及结合平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为： 18=3 2(dm)， 32=4 2(dm)，
∴剩余木料的面积为：(4 2−3 2)×3 2= 2×3 2=6(dm2).
【解析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．
本题考查了二次根式在正方形和长方形面积计算中的应用，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键．
19.【答案】解：在△ABE中，
∵62+82=102，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°；
∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD−S△ABE
=102−12×6×8
=76．
【解析】利用勾股定理的逆定理可判断△ABE是直角三角形，利用正方形减去直角三角形的面积即可．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，也考查了勾股定理的逆定理，解本题的关键就是利用勾股定理的逆定理判断出△ABE是直角三角形．
20.【答案】解：(1)∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为(b−a)2，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2即c2=a2+b2；
(2)由图可知：
(b−a)2=3，4×12ab=13−3=10，
∴2ab=10，
∴(a+b)2=(b−a)2+4ab=3+2×10=23．
【解析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
(2)根据完全平方公式的变形解答即可．
本题考查了对勾股定理的证明和非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
21.【答案】3
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB/​/CD，
∴∠DNE=∠AME，
∵点E是AD边的中点，
∴AE=DE，
在△NDE和△MAE中，∠DNE=∠AME∠DEN=∠AEMDE=AE，
∴△NDE≌△MAE(AAS)，
∴NE=ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)①解：当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=6，
∵点E是AD边的中点，
∴AE=12AD=3，
∴AM=AE=3，
∵∠DAB=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EM=AE，
∵NE=EM=12MN，
∴MN=AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：3；
②证明：∵AB=AD=6，AM=6，
∴AD=AM，
∵∠DAB=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
(1)由菱形的性质可得∠DNE=∠AME，再由点E是AD边的中点，可得AE=DE，从而可证明△NDE≌△MAE(AAS)，则NE=ME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
(2)①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22.【答案】25
【解析】解：(1)设AE=x km，则BE=(20−x)km，
在Rt△ADE与Rt△BCE中，由勾股定理得，
AD2+AE2=DE2，BE2+BC2=CE2，
∵DE=CE，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，
∴102+x2=(20−x)2+52，
解得x=658，
即收购站E应建在离A点658km处；
(2)如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求，DC′长即为距离的和最短值，
过点C′作C′F⊥DA交DA的延长线于点F，
则DC′= DF2+FC′2= (10+5)2+202=25(km)，
故答案为：25．
(1)设AE=x km，则BE=(20−x)km，在Rt△ADE与Rt△BCE中，由勾股定理结合DE=CE得出方程求出x的值即可求解；
(2)作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求，DC′长即为距离的和最短值，在Rt△DFC′中由勾股定理求出DC′的长即可．
本题考查了作图−应用设计作图，勾股定理，轴对称−最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键．
23.【答案】②④
【解析】解：(1)∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形是垂美四边形，
故答案为：②④；
(2)猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=∠BOC=∠AOD=90°，
∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，BC2=OB2+OC2，AD2=OA2+OD2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
(3)∵BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD=12AC=2，BE=12BC=32，DE=12AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2=AD2+BE2，
∴54AB2=4+94，
∴AB= 5．
(1)利用垂美四边形的定义依次判断，可求解；
(2)由勾股定理可得结论；
(3)由三角形中位线定理可得AD=12AC=2，BE=12BC=32，DE=12AB，由垂美四边形的性质可求解．
本题为四边形综合题，主要考查的是菱形的性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(3,4)
【解析】(1)①证明：∵E为DP的中点，
∴PE=DE，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA/​/BC，
∴∠PFE=∠DOE，∠FPE=∠ODE，
∴△FPE≌△ODE(AAS)，
∴FE=OE，
∵PE=DE，
∴四边形PODF为平行四边形；
②解：由①知：四边形PODF为平行四边形，
∴当OP=OD时，四边形PODF为菱形，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4)，
∴OA=BC=10，OC=4，
∵点D是OA的中点，
∴OD=AD=5，
∴OP=OD=5，
∴PC= OP2−OC2= 52−42=3，
∵P在BC上，
∴P点的纵坐标是4，
∴P的坐标是(3,4)，
故答案为：(3,4)；
(2)解：∵B的坐标是(10,4)，四边形OCBA是矩形，
∴OC=AB=4，
∵D为OA中点，
∴OD=AD=5，
∵P在BC上，
∴P点的纵坐标是4，
以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：
此时OP=OD=5，
由勾股定理得：CP=3，
即P的坐标是(3,4)；
以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：
此时DP=OD=DP′=5，
由勾股定理得：DM=DN=3，
即P的坐标是(2,4)，
P′的坐标是(8,4)；
③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：
此时OP=DP，P的坐标是(2.5,4)；
综上所述：点P的坐标为：(2,4)或(3,4)或(8,4)或(2.5,4)．
(1)①根据矩形的性质证明△FPE≌△ODE(AAS)，FE=OE，进而可以解决问题；
②由①知：四边形PODF为平行四边形，当OP=OD时，四边形PODF为菱形，然后利用勾股定理求出CP，即可解决问题；
(2)分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查了矩形性质和勾股定理，坐标与图形性质的应用，注意一定要进行分类讨论．