2022-2023学年广东省东莞市石龙二中等五校联考九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市石龙二中等五校联考九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  方程的解是(    )

A.  B.  C.  D. 或

2.  下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 矩形

3.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

4.  如图，把绕点逆时针旋转得到，点恰好落在斜边上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，点在以为直径的上，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为
B. 抛一枚硬币，正面朝上
C. 个人分成两组，一定有个人分在一组
D. 打开电视，正在播放动画片

7.  点、是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

8.  如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗，则圆锥的底面周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部腰以上与下部腰以下的高度比，等于下部与全部全身的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据下列可以运用垂径定理解决问题的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  点关于原点的对称点的坐标为______．

12.  已知方程的一个根是，则的值为______．

13.  在一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则______．

14.  若点在反比例函数图象上，则代数式        ．

15.  要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为       

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、求：
绕点逆时针旋转后得到，并写出的坐标；
在旋转过程中，点经过的路径为弧，求弧的长．

18.  本小题分
小明、小红两人都参加某机构的绘画兴趣班，并将被编入、、三个班，他俩希望能成为同班同学．
请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
求两人成为同班同学的概率．

19.  本小题分
从甲地到乙地的火车原来的平均速度是千米每小时，经过两次提速后平均速度为千米每小时，这两次提速的百分率相同．
求该火车每次提速的百分率；
若甲乙两地铁路长千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时．

20.  本小题分
如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点．
求证：；
若，，求的半径．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．
求点坐标和反比例函数的解析式；
设一次函数的图象与轴交于点，若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标．

22.  本小题分
如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点．

求这条抛物线的解析式；
如图，点为抛物线的顶点，若点为轴上一点，当点到点、的距离和最小时，求点的坐标；
如图，点是第四象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，．
故选：．
利用直接开平方法解这个方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如的方程可变形为，当、异号时，可利用直接开平方法求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形；故A错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；故B正确；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形；故D错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
有两个不相等的实数根，
故选：．
求出判别式，判断其的符号就即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，
，，
，
故选：．
利用旋转的性质得出，，进而利用直角三角形的两锐角互余得出的度数．
此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为，是随机事件，不符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、个人分成两组，一定有个人分在一组，是必然事件，符合题意；
D、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意．
故选：．
根据必然事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件可判断正确答案．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数中的，
经过第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
又、都位于第一象限，且，
，
故选：．
根据反比例函数图象的增减性进行填空．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为、，
则由题意得，由，
得．
故选：．
由圆锥的几何特征，我们可得用半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长．
本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设雕像下部高为，则雕像上部高为，
根据题意得：，即．
故选：．
设雕像下部高为，则雕像上部高为，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．
故选：．
过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
根据点关于原点的对称点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数直接求解即可．
本题主要考查基础运算知识，熟练掌握点关于坐标轴的对称点的求法是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将代入方程，
得，
解得．
故答案为：．
将代入方程可以求出的值．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知：，解得．
根据白球的概率公式列出关于的方程，求出的值即可．
用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，得，
，
故答案为：．
根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以得到所求式子的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，
令，得，
水管的长为
故答案为：．
由题意令，得到的值即为水管的长．
本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
，． 

【解析】根据配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示：

由勾股定理得，，
弧的长
故答案为： 

【解析】根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可；
利用勾股定理列式求出，再根据弧长公式列式计算即可得解．
本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】解：画树状图如下：

共种等可能的结果，分别为：，，，，，，，，．
由可知，共种等可能的结果，其中两人成为同班同学的结果有种，
两人成为同班同学的概率为． 

【解析】画树状图可得所有等可能的结果．
由树状图可得所有等可能的结果数和两人成为同班同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：设该火车每次提速的百分率为，
根据题意得：
，
解得：或舍去
答：该火车每次提速的百分比为；

第一次提速后火车的平均速度为千米小时，
第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为：小时． 

【解析】设年平均增长率为，根据：原来速度增长率现在的速度，列出方程求解可得；
先求得第一次提速后的速度，然后分别求得原时间和现时间，二者相减即可求得少用时间．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

20.【答案】证明：，
，
过圆心，
；
解：连接，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
故的半径为． 

【解析】根据等腰三角形的性质和垂径定理得到结论；
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：将代入，解得．
所以，
将代入中，得．
所以反比例函数的解析式为．
设一次函数的图象与轴交于点，
令，解得．
所以，
将代入中，得．
所以．
由，得．
所以点的坐标为或． 

【解析】通过一次函数求出，即求出的坐标；然后通过把坐标代入反比例函数，求反比例函数解析式；
将三角形以轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
证明：，
，
，
，
．
解：作于点，
，平分，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线；
由，，得，则；
作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式知，点，
连接交轴于点，则点为所求点，

设直线的表达式为：，
则，
解得：，
即直线的表达式为：，
则点；

连接，过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则四边形的面积


，
故当时，四边形的面积最大，
此时，点． 

【解析】用待定系数法即可求解；
连接交轴于点，则点为所求点，进而求解；
由四边形的面积，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．