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2022-2023学年广东省湛江市雷州市六校联考九年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年广东省湛江市雷州市六校联考九年级（下）期中数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省湛江市雷州市六校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数4，0，，0.101，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C．＝±5 D．＝﹣3
4．如图，AB是⊙O直径，∠BOC＝40°，则∠D为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．70°
5．在《数据的分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组6位同学的平均成绩是90，其个人成绩分别是85，95，72，100，93，a，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．93，95 B．93，90 C．94，90 D．94，95
6．如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
7．将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
8．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
9．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．计算：2sin60°﹣（）0＝ ．
12．分解因式：4a2b﹣b＝ ．
13．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 边形．
14．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是 ．
①张强从家到体育场用了15min
②体育场离文具店1.5km
③张强在文具店停留了20min
④张强从文具店回家用了35min
15．如图，四位同学站成一排，按图中所示规律数数，数到2023对应的同学是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABD的周长．
18．某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生作为样本进行调查．
根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求D类所对应扇形的圆心角的大小；
（2）已知D类中有2名女生，从D类中随机抽取2名同学，求抽到“一男一女”的概率．
19．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
20．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
21．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
22．如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：PE2＝PB•PA；
（3）若BC＝2，△ACD的面积为12，求PB的长．
23．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．在实数4，0，，0.101，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：在实数4，0，，0.101，，中无理数有，，
∴无理数有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C．＝±5 D．＝﹣3
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：∵，故选项A正确，
∵，故选项B错误，
∵，故选项C错误，
∵，故选项D错误，
故选：A．
【点评】本题考查立方根、平方很、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
4．如图，AB是⊙O直径，∠BOC＝40°，则∠D为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．70°
【分析】根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数．
解：∵∠BOC＝40°，
∴∠D＝∠BOC＝×40°＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
5．在《数据的分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组6位同学的平均成绩是90，其个人成绩分别是85，95，72，100，93，a，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．93，95 B．93，90 C．94，90 D．94，95
【分析】先根据平均数求得a的值，再将数据从小到大重新排列，继而利用中位数和众数的定义求解可得．
解：∵这6位同学的平均成绩是90，
∴85+95+72+100+93+a＝6×90，
解得：a＝95，
则这组数据从小到大重新排列为72、85、93、95、95、100，
所以这组数据的中位数为＝94，众数为95，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
6．如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
【分析】由a，b两数在数轴上表示点的位置，可以得出a、b的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可．
解：由a，b两数在数轴上表示点的位置，可知，
a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜b，因此选项A不符合题意；
|a|＞|b|，因此选项B符合题意；
﹣a＞b，因此选项C不符合题意；
a+b＜0，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查数轴，绝对值，掌握有理数加减法法则是正确判断的前提，由a，b两数在数轴上表示点的位置判断a、b的符号和绝对值是解决问题的关键．
7．将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据平行线的性质，可得∠3＝∠1＝50°，再由对顶角相等可得∠4＝∠3＝50°，从而得到∠5＝40°，根据∠2＝180°﹣∠5计算求解即可．
解：如图，
由题意得：AB∥DC，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠EFG＝∠3＝50°，
∴∠EGF＝90°﹣∠EFG＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠EGF＝140°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行线的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
8．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
【分析】根据判别式的意义得Δ＝42﹣4k≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝42﹣4k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据，BE＝CF，，求解即可．
解：∵，AE＝1m，
∴BE＝tanα，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝tanα，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1＝y2，所以④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．计算：2sin60°﹣（）0＝ ﹣1 ．
【分析】代入特殊角三角函数值，化简零指数幂，然后再计算．
解：原式＝2×﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数的混合运算，理解a0＝1（a≠0），熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12．分解因式：4a2b﹣b＝ b（2a+1）（2a﹣1） ．
【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），
故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 8 边形．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是 ② ．
①张强从家到体育场用了15min
②体育场离文具店1.5km
③张强在文具店停留了20min
④张强从文具店回家用了35min
【分析】根据图象信息进行分析判断即可．
解：由图象可知，张强从家到体育场用了15min，①正确，
故不符合题意；
体育场离文具店2.5﹣1.5＝1km，②错误，
故符合题意；
张强在文具店停留了65﹣45＝20min，③正确，
故不符合题意；
张强从文具店回家用了100﹣65＝35min，④正确，
故不符合题意；
故答案为：②．
【点评】本题考查了函数图象，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
15．如图，四位同学站成一排，按图中所示规律数数，数到2023对应的同学是 小吉 ．
【分析】观察可知，去掉第一个数，然后每6个数都会回到对应同学的位置，据此规律求解即可．
解：观察可知，去掉第一个数，每6个数都会回到对应同学的位置，
∵（2023﹣1）÷6＝2022÷6＝337，
∴数到2023时对应的同学与1对应的同学是同一个，即，数到2023对应的同学是小吉，
故答案为：小吉．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x﹣1＜7，得：x＜4，
解不等式﹣1≥x，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABD的周长．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题；
解：（1）线段AC的垂直平分线DE，如图所示：
（2）∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝7．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生作为样本进行调查．
根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求D类所对应扇形的圆心角的大小；
（2）已知D类中有2名女生，从D类中随机抽取2名同学，求抽到“一男一女”的概率．
【分析】（1）先求出调查人数，再求出C类的人数，即可求解；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
解：抽查的人数为：20×40%＝50（人），
∴C类的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人），D类所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝36°，
补全条形统计图如下：
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，抽到“一男一女”的结果有12个，
∴抽到“一男一女”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
19．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2＝3.2．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
20．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
21．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）根据A（﹣1，a），B（b，1）两点在一次函数y＝x+4的图象上，求出A、B两点坐标，代入反比例函数解析式求出答案即可；
（2）作点B关于x轴的对称点D（﹣3，﹣1），连接DA，交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线DA的解析式，再求出直线DA与x轴的交点P的坐标即可．
解：（1）∵A（﹣1，a），B（b，1）两点在一次函数y＝x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4，1＝b+4，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴A（﹣1，3），B（﹣3，1），
∵点A（﹣1，3）在图象上，
∴3＝，
则k＝1×（﹣3）＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点D（﹣3，﹣1），连接DA，交x轴于点P，则点P即为所求点，
设直线DA的解析式为y＝kx+m，把D（﹣3，﹣1）和A（﹣1，3）代入得，
则，
解得，
∴直线DA的解析式为y＝2x+5，
当y＝0时，0＝2x+5，解得，
∴点．
【点评】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，轴对称的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
22．如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：PE2＝PB•PA；
（3）若BC＝2，△ACD的面积为12，求PB的长．
【分析】（1）连接OC，根据∠ACB＝90°，可证∠PCB+∠OCB＝90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
（2）首先证明△PCB∽△PAC，得PC2＝PB•PA，再由∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，得∠CEB＝∠PCE，则有PC＝PE，从而证明结论；
（3）作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，利用AAS证明△AMD≌△DNB，得BN＝DM，DN＝AM，根据△ACD的面积为12，得（4+MN）•（2+MN）＝24，从而求出MN的长，再利用△AME∽△BNE，得，则BE＝，从而解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BDC＝∠CAB，∠PCB＝∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2＝PB•PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，
∴∠CEB＝∠PCE，
∴PC＝PE，
∴PE2＝PB•PA；
（3）解：作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠DAM＝∠BDN，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
又∵∠AMD＝∠BND，
∴△AMD≌△DNB（AAS），
∴BN＝DM，DN＝AM，
∵BC＝2，∠BCN＝45°，
∴BN＝CN＝2，
∴AM＝DN＝2+MN，CD＝4+MN，
∵△ACD的面积为12，
∴CD•AM＝24，
∴（4+MN）•（2+MN）＝24，
解得MN＝2（负值舍去），
∴AM＝4，
∴AC＝4，
由勾股定理得AB＝2，
∵△AME∽△BNE，
∴，
∴BE＝，
由（2）知，PE2＝PB•PA，
∴（PB+）2＝PB•（PB+2），
解得PB＝．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形求出AM的长是解题的关键．
23．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；
（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；
（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年广东省湛江市雷州市六校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数4，0，，0.101，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C．＝±5 D．＝﹣3
4．如图，AB是⊙O直径，∠BOC＝40°，则∠D为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．70°
5．在《数据的分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组6位同学的平均成绩是90，其个人成绩分别是85，95，72，100，93，a，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．93，95 B．93，90 C．94，90 D．94，95
6．如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
7．将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
8．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
9．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．计算：2sin60°﹣（）0＝ ．
12．分解因式：4a2b﹣b＝ ．
13．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 边形．
14．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是 ．
①张强从家到体育场用了15min
②体育场离文具店1.5km
③张强在文具店停留了20min
④张强从文具店回家用了35min
15．如图，四位同学站成一排，按图中所示规律数数，数到2023对应的同学是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABD的周长．
18．某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生作为样本进行调查．
根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求D类所对应扇形的圆心角的大小；
（2）已知D类中有2名女生，从D类中随机抽取2名同学，求抽到“一男一女”的概率．
19．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
20．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
21．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
22．如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：PE2＝PB•PA；
（3）若BC＝2，△ACD的面积为12，求PB的长．
23．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．在实数4，0，，0.101，，中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：在实数4，0，，0.101，，中无理数有，，
∴无理数有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
3．下列式子正确的是（ ）
A． B． C．＝±5 D．＝﹣3
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：∵，故选项A正确，
∵，故选项B错误，
∵，故选项C错误，
∵，故选项D错误，
故选：A．
【点评】本题考查立方根、平方很、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
4．如图，AB是⊙O直径，∠BOC＝40°，则∠D为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．70°
【分析】根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数．
解：∵∠BOC＝40°，
∴∠D＝∠BOC＝×40°＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
5．在《数据的分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组6位同学的平均成绩是90，其个人成绩分别是85，95，72，100，93，a，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．93，95 B．93，90 C．94，90 D．94，95
【分析】先根据平均数求得a的值，再将数据从小到大重新排列，继而利用中位数和众数的定义求解可得．
解：∵这6位同学的平均成绩是90，
∴85+95+72+100+93+a＝6×90，
解得：a＝95，
则这组数据从小到大重新排列为72、85、93、95、95、100，
所以这组数据的中位数为＝94，众数为95，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
6．如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0
【分析】由a，b两数在数轴上表示点的位置，可以得出a、b的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可．
解：由a，b两数在数轴上表示点的位置，可知，
a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜b，因此选项A不符合题意；
|a|＞|b|，因此选项B符合题意；
﹣a＞b，因此选项C不符合题意；
a+b＜0，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查数轴，绝对值，掌握有理数加减法法则是正确判断的前提，由a，b两数在数轴上表示点的位置判断a、b的符号和绝对值是解决问题的关键．
7．将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据平行线的性质，可得∠3＝∠1＝50°，再由对顶角相等可得∠4＝∠3＝50°，从而得到∠5＝40°，根据∠2＝180°﹣∠5计算求解即可．
解：如图，
由题意得：AB∥DC，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠EFG＝∠3＝50°，
∴∠EGF＝90°﹣∠EFG＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠EGF＝140°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行线的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
8．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
【分析】根据判别式的意义得Δ＝42﹣4k≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝42﹣4k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据，BE＝CF，，求解即可．
解：∵，AE＝1m，
∴BE＝tanα，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝tanα，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（3，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1＝y2，所以④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．计算：2sin60°﹣（）0＝ ﹣1 ．
【分析】代入特殊角三角函数值，化简零指数幂，然后再计算．
解：原式＝2×﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数的混合运算，理解a0＝1（a≠0），熟记特殊角三角函数值是解题关键．
12．分解因式：4a2b﹣b＝ b（2a+1）（2a﹣1） ．
【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），
故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 8 边形．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是 ② ．
①张强从家到体育场用了15min
②体育场离文具店1.5km
③张强在文具店停留了20min
④张强从文具店回家用了35min
【分析】根据图象信息进行分析判断即可．
解：由图象可知，张强从家到体育场用了15min，①正确，
故不符合题意；
体育场离文具店2.5﹣1.5＝1km，②错误，
故符合题意；
张强在文具店停留了65﹣45＝20min，③正确，
故不符合题意；
张强从文具店回家用了100﹣65＝35min，④正确，
故不符合题意；
故答案为：②．
【点评】本题考查了函数图象，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
15．如图，四位同学站成一排，按图中所示规律数数，数到2023对应的同学是 小吉 ．
【分析】观察可知，去掉第一个数，然后每6个数都会回到对应同学的位置，据此规律求解即可．
解：观察可知，去掉第一个数，每6个数都会回到对应同学的位置，
∵（2023﹣1）÷6＝2022÷6＝337，
∴数到2023时对应的同学与1对应的同学是同一个，即，数到2023对应的同学是小吉，
故答案为：小吉．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x﹣1＜7，得：x＜4，
解不等式﹣1≥x，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABD的周长．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题；
解：（1）线段AC的垂直平分线DE，如图所示：
（2）∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝7．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生作为样本进行调查．
根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求D类所对应扇形的圆心角的大小；
（2）已知D类中有2名女生，从D类中随机抽取2名同学，求抽到“一男一女”的概率．
【分析】（1）先求出调查人数，再求出C类的人数，即可求解；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
解：抽查的人数为：20×40%＝50（人），
∴C类的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人），D类所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝36°，
补全条形统计图如下：
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，抽到“一男一女”的结果有12个，
∴抽到“一男一女”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
19．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2＝3.2．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
20．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
21．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）根据A（﹣1，a），B（b，1）两点在一次函数y＝x+4的图象上，求出A、B两点坐标，代入反比例函数解析式求出答案即可；
（2）作点B关于x轴的对称点D（﹣3，﹣1），连接DA，交x轴于点P，则点P即为所求点，利用待定系数法求出直线DA的解析式，再求出直线DA与x轴的交点P的坐标即可．
解：（1）∵A（﹣1，a），B（b，1）两点在一次函数y＝x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4，1＝b+4，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴A（﹣1，3），B（﹣3，1），
∵点A（﹣1，3）在图象上，
∴3＝，
则k＝1×（﹣3）＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点D（﹣3，﹣1），连接DA，交x轴于点P，则点P即为所求点，
设直线DA的解析式为y＝kx+m，把D（﹣3，﹣1）和A（﹣1，3）代入得，
则，
解得，
∴直线DA的解析式为y＝2x+5，
当y＝0时，0＝2x+5，解得，
∴点．
【点评】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，轴对称的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
22．如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB＝∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：PE2＝PB•PA；
（3）若BC＝2，△ACD的面积为12，求PB的长．
【分析】（1）连接OC，根据∠ACB＝90°，可证∠PCB+∠OCB＝90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
（2）首先证明△PCB∽△PAC，得PC2＝PB•PA，再由∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，得∠CEB＝∠PCE，则有PC＝PE，从而证明结论；
（3）作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，利用AAS证明△AMD≌△DNB，得BN＝DM，DN＝AM，根据△ACD的面积为12，得（4+MN）•（2+MN）＝24，从而求出MN的长，再利用△AME∽△BNE，得，则BE＝，从而解决问题．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BDC＝∠CAB，∠PCB＝∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2＝PB•PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，
∴∠CEB＝∠PCE，
∴PC＝PE，
∴PE2＝PB•PA；
（3）解：作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠DAM＝∠BDN，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
又∵∠AMD＝∠BND，
∴△AMD≌△DNB（AAS），
∴BN＝DM，DN＝AM，
∵BC＝2，∠BCN＝45°，
∴BN＝CN＝2，
∴AM＝DN＝2+MN，CD＝4+MN，
∵△ACD的面积为12，
∴CD•AM＝24，
∴（4+MN）•（2+MN）＝24，
解得MN＝2（负值舍去），
∴AM＝4，
∴AC＝4，
由勾股定理得AB＝2，
∵△AME∽△BNE，
∴，
∴BE＝，
由（2）知，PE2＝PB•PA，
∴（PB+）2＝PB•（PB+2），
解得PB＝．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形求出AM的长是解题的关键．
23．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；
（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；
（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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