中考培优竞赛专题经典讲义 第20讲 多边形内切圆

第20讲 多边形内切圆

【例题讲解】

例题1、已知Rt△ABC，AB＝4，BC＝3，求内切圆⊙O的半径.

方法一：利用切线长定理                     方法二：面积法

如图，OD＝OE＝BE＝BD＝r                      ∵S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝S△ABC

∴AD＝AF＝4－r，CE＝CF＝3－r                   ∴4r＋5r＋3r＝34

∴4－r＋3－r＝5

解得r＝1                                          解得r＝1

利用切线长定理，可推导出直角三角形内切圆半径r＝（a、b为直角边，C为斜边）利用面积法，可推导出直角三角形内切圆半径r＝（S为面积，C为周长）

例题2、如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P在边AB上，以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，则⊙P的半径PE的长为                        .

答案：.

例题3、如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙0于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC＝90°，②AD＋BC＝CD，③S△A0D:S△BOC＝AD2：AO2，④OD:OC＝DE:EC，⑤0D2＝DE·CD，正确的有（     ）

A.2个            B.3个              C.4个             D.5个

答案：D.

例题4、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿线段CA向点A运动（不运动至A点），⊙0的圆心在BP上，且⊙0分别与AB、AC相切于点E、D，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是（     ）

A.cm           B. cm              C. cm             D.2cm

答案：A.

【巩固练习】

1、如图，在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，以斜边AB上一点0为圆心作半圆，使它与BC、AC都相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径为             .

2、如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、F、E，若CE、BF的长是方程x2－13x＋30＝0的两个根，则△ABC的面积是                  .

3、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点，若∠A＝50°，则∠EPH＝                 .

4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，正方形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，如果正方形EFGH的面积是144cm2，则Rt△ABC的周长是             cm.

5、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为            （用r表示）

6、如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和直角梯形EBCD的周长比为               .

7、如图，矩形ABCD中，AD＝4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙0交AB于点E，BE＝AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应AD），当⊙0与A’D’相切时，线段AB的长是              .

8、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过点A，D两点的⊙0与BC边相切于点E，则⊙0的半径为               .

9、如图，一个半径为r的⊙O与矩形ABCD的两边AB、BC都相切，BC＝4.若将矩形的边AD沿AE对折后和⊙O相切于点D’，折痕AE的长为5，则半径r的值为                   .

10、如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点.若圆O的半径为5，且AB＝11，则DE的长度为                      .

11、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的OE分别与AB、BC相切，则OE的半径为（    ）.

A.           B.         C.       D.1

12、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙0相切，则折痕CE的长为            .

13、如图，⊙0切△ABC的三边于D、E、F，那么三角形DEF是（    ）

A.锐角三角形     B.直角三角形      C.钝角三角形       D.以上都有可能

14、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD、AB、BC分别与⊙0相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为              .

15、如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝8，AB＝10，点C在边OA上，AC＝2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切.若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝       .

16、如图，PA，PB切⊙0于A、B两点，CD切⊙0于点E，交PA，PB于C，D.若⊙0的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（      ）

A.        B.      C.        D.

17、将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为（    ）

A.      B.       C.       D.

18、如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙0是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（   ）

A.BC－AB＝2        B.BC＋AB＝2＋4       C.CD－DF＝2－3          D.CD＋DF＝4

19、（1）已知：如图①，△ABC的周长为1，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：r＝

（2）已知：如图②，△ABC中A、B、C三点的坐标分别为A（－3，0），B（2，0），C（0，4），若△ABC内心为D，求点D的坐标；

（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心，请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标。

20、如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝120°，弦AB＝2，点M是弧AB上任意一点（与端点A、B不重合），ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作OM，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C.

（1）求弧AB的长；

（2）试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变，若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由.

1. 答案：.
2. 答案：30.
3. 答案：65°.
4. 答案：24.
5. 答案：2r.
6. 答案：6∶7.
7. 答案：.
8. 答案：.
9. 答案：.
10. 答案：6.
11. 答案：B.
12. 答案：.
13. 答案：A.
14. 答案：.
15. 答案：－5.
16. 答案：B.
17. 答案：B.
18. 答案：B.

19. 答案：证明：连接OA、OB、OC，设AB、CA，BC的三边分别为a、b、c，
    则：S＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB＝br＋ar＋cr＝ (a＋b＋c)r＝lr
    ∴r＝
    （2）∵A（－3，O），B（3，O），C（0，4）
    ∴AB＝6，AC＝BC＝5,l＝AB＋AC＋BC＝16，S＝ABOC＝12由条件（1）得：r＝＝

，得D(0，)
（3）设∠B和∠C的外角平分线交于点P，则点P为旁心
∵∠MCB＝2∠PCB＝2∠CBA
∴∠PCB＝∠CBA
∴CP∥AB
过点P分别为作PE⊥x轴于E，PF⊥CB于F，则PF＝PE＝OC＝4（10分）
 

在Rt△PFC中，PC＝＝5
 

∴P（5，4）

20. 答案：（1）；

（2）60°.连接AM、BM∵ME⊥AB，∴AB是⊙M的切线，∴AC、BC是⊙M的切线，∴⊙M是△ABC的内切圆.AK、BM是∠CAB、∠ABC的平分线.∠AcB＝90°＋∠AB，易求∠AIB＝120°，∠ACB＝60°，即∠ACB的大小不变，为60°.