中考培优竞赛专题经典讲义 第19讲 圆内接多边形

第19讲 圆内接多边形

解题关键：抓住点在圆上，即圆上的点到圆心距离为半径这一本质.

【例题讲解】

例题1、如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，求圆的半径.

答案：由题意可知，圆心应该在下面两个正方形的相交边上面，且设定圆心与上面正方形的距离为x，则BO＝16－x，BC＝16，AD＝8，40＝16＋x，故BC2＋BO2＝AD2＋AO2，则可以得到方程：

16＋（16－x）2＝（16＋x）2＋82，解之得x＝3，所以能将其完全覆盖的圆的最下半径为R2＝162＋(16－x）2＝5即为所求。

例题2、如图，在半径为2，圆心角为60°的扇形内接一个正方形，分别求出以下两种接法的正方形边长.

答案：2，4-6.

例题3、如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上.若BC＝1，GH＝2，则CG的长为（     ）

A.      B. ＋1       C.               D.2

答案：C.

【巩固练习】

1、如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的正方形CDEF，则该圆的半径为           .

2、如图，三个相邻的正方形内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则正方形BEFG的边长为     .

第2题

3、如图，用3个边长为1的正方形组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为       .

第3题

4、如图，用边长为1和3的两个正方形组成一个图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为

                  .

5、如图，正方形ABCD的顶点A、B和正方形EFGH的顶点G、H在一个半径为5cm的⊙O上，点E、F在线段CD上，正方形ABCD的边长为6cm，则正方形EFGH的边长为             cm.

6、如图，已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别在图一、二中作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为R2tanα，则按图二作出的矩形面积的最大值为（     ）

A.R2tanα      B.R2tanα      C. R2tanα       D. R2tanα

7、一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）DA

8、我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.

（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）

（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由.

参考答案

1. 答案：.
2. 答案：8cm.
3. 答案：.
4. 答案：2.5.
5. 答案：－1.
6. 答案：B.

7. 答案：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置
   安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形
   的对角线长为30＝15，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
   故安装4个这种装置可以达到预设的要求。（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE＝DG＝CG，
   将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
   设AE＝x，则ED＝30－x，DH＝15，
   由BE＝DG，得x2＋302＝152＋（30－x）2，
   ∴x＝，
   ∴BE＝≈30.2＜31，
   即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求；
    要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点，
   如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，
   设⊙O经过A，B，⊙O与AD交于E，
   连结BE，则AE＝＝＜15＝AD，
   这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD。
   所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求。

8.答案：（1）图略；
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是
以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆。

（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处
（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）。
理由如下：由∠HEF＝∠HEG＋∠GEF＝47.8°＋35.1°＝82.9°，
∠FHE＝50.0°，∠EFH＝47.1°，故△EFH是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，
设此外接圆为⊙O，直线EG与⊙O交于点E，M，
则∠EMF＝∠EHF＝50.0°＜53.8°＝∠EGF，
故点G在⊙O内，从而⊙O也是四边形EFGH的最小覆盖圆，
所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求。