2022-2023学年西藏拉萨中学高二上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年西藏拉萨中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知命题：，，那么命题为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用全称命题的否定解答即可.

【详解】全称命题的否定是特称命题，

命题为：，.

故选：C

2．下列选项中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：只有当时，才能由推出，故本选项不正确；

B：只有当时，才能由，推出，故本选项不正确；

C：当时，显然成立，但是显然不成立,因此本选项不正确；

D：因为，所以，因此本选项正确.

故选：D

【点睛】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题.

3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量，若，则角C的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为，所以，再根据余弦定理化简即得解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以

，所以.

故选：B.

4．已知等差数列满足，则的值为（    ）

A．－3 B．3 C．－12 D．12

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质若则可得.

【详解】由等差中项的性质可得，，解得，

∵，∴．

故选：B

5．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.

【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上，

所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.

故选：C.

6．双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（    ）

A．22 B．2 C．2或22 D．24

【答案】A

【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得.

【详解】设的上、下焦点分别为，则．

因为,,所以，，则，

由双曲线的定义可知，，即，

解得或，

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意.

综上所述：.

故选：A

7．若关于x的不等式的解集是或，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.

【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，

所以关于x的方程的根为或，

所以，

所以.

故选：A

8．若x，y满足约束条件，则的最大值是（    ）

A．－2 B．4 C．8 D．12

【答案】C

【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置来求得的最大值.

【详解】，设，

画出可行域如下图所示，由题得，易知截距越小，z越大

由图可知，平移基准直线到时，取得最大值.

故选：C

9．下列说法正确的是（    ）

（1）已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题是假命题

（2）“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件：

（3）命题“已知A，B为一个三角形的两内角，若，”的否命题为真命题

（4）命题“若，则”的逆否命题是真命题.

A．（1） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（4）

【答案】C

【解析】（1）先写出原命题的逆命题，然后不难举出反例否定；（2）利用两直线垂直时其系数的关系求得两直线垂直的充分必要条件，进而判定；（3）解法一：可以利用正弦定理得到在三角形中“”，是“”的充分必要条件，进而做出判定；解法二：可以考察原命题的逆命题，利用三角函数的性质和三角形内角性质不难判定其真假性，进而根据四命题的真假关系作出判定；（4）不难举反例否定原命题，进而根据四命题的真假关系作出判定.

【详解】（1）原命题的逆命题为“在区间内至少有一个零点，则”这是假命题，比如：, 在区间上的图象是连续不断的，在区间内有两个零点，满足至少有一个零点的条件，但是,不满足，故原命题的逆命题为假命题，故（1）正确；

（2）直线和直线互相垂直的充要条件是：,即，由于“”是“”的充分不必要条件，故“”是“直线和直线互相垂直”的充分不必要条件，故（2）错误；

（3）解法一：设三角形ABC中角A,B,C的对边分别用a,b,c表示，R为三角形的外接圆的半径，由三角形中等腰三角形的判定定理和性质定理可得是的充要条件，

由正弦定理得到是的充要条件.故是的充要条件，故“若，”的原命题，逆命题，否命题，逆否命题都是真命题，故（3）必然正确.

解法二：原命题的逆命题为“已知A，B为一个三角形的两内角，若，则”，

是正确的.事实上，若，由于,或,但是根据三角形内角和定理，,又,，即不可能成立，必然成立，所以原命题的逆命题为真命题，由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故原命题的否命题也是真命题，故（3）正确；

（4）当时，，但是 ，故原命题“若，则”不正确，由于一个命题和它的逆否命题同真同假，故其逆否命题也不正确，故（4）是错误的.

综上，只有（1）（3）是正确的，

故选：C.

【点睛】本题考查四种命题及其真假关系，充分必要条件的判断，涉及函数的零点，平面坐标系内两直线的垂直的条件，三角函数的性质，正弦定理，属于小综合题，知识点覆盖面较广，需要熟练掌握四种命题的关系.注意：在三角形中，，，，,,相互之间互为充要条件，这是常用的结论.

10．数列满足，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的值.

【详解】由题可知，，得，∴数列是以3为周期的周期数列，∴.

故选：B.

11．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了两点，在､处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且的距离为10米，则旗杆的高度为（    ）

A．5 B． C．10 D．

【答案】C

【分析】设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解.

【详解】如图所示：

设旗杆的高度为，

所以，

在中，由余弦定理得，

即，

即，

解得或（舍去）.

故选:.

12．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】D

【分析】由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，可得；由过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，可得.综上可得，后可得答案.

【详解】由题可得，其中，且.

又由椭圆对称性可知，在正上方且位于椭圆上的点到F距离为，即此点坐标为.

将其代入椭圆方程有：，又，可知；

设，因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，

则.

又A，B两点在椭圆上，则.

两式相减得：

又，得.

又，则，又，且，则.

故椭圆方程为：，.设，其中.

则.

.因，

有，当且仅当

，即M为椭圆右顶点时取等号.

则椭圆上一点到的距离的最大值为.

故选：D

二、填空题

13．若抛物线经过点，则其准线方程是___________.

【答案】

【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．

【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故准线方程为．

故答案为：．

14．在正项等比数列{}中，若，则______.

【答案】3

【分析】根据等比数列的性质即可直接求出答案.

【详解】在等比数列中，，又因为，所以.

故答案为：3

15．已知（），则的最小值为___________.

【答案】4

【分析】根据可得，再根据基本不等式求解即可.

【详解】因为，故，

当且仅当，即时取等号.故的最小值为4.

故答案为：4

16．已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B.设直线MA，MB的斜率分别为______

【答案】

【分析】首先求出抛物线方程，再设出点坐标，设出直线方程，利用切线求出关于的方程，再结合韦达定理即可.

【详解】由椭圆的方程得，右焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，，所以抛物线方程为，准线方程为.

设，设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去得，令其，得，则直线MA，MB的斜率为的两个根，有韦达定理得.

故答案为：

三、解答题

17．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求角A的大小：

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

【答案】（1）;（2）△ABC的周长为8.

【分析】（1）由正弦定理边化角，可得的值，可得角A的大小；

（2）由△ABC的面积及角A的值，可得的值，由余弦定理可得的值，可得△ABC的周长.

【详解】解：（1）由及正弦定理，得，

因为，所以，

又为锐角所以.

（2）由△ABC的面积为，得，

又，所以.

在△ABC中，由余弦定理，得，

因为a=3，所以，

所以，  

所以，即△ABC的周长为8.

18．已知等差数列的前n项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解；

(2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解.

【详解】（1）设公差为d，由得，

解得

故；

（2）因为，由（1）可得：，

故．

19．已知抛物线：.

（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；

（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.

【答案】(1) .(2) .

【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；

（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.

【详解】(1)∵直线经过抛物线的焦点，

∴抛物线的焦点坐标为，

∴抛物线的准线方程为.

（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，，

由化简得，

∴.

∵，解得，

∴抛物线的方程为.

【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.

20．已知命题实数满足，其中；命题方程表示经过第二､三象限的抛物线.

（1）当时，若命题为假，且命题为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】利用一元二次不等式的解法和抛物线的性质，先求得命题分别为真命题时，实数的取值范围，（1）根据命题为假且为真命题，列出不等式组，即可求解；（2）由是的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，命题中，由，可得，

因为，所以，即命题，

命题中，由方程表示经过第二､三象限的抛物线，

可得且，解得，

即命题，

（1）若，可得命题，

因为命题为假且为真命题，所以，解得，

所以的的取值范围为.

（2）由是的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，

由（1）可得，解得，

经检验和满足条件，

所以实数的取值范围是.

21．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

【详解】（1）∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

（2）

∴

22．已知双曲线的离心率是，实轴长是8.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析，定值为.

【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；

（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可.

【详解】（1）依题意得，

解得所以双曲线C的方程是.

（2）证明：设，，，直线l的方程为.

将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，

，

则，.

要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足

即解得.

由，得，故，

所以.

又，

所以点D的纵坐标为定值.

【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键.