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江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团2022-2023学年八年级下学期课堂练习数学试卷
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这是一份江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团2022-2023学年八年级下学期课堂练习数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团八年级（下）课堂练习数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件是随机事件的是（ ）
A．白发三千丈，缘愁似个长
B．打开电视，正在播放《中国机长》
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于180°
3．为了了解参加运动会的200名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）
A．200名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的50名运动员是一个样本
D．抽取的50名运动员的年龄是样本
4．新冠肺炎疫情是一场突发的公共卫生事件，某同学收集了2021年1月份石家庄每天新增确诊病例、患者年龄等情况，为了了解每天新增确诊人数的变化趋势以及儿童感染人数所占的比例，分别选择合适的统计图是（ ）
A．条形统计图，扇形统计图
B．折线统计图，扇形统计图
C．折线统计图，条形统计图
D．条形统计图，频数分布直方图
5．如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE
6．某校现有学生1800人，为了增强学生的防控意识，学校组织全体学生进行了一次防范新型冠状病毒知识测试．现抽取部分学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．抽取的样本中分数在60.5～70.5的有12人
B．样本容量是48
C．每个小组的组距是10
D．不能估计出全校90分以上的人数
7．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝AN B．∠AMN＝∠ACN C．AB∥NC D．MN⊥AC
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．2 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．“地球绕着太阳转”是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．
12．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 ．
13．如图，是某校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，如果参加外语兴趣小组的人数是30人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 人．
14．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是 ．
15．以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 （填序号）．
16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 ．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED的大小为 度．
18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共76分，解答时应写出必要的计算或说明过程）
19．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度
非常喜欢
喜欢
一般
不喜欢
人数
90
b
30
10
百分比
a
35%
20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
20．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的频数
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的频率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b
（1）表中的a＝ ；b＝ ；
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到0.1）
（3）袋中白球个数的估计值为 ．
21．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别
正确字数x
人数
A
0≤x≤8
10
B
8≤x≤16
15
C
16≤x≤24
25
D
24≤x≤32
m
E
32≤x≤40
n
（1）在统计表中，m＝ ，n＝ ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
22．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″，并写出点B″的坐标．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝110°，求∠D的度数．
24．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，交边AD、BC于点E、F．
（1）若BE＝2，∠ABE＝30°，求BD的长．
（2）求证：AE＝CF．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
27．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：BF＝DP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP＝BM+2FN．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列事件是随机事件的是（ ）
A．白发三千丈，缘愁似个长
B．打开电视，正在播放《中国机长》
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于180°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放《中国机长》，是随机事件，符合题意；
C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，不符合题意；
D、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．为了了解参加运动会的200名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）
A．200名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的50名运动员是一个样本
D．抽取的50名运动员的年龄是样本
【分析】根据样本、总体、个体的定义进行分析即可．
解：A、200名运动员的年龄是总体，故此选项错误；
B、每个运动员的年龄是个体，故此选项错误；
C、抽取的50名运动员的年龄是样本，故此选项错误；
D、抽取的50名运动员的年龄是样本，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了样本、总体、个体，总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．
4．新冠肺炎疫情是一场突发的公共卫生事件，某同学收集了2021年1月份石家庄每天新增确诊病例、患者年龄等情况，为了了解每天新增确诊人数的变化趋势以及儿童感染人数所占的比例，分别选择合适的统计图是（ ）
A．条形统计图，扇形统计图
B．折线统计图，扇形统计图
C．折线统计图，条形统计图
D．条形统计图，频数分布直方图
【分析】根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
解：某同学收集了2021年1月份石家庄每天新增确诊病例、患者年龄等情况，为了了解每天新增确诊人数的变化趋势以及儿童感染人数所占的比例，分别选择合适的统计图是折线统计图，扇形统计图．
故选：B．
【点评】本题主要考查统计图的选择，解题的关键是根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
5．如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE
【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD∥AB，再证明∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE＝CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE＝BE，则可对C选项进行判断．
解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，CD∥AB，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DA＝DE，所以B选项不符合题意，
∴CD＝DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE＝BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
6．某校现有学生1800人，为了增强学生的防控意识，学校组织全体学生进行了一次防范新型冠状病毒知识测试．现抽取部分学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．抽取的样本中分数在60.5～70.5的有12人
B．样本容量是48
C．每个小组的组距是10
D．不能估计出全校90分以上的人数
【分析】利用频数分布直方图的性质一一判断即可．
解：观察图象可知，抽取的样本中分数在60.5～70.5的有12人，样本容量＝3+12+18+9+6＝48，每个小组的组距是10，90分以上的人数为6人．
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，总体，个体，样本，样本容量等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
7．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝AN B．∠AMN＝∠ACN C．AB∥NC D．MN⊥AC
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
C、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】首先利用SAS证明△AMN≌△COP，得MN＝PO，同理得，NO＝MP，则四边形MNOP是平行四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，求出ON'的长，从而解决问题．
解：∵BO＝DM，
∴CO＝AM，
∵AN＝CP，∠A＝∠C＝90°，
∴△AMN≌△COP（SAS），
∴MN＝PO，
同理得，NO＝MP，
∴四边形MNOP是平行四边形，
作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，
则NO＝N'O，
∴PO+ON的最小值为PN'，
由题意知，HN'＝AB＝2，PH＝BC＝1，
由勾股定理得，PN'＝，
∴四边形MNOP周长的最小值为2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．“地球绕着太阳转”是 必然 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：“地球绕着太阳转”是必然事件，
故答案为：必然．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 500 ．
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
解：某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是500．
故答案为：500．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
13．如图，是某校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，如果参加外语兴趣小组的人数是30人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 6 人．
【分析】根据参加外语兴趣小组的人数是30人，所占百分比为，计算出总人数，再用1减去所有已知百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答．
解：∵参加外语兴趣小组的人数是30人，占参加课外兴趣小组人数的＝30%，
∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：30÷30%＝100（人），
∴绘画兴趣小组的人数是100×（1﹣11%﹣39%﹣14%﹣30%）＝6（人）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了扇形统计图，从图中找到相关信息是解此类题目的关键．
14．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是 0.25 ．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率可得答案．
解：∵通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%，
∴估计摸到红球的概率为0.25，
故答案为：0.25．
【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握：经过大量重复实验后，频率会稳定在一个常数，就可以估计这个事件发生的概率．
15．以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 ①③④ （填序号）．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：等边三角形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
线段、矩形、菱形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 11 ．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OD即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，
∵AC+BD＝14，
∴CO+DO＝7，
∵AB＝CD＝4，
∴△OCD的周长为OD+OC+CD＝7+4＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的性质：对角线互相平分，属于中考基础题．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED的大小为 65 度．
【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．
解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝20°+45°＝65°，
∴∠AED＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题主要考查正方形的性质，解题关键是利用了正方形关于对角线所在的直线对称求解．
18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为 2 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG＝FG＝GC＝BF＝5，然后根据等边对等角的性质可得∠GBC＝∠GCB，再结合两直线平行，内错角相等可得∠GBC＝∠AEB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CGE＝2∠AEB，从而得到∠BEC＝∠CGE，再利用等角对等边的性质得到CE＝CG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF＝90°，
∵点G是BF的中点，
∴BG＝FG＝GC＝BF＝5，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠AEB，
∴∠CGE＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝2∠AEB，
∵∠BEC＝2∠AEB，
∴∠BEC＝∠CGE，
∴CE＝CG＝5，
在Rt△CDE中，DE＝1，
∴CD＝＝＝2．
∴AB＝CD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出CE＝CG＝5是解题的关键．
三、解答题（本大题共76分，解答时应写出必要的计算或说明过程）
19．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度
非常喜欢
喜欢
一般
不喜欢
人数
90
b
30
10
百分比
a
35%
20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 200 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
【分析】（1）根据一般和不喜欢的人数和它们所占的百分比，可以计算出该校随机抽取的同学人数；
（2）根据（1）中的结果和表格中数据，可以计算出a、b的值；
（3）根据表格中的数据，可以计算出在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
解：（1）（30+10）÷20%＝200（名），
即该校随机抽取了200名同学进行问卷调查；
故答案为：200；
（2）a＝90÷200×100%＝45%，
b＝200×35%＝70，
即a的值是45%，b的值是70；
（3）360°×35%＝126°，
即在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数是126°．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的频数
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的频率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b
（1）表中的a＝ 249 ；b＝ 0.4 ；
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 0.4 ；（精确到0.1）
（3）袋中白球个数的估计值为 18 ．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可．
解：（1）a＝600×0.415＝249，b＝600÷1500＝0.4，
故答案为：249，0.4；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
（3）设白球有x个，
根据题意得：＝0.4，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是分式方程的解，
∴估算这个不透明的口袋中白球有18个．
故答案为：18．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
21．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别
正确字数x
人数
A
0≤x≤8
10
B
8≤x≤16
15
C
16≤x≤24
25
D
24≤x≤32
m
E
32≤x≤40
n
（1）在统计表中，m＝ 30 ，n＝ 20 ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90° ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数2000乘以对应的比例即可求解．
解：（1）根据B组的数据可知，抽查的总人数是15÷15%＝100（人），
∴D组中的m＝100×30%＝30，E组中的n＝100×20%＝20，
补全直方图如图．
故答案为：30，20；
（2）“C组”的人数是25人，占本次抽查人数的，
∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：90°．
（3）听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是，
∴该校共有2000名学生中优秀人数约是（人）．
故听写“优秀”的学生人数约为400人．
【点评】本题主要考查概率统计，用样本估算总体，掌握统计中的相关计算方法是解题的关键．
22．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″，并写出点B″的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接可得；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得．
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示，△A″B″C″即为所求，其中点B″（3，2）．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变换的定义得到变换后的对应点．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝110°，求∠D的度数．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠ABE＝∠FCB，再由ASA即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCB，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵四边形ABFC是矩形，
∴AF＝BC，，，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠AEC＝110°，
∴∠ABE＝∠BAE＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠ABE＝55°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，交边AD、BC于点E、F．
（1）若BE＝2，∠ABE＝30°，求BD的长．
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）由已知可求得AE的长及∠ABD＝60°，由勾股定理求得AB的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得△ABE≌△CDF，从而问题解决．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵BE＝2，∠ABE＝30°，
∴，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴BD＝2AB；
由勾股定理得AB＝＝＝，
∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，
∴，，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE＝BD即可；
（2）由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，得出AE＝CD，∠ADC＝90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC、DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝BD；
（2）证明：由（1）得：AE＝BD，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴AE＝CD，∠ADC＝90°，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC是解决问题的关键．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD＝4，得出BD＝2OD＝8，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
27．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：BF＝DP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP＝BM+2FN．
【分析】（1）由“ASA”可证△CDP≌△CBF，可得BF＝DP；
（2）根据等角对等边易证AP＝AC，根据勾股定理求得AC的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得CP＝CF，在CN上截取NH＝FN，连接BH，则可以证明△AMB≌BHC，得到CH＝BM，即可证得．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵CP⊥CF，
∴∠FCP＝90°＝∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCP，
∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，
∴△CDP≌△CBF（ASA）
∴BF＝DP；
（2）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵△CDP≌△CBF，
∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，
∴∠ACP＝∠P＝67.5°，
∴AC＝AP，
∵AC＝AB＝4，
∴S△ACP＝AP×CD＝8；
（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，
∵△CDP≌△CBF，
∴CP＝CF，
∵FN＝NH，且BN⊥FH，
∴BH＝BF，
∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，
∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，
∴∠HBC＝∠BAM＝45°，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，
∴△AMB≌△BHC（ASA），
∴CH＝BM，
∴CF＝BM+2FN，
∴CP＝BM+2FN．
【点评】本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是关键．
2022-2023学年江苏省苏州市吴江区梅震平教育集团八年级（下）课堂练习数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件是随机事件的是（ ）
A．白发三千丈，缘愁似个长
B．打开电视，正在播放《中国机长》
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于180°
3．为了了解参加运动会的200名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）
A．200名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的50名运动员是一个样本
D．抽取的50名运动员的年龄是样本
4．新冠肺炎疫情是一场突发的公共卫生事件，某同学收集了2021年1月份石家庄每天新增确诊病例、患者年龄等情况，为了了解每天新增确诊人数的变化趋势以及儿童感染人数所占的比例，分别选择合适的统计图是（ ）
A．条形统计图，扇形统计图
B．折线统计图，扇形统计图
C．折线统计图，条形统计图
D．条形统计图，频数分布直方图
5．如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE
6．某校现有学生1800人，为了增强学生的防控意识，学校组织全体学生进行了一次防范新型冠状病毒知识测试．现抽取部分学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．抽取的样本中分数在60.5～70.5的有12人
B．样本容量是48
C．每个小组的组距是10
D．不能估计出全校90分以上的人数
7．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝AN B．∠AMN＝∠ACN C．AB∥NC D．MN⊥AC
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．2 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．“地球绕着太阳转”是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．
12．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 ．
13．如图，是某校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，如果参加外语兴趣小组的人数是30人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 人．
14．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是 ．
15．以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 （填序号）．
16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 ．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED的大小为 度．
18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共76分，解答时应写出必要的计算或说明过程）
19．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度
非常喜欢
喜欢
一般
不喜欢
人数
90
b
30
10
百分比
a
35%
20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
20．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的频数
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的频率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b
（1）表中的a＝ ；b＝ ；
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到0.1）
（3）袋中白球个数的估计值为 ．
21．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别
正确字数x
人数
A
0≤x≤8
10
B
8≤x≤16
15
C
16≤x≤24
25
D
24≤x≤32
m
E
32≤x≤40
n
（1）在统计表中，m＝ ，n＝ ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
22．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″，并写出点B″的坐标．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝110°，求∠D的度数．
24．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，交边AD、BC于点E、F．
（1）若BE＝2，∠ABE＝30°，求BD的长．
（2）求证：AE＝CF．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
27．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：BF＝DP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP＝BM+2FN．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列事件是随机事件的是（ ）
A．白发三千丈，缘愁似个长
B．打开电视，正在播放《中国机长》
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于180°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放《中国机长》，是随机事件，符合题意；
C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，不符合题意；
D、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．为了了解参加运动会的200名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）
A．200名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的50名运动员是一个样本
D．抽取的50名运动员的年龄是样本
【分析】根据样本、总体、个体的定义进行分析即可．
解：A、200名运动员的年龄是总体，故此选项错误；
B、每个运动员的年龄是个体，故此选项错误；
C、抽取的50名运动员的年龄是样本，故此选项错误；
D、抽取的50名运动员的年龄是样本，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了样本、总体、个体，总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．
4．新冠肺炎疫情是一场突发的公共卫生事件，某同学收集了2021年1月份石家庄每天新增确诊病例、患者年龄等情况，为了了解每天新增确诊人数的变化趋势以及儿童感染人数所占的比例，分别选择合适的统计图是（ ）
A．条形统计图，扇形统计图
B．折线统计图，扇形统计图
C．折线统计图，条形统计图
D．条形统计图，频数分布直方图
【分析】根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
解：某同学收集了2021年1月份石家庄每天新增确诊病例、患者年龄等情况，为了了解每天新增确诊人数的变化趋势以及儿童感染人数所占的比例，分别选择合适的统计图是折线统计图，扇形统计图．
故选：B．
【点评】本题主要考查统计图的选择，解题的关键是根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
5．如图，在▱ABCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠DAE＝∠BAE B．AD＝DE C．DE＝BE D．BC＝DE
【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD∥AB，再证明∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE＝CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE＝BE，则可对C选项进行判断．
解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，CD∥AB，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DA＝DE，所以B选项不符合题意，
∴CD＝DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE＝BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
6．某校现有学生1800人，为了增强学生的防控意识，学校组织全体学生进行了一次防范新型冠状病毒知识测试．现抽取部分学生的测试成绩作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．抽取的样本中分数在60.5～70.5的有12人
B．样本容量是48
C．每个小组的组距是10
D．不能估计出全校90分以上的人数
【分析】利用频数分布直方图的性质一一判断即可．
解：观察图象可知，抽取的样本中分数在60.5～70.5的有12人，样本容量＝3+12+18+9+6＝48，每个小组的组距是10，90分以上的人数为6人．
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，总体，个体，样本，样本容量等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
7．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝AN B．∠AMN＝∠ACN C．AB∥NC D．MN⊥AC
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
C、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】首先利用SAS证明△AMN≌△COP，得MN＝PO，同理得，NO＝MP，则四边形MNOP是平行四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，求出ON'的长，从而解决问题．
解：∵BO＝DM，
∴CO＝AM，
∵AN＝CP，∠A＝∠C＝90°，
∴△AMN≌△COP（SAS），
∴MN＝PO，
同理得，NO＝MP，
∴四边形MNOP是平行四边形，
作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，
则NO＝N'O，
∴PO+ON的最小值为PN'，
由题意知，HN'＝AB＝2，PH＝BC＝1，
由勾股定理得，PN'＝，
∴四边形MNOP周长的最小值为2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．“地球绕着太阳转”是 必然 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：“地球绕着太阳转”是必然事件，
故答案为：必然．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是 500 ．
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
解：某市为了解学生的心理健康情况，在20000名学生中随机抽查了500名学生进行问卷调查，则这次调查的样本容量是500．
故答案为：500．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
13．如图，是某校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，如果参加外语兴趣小组的人数是30人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 6 人．
【分析】根据参加外语兴趣小组的人数是30人，所占百分比为，计算出总人数，再用1减去所有已知百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答．
解：∵参加外语兴趣小组的人数是30人，占参加课外兴趣小组人数的＝30%，
∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：30÷30%＝100（人），
∴绘画兴趣小组的人数是100×（1﹣11%﹣39%﹣14%﹣30%）＝6（人）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了扇形统计图，从图中找到相关信息是解此类题目的关键．
14．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是 0.25 ．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率可得答案．
解：∵通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%，
∴估计摸到红球的概率为0.25，
故答案为：0.25．
【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，解题的关键是熟练掌握：经过大量重复实验后，频率会稳定在一个常数，就可以估计这个事件发生的概率．
15．以下图形中：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；中心对称图形有 ①③④ （填序号）．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：等边三角形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
线段、矩形、菱形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为 11 ．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OD即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，
∵AC+BD＝14，
∴CO+DO＝7，
∵AB＝CD＝4，
∴△OCD的周长为OD+OC+CD＝7+4＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的性质：对角线互相平分，属于中考基础题．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED的大小为 65 度．
【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．
解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝20°+45°＝65°，
∴∠AED＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题主要考查正方形的性质，解题关键是利用了正方形关于对角线所在的直线对称求解．
18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为 2 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG＝FG＝GC＝BF＝5，然后根据等边对等角的性质可得∠GBC＝∠GCB，再结合两直线平行，内错角相等可得∠GBC＝∠AEB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CGE＝2∠AEB，从而得到∠BEC＝∠CGE，再利用等角对等边的性质得到CE＝CG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF＝90°，
∵点G是BF的中点，
∴BG＝FG＝GC＝BF＝5，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠AEB，
∴∠CGE＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝2∠AEB，
∵∠BEC＝2∠AEB，
∴∠BEC＝∠CGE，
∴CE＝CG＝5，
在Rt△CDE中，DE＝1，
∴CD＝＝＝2．
∴AB＝CD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出CE＝CG＝5是解题的关键．
三、解答题（本大题共76分，解答时应写出必要的计算或说明过程）
19．学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．
态度
非常喜欢
喜欢
一般
不喜欢
人数
90
b
30
10
百分比
a
35%
20%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了 200 名同学进行问卷调查；
（2）求出a、b的值；
（3）求在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
【分析】（1）根据一般和不喜欢的人数和它们所占的百分比，可以计算出该校随机抽取的同学人数；
（2）根据（1）中的结果和表格中数据，可以计算出a、b的值；
（3）根据表格中的数据，可以计算出在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数．
解：（1）（30+10）÷20%＝200（名），
即该校随机抽取了200名同学进行问卷调查；
故答案为：200；
（2）a＝90÷200×100%＝45%，
b＝200×35%＝70，
即a的值是45%，b的值是70；
（3）360°×35%＝126°，
即在扇形统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角的度数是126°．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的频数
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的频率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b
（1）表中的a＝ 249 ；b＝ 0.4 ；
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 0.4 ；（精确到0.1）
（3）袋中白球个数的估计值为 18 ．
【分析】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可．
解：（1）a＝600×0.415＝249，b＝600÷1500＝0.4，
故答案为：249，0.4；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
（3）设白球有x个，
根据题意得：＝0.4，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是分式方程的解，
∴估算这个不透明的口袋中白球有18个．
故答案为：18．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
21．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别
正确字数x
人数
A
0≤x≤8
10
B
8≤x≤16
15
C
16≤x≤24
25
D
24≤x≤32
m
E
32≤x≤40
n
（1）在统计表中，m＝ 30 ，n＝ 20 ，并补全直方图；
（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90° ；
（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数2000乘以对应的比例即可求解．
解：（1）根据B组的数据可知，抽查的总人数是15÷15%＝100（人），
∴D组中的m＝100×30%＝30，E组中的n＝100×20%＝20，
补全直方图如图．
故答案为：30，20；
（2）“C组”的人数是25人，占本次抽查人数的，
∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：90°．
（3）听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是，
∴该校共有2000名学生中优秀人数约是（人）．
故听写“优秀”的学生人数约为400人．
【点评】本题主要考查概率统计，用样本估算总体，掌握统计中的相关计算方法是解题的关键．
22．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″，并写出点B″的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接可得；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得．
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示，△A″B″C″即为所求，其中点B″（3，2）．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变换的定义得到变换后的对应点．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝110°，求∠D的度数．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠ABE＝∠FCB，再由ASA即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCB，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵四边形ABFC是矩形，
∴AF＝BC，，，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠AEC＝110°，
∴∠ABE＝∠BAE＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠ABE＝55°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，交边AD、BC于点E、F．
（1）若BE＝2，∠ABE＝30°，求BD的长．
（2）求证：AE＝CF．
【分析】（1）由已知可求得AE的长及∠ABD＝60°，由勾股定理求得AB的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得△ABE≌△CDF，从而问题解决．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵BE＝2，∠ABE＝30°，
∴，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴BD＝2AB；
由勾股定理得AB＝＝＝，
∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，
∴，，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连接CE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE＝BD即可；
（2）由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，得出AE＝CD，∠ADC＝90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC、DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝BD；
（2）证明：由（1）得：AE＝BD，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴AE＝CD，∠ADC＝90°，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC是解决问题的关键．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD＝4，得出BD＝2OD＝8，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
27．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
（1）求证：BF＝DP；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（3）求证：CP＝BM+2FN．
【分析】（1）由“ASA”可证△CDP≌△CBF，可得BF＝DP；
（2）根据等角对等边易证AP＝AC，根据勾股定理求得AC的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得CP＝CF，在CN上截取NH＝FN，连接BH，则可以证明△AMB≌BHC，得到CH＝BM，即可证得．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵CP⊥CF，
∴∠FCP＝90°＝∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCP，
∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，
∴△CDP≌△CBF（ASA）
∴BF＝DP；
（2）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，
∴∠BFC＝67.5°，
∵△CDP≌△CBF，
∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，
∴∠ACP＝∠P＝67.5°，
∴AC＝AP，
∵AC＝AB＝4，
∴S△ACP＝AP×CD＝8；
（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，
∵△CDP≌△CBF，
∴CP＝CF，
∵FN＝NH，且BN⊥FH，
∴BH＝BF，
∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，
∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，
∴∠HBC＝∠BAM＝45°，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，
∴△AMB≌△BHC（ASA），
∴CH＝BM，
∴CF＝BM+2FN，
∴CP＝BM+2FN．
【点评】本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是关键．
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