2023高三讲义--圆锥曲线解析几何（定值定点问题）专题 - 二轮复习

这是一份2023高三讲义--圆锥曲线解析几何（定值定点问题）专题 - 二轮复习，共24页。学案主要包含了知识点一：定值问题，知识点二：定点问题，典型例题，小试牛刀，巩固练习——基础篇，巩固练习——提高篇等内容，欢迎下载使用。
【知识点一：定值问题】
1.定值问题
基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式
2.椭圆常用结论
1.过椭圆 (上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.
2.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.
1）;
2）的最大值为;
3）的最小值是.
【知识点二：定点问题】
1.直线过定点问题
方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.
确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.
【典型例题】
考点一：斜率之积或和为定值
例1.已知椭圆的离心率为,点 在椭圆上, 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与圆的相交于不在坐标轴上的两点,记直线的斜率分别为,求证:为定值.
练1.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
练2. 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．
考点二： 线段或者面积为定值
例2.已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．
1、已知椭圆过点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，.求的值.
例3.已知椭圆C:0)的两个焦点是在椭圆C上,且O为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)求证:为定值.
练1.已知椭圆的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（1，0），B（4，0），过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|．
考点三： 其它定值
例4 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
例5． 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，点M是椭圆C上异于的一点，直线AM与y轴交于点.
（Ⅰ）若点在椭圆的内部，求直线AM的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，点在轴上，且，求证：为定值.
练1.已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线 交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由．
例6 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点 的直线与椭圆交于不同的两点与直线交于点 ， 设 ，，求证：为定值.
【知识点二：定点问题】
1.直线过定点问题
方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.
确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.
【典型例题】
考点一： 直线过定点问题
例1已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设,是椭圆上不同于点的两点,且直线,的斜率之积等于,试问直线是否过定点？若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
练1已知椭圆过点，离心率为.过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过定点?若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由.
例2已知椭圆的焦距和长半轴长都为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点．
（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.
求证：以为直径的圆恒过点.
练2 已知椭圆
（1）求椭圆的离心率
（2）设分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上，直线分别与相交于点，当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论
考点二： 定点存在性问题
1.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线，分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2.已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问： y轴上是否存在定点G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．
【小试牛刀】
已知椭圆：的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程以及离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【巩固练习——基础篇】
1. ★★已知椭圆经过点，离心率为.是椭圆上两点，且直线的斜率之积为为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值.
2.已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点.
（Ⅰ）当时，求面积的最大值；
（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点.证明:为定值.
3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证:为定值.
【巩固练习——提高篇】
1..已知椭圆过点,且满足.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆于两个不同点,点的坐标为,设直线与的斜率分别为.
若直线过椭圆的左顶点,求此时的值;
②试探究是否为定值？并说明理由.