导数单调性、极值与最值问题-导数专题-2023届--二轮复习(2)

3   导数与单调性

【课前诊断】

成绩（满分10）：                       完成情况：   优/中/差  

1、已知函数,求的单调区间．

2、已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间;

【知识点一:导函数与原函数图像间的关系】

一．利用导数判断函数的单调性的方法：

如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数；如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数．

【典型例题】

考点一： 导函数与原函数图像间的关系

例1．设是函数的导函数，的图象如下图所示，则的图象可能是

练1．如图,是函数的导函数的图像,则下面判断正确的

A．在区间上是增函数

B．在上是减函数

C．在上是增函数

D．当时,取极大值

练2．已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是

例1．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：

①；

②；

③函数在区间上是增函数。

其中正确的判断是（）

A．①③ B．② C．②③ D．①②

练1．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则的值一定

[来源:学科网ZXXK]

A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．小于或等于0

练2．已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是

 A．  B．

C．  D．

【知识点二：利用导数研究函数单调性】

一、   求函数单调性的方法：

第1步：求导：对函数求导得到其导函数

第二步：化简（通分、因式分解）找有效部分

第三步：判断导函数的正负性

若时则函数在区间上单调递增；

若时函数则在区间上单调递减．

注意事项：函数在内单调递增,则,且不恒等于零．是在内单调递增的充分必要条件．

【典型例题】

考点一：求函数的单调区间——有一个零点

例1．已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间;

练1．已知函数．

（Ⅱ）当时,试求的单调区间;

例2．已知函数．（共3问）

（Ⅱ）求函数的单调区间;

练1．已知函数．

（Ⅰ）当时,求函数的单调递增区间;

例1．已知函数,．

（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;

练1． 设函数,

（Ⅰ）当时,求的单调区间;

考点二： 求函数的单调区间—— 有两个零点或多个零点

例1．已知

（Ⅰ）求的单调区间

练1．已知函数．

（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;

例2．已知函数,其中,为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间;

练1．已知函数,．

（Ⅰ）当时,求的单调区间;

【小试牛刀】

1．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),则的图象大致是

2．已知函数．

（Ⅱ）求的单调区间; 

【巩固练习——基础篇】

1．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是

2．已知f(x)是定义（-3,3）在上的偶函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)sinx<0的解集是             

A．(-3,-1)U(0,1) B．(-3,-1)U(0,1)U(1,3)

C．(-3,-1)U(,3) D． ()U（，3）

3．求函数的单调区间．

【巩固练习——提高篇】

1．函数的图象大致是

2．如图所示的曲线是函数的大致图象，则等于（）

A．  B．

C．  D．

3．已知函数,．

（Ⅱ）求函数的单调区间;

4． 已知函数．

（Ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

4   导数与函数的极、最值

【课前诊断】

成绩（满分10）：                       完成情况：   优/中/差  

1．求函数极值．

2．已知函数,求函数的最小值．

3．,求函数的最小值．

4．已知函数(,为自然对数的底数)．求函数的极值．

【知识点一:极值的基本性质】

一、极值的概念：

考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．

二、求函数的极值的方法：

第1步、求导数；

第2步、求方程的所有实数根；

第步、根据极值的概念判断其是否为极值点．

【典型例题】

考点一： 极值的概念

例1．函数                       的单调减区间是__________，极小值是___________．

练1．函数的极值点．

考点二： 极值与图像的关系

例1．图所示是函数的导函数图象，则下列哪一个判断可能是正确的

 A．在区间内为增函数 B．在区间内为减函数

 C．在区间内为增函数 D．当时有极小值

练1．函数在其定义域内可导，其图象如右图所示，

则导函数的图象可能为

练2．如右图，是函数的

大致图象，则=

考点三： 极值的个数问题

例1．已知函数的导函数的图像如下，则

A．函数有1个极大值点，1个极小值点

B．函数有2个极大值点，2个极小值点

C．函数有3个极大值点，1个极小值点

D． 函数有1个极大值点，3个极小值点

练1．已知是定义域为的偶函数,当时,．那么函数的极值点的个数是

 A． B． C． D．

【知识点二：极值的求解】

一、极值的求解

1．会讨论含参函数的极值 

2．会已知极值求参数

【典型例题】

考点一： 会讨论含参函数的极值

例1．设函数．求的极值．

练1．已知函数．求的极值．

练2．已知函数

求证:1是的唯一极小值点．

考点二： 会已知极值求参数

例1．已知函数,．若在处取得极小值,求的值．

例2．已知函数,其中实数． 判断是否为函数的极值点,并说明理由．

例3．已知函数．设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围．

练1．已知函数．设函数,求证:当时,在上存在极小值．

练2．已知函数．求的极值;

【知识点三：最值】

一、最值的概念

1．函数最大值

一般地,设函数的定义域为．如果存在实数满足：

①对于任意都有．

②存在,使得．

那么,称是函数的最大值．

2．函数最小值

一般地,设函数的定义域为． 如果存在实数满足：

①对于任意都有．

②存在,使得．

那么,称是函数的最小值．

【典型例题】

考点一： 求不含参函数最值

例1．求函数在区间内的最大值．

例2．已知函数,求函数在区间上的最大值和最小值．

练1．已知函数,求在区间上的最大值和最小值．

考点二： 求含参函数的最值

例1．已知函数．当时,求函数在区间上的最小值．

例2．设函数,．求函数在上的最小值．

练1．已知函数与函数,设,求函数在上的最小值．

练2．已知函数设,求在区间上的最大值和最小值．

练3．已知函数,其中．当时,证明:存在最小值．

考点三： 已知最值求原函数参数值

例1．已知函数是否存在实数,使的最小值是?若存在,求出的值,若不存在,说明理由．

练1．已知函数（其中）,函数的导函数为,且．若函数在区间上的最小值为,求的值．

练2．已知函数．当时,若函数的最大值为,求的值．

【小试牛刀】

1．已知函数．若函数在上有极值,求的取值范围．

2． 已知函数，．

（Ⅰ）若求函数在区间内的极大值的个数．

3．已知函数,其中是自然对数的底数,．当时,求函数的最小值．

4．已知函数,其中．求在区间上的最小值．（其中是自然对数的底数）

【巩固练习——基础篇】

1．已知函数,其中为实数,若在处取得极值,则_____．

2．已知函数,若函数在区间上仅有一个极值点,求实数的取值范围．

3．设函数,求的最小值．

4．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：．

【巩固练习——提高篇】

1．已知函数,设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围

2．已知函数,其中．若存在极小值和极大值,证明:的极小值大于极大值．

3．已知函数,．若函数的最小值为,试求的值．

4．已知函数．设为曲线在点处的切线,其中．设直线分别与曲线和射线交于两点,求的最小值．