艺术生高考数学专题讲义：考点14 导数与函数的极值、最值

考点十四  导数与函数的极值、最值

知识梳理

1．函数的极值的定义

一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．

注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．

2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．

如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

3．求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；  

(2)求方程f′(x) ＝0的根；

(3)检查f′(x)在x0两侧的符号

①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；

②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；

③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．

4．函数的最值

在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

5．函数的极值与最值的区别与联系

极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．

典例剖析

题型一  利用导数求函数的极值

例1　已知函数f(x)＝.求f(x)的极大值和极小值．

解析  函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝，

当x变化时，f(x)、f′(x)的符号变化情况如下：

∴f(x)的极大值为f(0)＝0和f(4)＝，f(x)的极小值为f(1)＝－.

变式训练  设f(x)＝，其中a为正实数．

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

解析　对f(x)求导得f′(x)＝ex·.①

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

解得x1＝，x2＝.结合①，可知

所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.所以a的取值范围为{a|0<a≤1}．

题型二  利用极值求参数

例2　设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．

答案  －

解析  由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2ax－1＝，

由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，

又当a＝－时，f′(x)＝＝，

当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，

所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a＝－.

变式训练  已知x＝3是函数f(x)＝aln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．

答案　12

解析　f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0，得a＝12，经检验满足条件．

题型三  利用导数求函数的最值

例3　设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．

答案　 (1)a＝－1，b＝3　(2)最大值为0，无最小值

解析　 (1)f′(x)＝1＋2ax＋(x>0)，

又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，

∴即解得a＝－1，b＝3.

(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3lnx，其定义域为(0，＋∞)，

∴g(x)＝2－x－x2＋3lnx，x>0.

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．

变式训练  已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

解析　(1)f′(x)＝－a (x>0)，

①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，

当0<x<时，f′(x)＝>0；

当x>时，f′(x)＝<0，

故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.

②当≥2，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.

③当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，

所以当<a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a；

当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.

综上可知，

当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；

当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.

解题要点  求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

当堂练习

1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x) ________.

①                                                                                                                                                       在(－∞，0)上为减函数

②                                                                                                                                                       在x＝0处取极小值

③                                                                                                                                                       在(4，＋∞)上为减函数

④                                                                                                                                                       在x＝2处取极大值

答案  ③

解析  由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f(x)在x＝0处取得极大值，同理f(x)在x＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f′(x)的图象可知f(x)在(4，＋∞)上单调递减．

2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是________.

①x＝1　　　　②x＝－1      ③x＝1或－1或0     ④x＝0

答案　③

解析　∵f(x)＝x4－2x2＋3，

由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.

又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，

∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．

3. 若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则a与b 的关系是________.

答案　a＋2b＝0

解析　y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，是方程3ax2＋2bx＝0的两根，

∴－＝，∴a＋2b＝0.

4．函数f(x)＝，x∈[0,4]的最大值是________.

答案　

5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

答案　3

解析　f′(x)＝，由f(x)在x＝1处取得极值知f′(1)＝0，∴a＝3.

课后作业

一、    填空题

1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________．

答案  －

解析  f′(x)＝x2＋2x－3，

令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，

又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，

故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－.

2．函数f(x)＝x3－x2－6x的极值点的个数是________．

答案  2

解析  f′(x)＝3x2－3x－6＝3(x2－x－2)＝3(x－2)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.易知x＝－1为f(x)的极大值点，x＝2为f(x)的极小值点．故f(x)的极值点有2个．

3．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．

答案  －16

解析  由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2.

又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，

∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16.

4．f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________．

答案　e－1

解析　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，所以f(1)>f(－1).

5．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________．

答案  3百万件

解析  依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________．

答案　－

解析   由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即，解得或，经检验满足题意，故＝－.

7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)

①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

答案　④

解析  由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

8．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．

答案　－37

解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减．

∴x＝0为极大值点，也为最大值点．

∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.

∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.

∴最小值是－37.

9．函数f(x)＝x3+ x2－x+2在[0,2]上的最小值是________．

答案 

解析  f′(x)＝3x3+2x－1，f′(x)＝0，x∈[0,2]，得x＝.比较f(0)＝2，f()＝，f(2)＝12.可知最小值为.

10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为__________

元时利润最大，利润的最大值为__________．

答案  30　23 000

解析  设商场销售该商品所获利润为y元，则

y＝(p－20)Q＝(p－20)(8 300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，

∴y′＝－3p2－300p＋11 700.

令y′＝0得p2＋100p－3 900＝0，

∴p＝30或p＝－130(舍去)，则p，y，y′变化关系如下表：

∴当p＝30时，y取极大值为23 000元．

又y＝－p3＋150p2＋11 700p－166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．

∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．

11．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.

答案　－　－

解析　y′＝＋2bx＋1.

由已知解得

二、解答题

12． （2015北京文节选）设函数f(x)＝－kln x，k>0.求f(x)的单调区间和极值

解析  函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－kln x(k>0)得

f′(x)＝x－＝.

由f′(x)＝0解得x＝(负值舍去)．

f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．

f(x)在x＝处取得极小值f()＝.

13．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．

(1)求a、b的值；

(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．

解析  (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，

因为函数f(x)在x＝1及x＝2处取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，

即解得a＝－3，b＝4.

(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．

当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.

所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.

则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.

因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，

所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，

因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．