2023届高考数学二轮复习专题四导数与函数的单调性、极值、最值作业含答案

专题强化训练(四)

一、单项选择题

1.(2022·广东广州一模)曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为(　A　)

A.y=3x+3  B.y=3x+1

C.y=-3x-1 D.y=-3x-3

解析:f′(x)=3x2,所以f′(-1)=3,又当x=-1时,a=x3+1=-1+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.故选A.

2.(2022·河北沧州三模)已知函数f(x)=-x,则(　C　)

A.f(x)的单调递减区间为(0,1)

B.f(x)的极小值点为1

C.f(x)的极大值为-1

D.f(x)的最小值为-1

解析:因为f(x)=-x,所以f′(x)=-1=,

令(x)=1-ln x-x2,则′(x)=--2x<0,

所以(x)=1-ln x-x2在(0,+∞)上单调递减,因为(1)=0,所以当0<x<1时,(x)>0,即f′(x)>0;当x>1时,(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),

故f(x)的极大值点为1,f(x)极大值=f(1)=-1,即f(x)max=f(1)=-1,不存在最小值.故选C.

3.(2022·福建模拟预测)已知a=esin 1+,b=etan 2+,c=ecos 3+,则(　B　)

A.a>b>c B.b>c>a

C.a>c>b D.c>a>b

解析:设函数f(x)=ex+,则f(x)为偶函数,且当x≥0时,f′(x)=

ex-≥0,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,

因为sin 1<,tan 2<-1<cos 3<-,所以-tan 2>1>-cos 3>>sin 1>0,又a=f(sin 1),b=f(tan 2)=f(-tan 2),c=f(cos 3)=f(-cos 3),所以b>c>a.故选B.

4.(2022·江苏苏州模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)>0成立,则不等式xf(x)>0的解集是(　A　)

A.(-∞,-2)∪(2,+∞) 

B.(-2,0)∪(2,+∞)

C.(-∞,-2)∪(0,2) 

D.(2,+∞)

解析:设g(x)=,则g′(x)=[]′=,由已知可得当x>0时,g(x)单调递增.当x>2时,g(x)>g(2)=0,此时f(x)>0;0<x<2时,

g(x)<g(2)=0,此时f(x)<0.

又f(x)是奇函数,所以当-2<x<0时,f(x)=-f(-x)>0;当x<-2时,

f(x)=-f(-x)<0.

则不等式xf(x)>0等价于或可得x>2或x<-2,

则不等式xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(2,+∞).故选A.

5.若函数f(x)=ex(cos x-a)在区间(-,)上单调递减,则实数a的取值范围是(　D　)

A.(-,+∞) B.(1,+∞)

C.[1,+∞) D.[,+∞)

解析:f′(x)=ex(cos x-a)+ex(-sin x)=ex(cos x-sin x-a).

因为f(x)在区间(-,)上单调递减,所以f′(x)≤0在区间(-,)上恒成立,

即cos x-sin x-a≤0恒成立,即a≥cos x-sin x=cos(x+)恒成立.

因为-<x<,所以-<x+<,所以-1<cos(x+)≤,所以a≥.故选D.

6.函数f(x)=x+2sin x(x>0)的所有极小值点从小到大排列成数列{an},设Sn是{an}的前n项和,则sin S2 021等于(　B　)

A.1 B.  C.0  D.-

解析:f′(x)=1+2cos x(x>0),f′(x)是周期为2π的周期函数,

令f′(x)=1+2cos x=0,得cos x=-,在区间(0,2π]上,由cos x=-,解得x=或x=,画出f′(x)在(0,2π]上的图象如图所示,由图可知f(x)在区间(0,2π]上的极小值点为x=.

所以{an}是首项a1=,公差为2π的等差数列,所以S2 021=2 021×+

×2π=2 021×(π+)+2 021×2 020π=2 021π++

2 021×2 020π=2 0212π+673π+,所以sin S2 021=sin(2 0212π+

673π+)=sin =.故选B.

二、多项选择题

7.(2022·福建莆田模拟预测)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得f(x)的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数具有T性质的是(　ACD　)

A.y=sin2x 

B.y=tan x

C.y=,x∈(-2,+∞) 

D.y=ex-ln x

解析:当y=sin2x=时,y′=sin 2x∈[-1,1],当x1=,x2=时,

A满足条件;

当y=tan x时,y′=>0恒成立,B不满足条件;

当y=,x∈(-2,+∞)时,y′=当x1=-,x2=

2时,C满足条件;

当y=ex-ln x(x>0)时,y′=ex-,函数y′=ex-在定义域上单调递增,且y′=-3<-1,y′|x=1=e-1>1,所以存在y′=

-1,y′=1,D满足条件.故选ACD.

8.已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则(　BC　)

A.f(x)的极大值为0

B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴

C.f(x)的最小值为0

D.f(x)在定义域内单调

解析:f(x)=x3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f′(x)=3x2-=(x3-1),

令f′(x)=0,得x=1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示.

所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,因为f(1)=0,f′(1)=0,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确.故选BC.

三、填空题

9.(2022·吉林东北师大附中模拟预测)函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又有极小值,则a的取值范围是　　　　　　. 

解析:f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3,f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),

因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,所以Δ=(6a)2-4×3×

3(a+2)>0,

即a2-a-2>0,(a-2)(a+1)>0,解得a>2或a<-1.

答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)

10.(2022·河北唐山二模)若函数f(x)=x2ln x,g(x)=xe2x,则f(x)的最小值为　　　      　;若a,b>0,且f(a)=g(b),则a-2b的最小值为　　　　   . 

解析:由题意可得f(x)=x2ln x,x>0,则f′(x)=x(2ln x+1),

当0<x< 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x> 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,故x=是函数的极小值点,也是最小值点,故f(x)的最小值为f()=e-1ln =-.

由a,b>0,且f(a)=g(b)可得a2ln a=be2b,

则ln a>0,a>1,即有ln ae2ln a=be2b,

由于g(x)=xe2x,g′(x)=e2x(2x+1),当x>0 时,g′(x)>0,g(x) 单调

递增,

故由a>1,b>0,ln ae2ln a=be2b可得ln a=b,故a-2b=a-2ln a,a>1,令h(x)=x-2ln x,x>1,则h′(x)=1-=,当1<x<2 时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x>2时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

故h(x)min=h(2)=2-2ln 2,即a-2b的最小值为2-2ln 2.

答案:-　2-2ln 2

四、解答题

11.(2022·河南焦作二模)已知函数f(x)=(x-2)ex.

(1)求f(x)的极值;

(2)若函数g(x)=f(x)-k(x-ln x)在区间(,1)上没有极值,求实数k的取值范围.

解: (1)由题意,函数f(x)=(x-2)ex,可得f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex,

令f′(x)=0,解得x=1,当x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,

所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,

所以当x=1时,函数f(x)取得极小值为f(1)=-e,无极大值.

(2)由g(x)=(x-2)ex-k(x-ln x),可得g′(x)=(x-1)·(ex-),

因为g(x)在区间(,1)上没有极值,所以g(x)在(,1)上单调递增或单调递减,

当x∈(,1)时,g′(x)≥0或g′(x)≤0恒成立,即ex-≤0或ex-≥0恒成立,

即k≥xex或k≤xex在x∈(,1)上恒成立,设h(x)=xex,

则h′(x)=(x+1)ex,

当x∈(,1)时,h′(x)>0,所以h(x)在(,1)上单调递增,

要使k≥xex或k≤xex恒成立,则k≥h(1)=e或

k≤h()=,即实数k的取值范围是(-∞,]∪[e,+∞).

12.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若x1=-1,求a;

(2)求a的取值范围.

解: (1)由题意知,f(-1)=-1-(-1)=0,f′(x)=3x2-1,f′(-1)=3-1=2,则y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),

即y=2x+2,设该切线与曲线g(x)切于点(x2,g(x2)),g′(x)=2x,

则g′(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3.

(2)f′(x)=3x2-1,则y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),整理得y=(3-1)x-2,

设该切线与曲线g(x)切于点(x2,g(x2)),g′(x)=2x,则g′(x2)=2x2,则切线方程为y-(+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-+a,

则整理得a=-2=-2=-2-+,

令h(x)=x4-2x3-x2+,则h′(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1),

令h′(x)>0,解得-<x<0或x>1,

令h′(x)<0,解得x<-或0<x<1,

则当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:

则h(x)的值域为[-1,+∞),故a的取值范围为[-1,+∞).