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山东省潍坊市诸城市繁华中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份山东省潍坊市诸城市繁华中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省潍坊市诸城市繁华中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（1-8题单选，每题4分；9-12题多选，每题5分，共计52分）
1．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）
A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanB＝2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知α是锐角，且tanα＝，那么下列各式中正确的是（ ）
A．60°＜α＜90° B．45°＜α＜60° C．30°＜α＜45° D．0°＜α＜30°
4．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．24cm2 B．12cm2 C．6cm2 D．3cm2
5．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ的值（ ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图．△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣2，﹣1）
（多选）10．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C．此时小霞在B地的（ ）
A．南偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．南偏西30°方向上 D．北偏西30°方向上
11．如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EG＝DH；④S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
14．如图⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝8，AD＝6，AF＝4，则AE的长为 ．
16．齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m．（不考虑其它因素）
（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈）
三、解答题（17题6分，18题10分，19题12分，20题10分，21题12分，22题15分23题13分）
17．计算：3tan30°﹣+cos45°+
18．如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．
19．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
20．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
21．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，DC＝22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
22．如图①是被誉为“川北第一楼”的凤凰楼，它不仅是广元市的城标，更是一份承传文化的载体．李铭和王华同学想借助无人机测量凤凰楼的高度，如图②为测量示意图，他们站在坡度是i＝：1，坡面长为4m的斜坡BC的坡底C处操控无人机，无人机从坡顶B出发，以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，38s时到达空中的A处．
（1）求此时无人机离坡底C所在地面的高度；
（2）如图②，无人机在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为60°，底部N的俯角为30°（凤凰楼与李铭和王华所站坡底C在同一水平面），求凤凰楼的高度MN．（结果精确到0.1m；参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.73）
23．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．
参考答案
一、选择题（1-8题单选，每题4分；9-12题多选，每题5分，共计52分）
1．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）
A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1＝30°，
则乙在甲的南偏西 30°．
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanB＝2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用锐角三角函数求解．
解：在Rt△ABC中，
∵tanB＝，
∴AC＝tanB•BC＝2×4＝8．
故选：D．
3．已知α是锐角，且tanα＝，那么下列各式中正确的是（ ）
A．60°＜α＜90° B．45°＜α＜60° C．30°＜α＜45° D．0°＜α＜30°
【分析】根据特殊角的正切值及正切弦函数随角增大而增大即可解答．
解：∵tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝
而1＜
∴tan45°＜tanα＜tan60°
∴45°＜α＜60°
故选：B．
4．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．24cm2 B．12cm2 C．6cm2 D．3cm2
【分析】根据位似变换的性质、相似三角形的性质计算即可．
解：∵△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，
∴△ABC的面积为24cm2，
故选：A．
5．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ的值（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知正方形的面积即可求出边长．根据勾股定理求出直角三角形的边长，即可求解．
解：由题意知，小正方形的边长为7，大正方形的边长为13．
设直角三角形中较小的边的边长为x，
则有（7+x）2+x2＝169．
解得x＝5（负值不合题意，舍去）
∴sinθ＝．
故选：D．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．
解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB＝8
∴∠OMA＝90°，OA＝5，AM＝4
∴OM最短为＝3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选：A．
7．如图．△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】利用勾股定理的逆定理可判断三角形ABC为直角三角形，再利用锐角三角函数定义求出tan∠ABC的值即可．
解：由图可知AB2＝25，BC2＝20，AC2＝5，
则AB2＝BC2+AC2，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝．
故选：C．
8．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．
解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：D．
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣2，﹣1）
【分析】作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，由△OCG∽△OAH，得，从而得出OG，CG的长．
解：作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，
∴△OCG∽△OAH，
∴，
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，
∴OG＝，CG＝1，
∴C（﹣，﹣1），
故选：B．
（多选）10．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C．此时小霞在B地的（ ）
A．南偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．南偏西30°方向上 D．北偏西30°方向上
【分析】由AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米得AC2＝AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
解：当点C在点B的北侧时，如图，
∵AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，
∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1＝90°﹣70°＝20°，
∴∠2＝∠1＝20°，
即C点在点B的北偏西20°的方向上；
当点C在点B的南侧时，如图，
∵AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，
∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1＝70°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝20°，
即C点在点B的南偏东20°的方向上；
所以选：AB．
11．如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EG＝DH；④S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG＝GH＝HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S△ABE＝3S△AGE．故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个．
解：如右图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BE＝DF，选项①正确；
∵E、F是AD、BC中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴∠AEG＝∠ADH，∠AGE＝∠AHD，
∴△AEG∽△ADH，又AE：AD＝1：2，
∴AG：AH＝1：2，即G为AH中点，
∴EG为△ADH的中位线，
∴EG＝DH，选项③正确；
同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，
∴AG＝GH＝CH，选项②正确；
又AD∥BC，
∴∠EAG＝∠BCG，∠AEG＝∠GBC，
∴△AEG∽△BCG，又AE：BC＝1：2，
∴EG：GB＝1：2，
∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，
∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S△ABG＝S△AGB，
∴S△ABE＝3S△AGE，选项④正确，
则正确的结论有4个．
故选：D．
12．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴sinA＝＝，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，
∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD＝，故B不合题意；
C、无法得出sinA＝，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，
∴∠A＝∠BOE，
∴sinA＝sin∠BOE＝，故D不合题意；
故选：C．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ 或 ．
【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．
解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
14．如图⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于 28° ．
【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故答案是：28°．
15．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝8，AD＝6，AF＝4，则AE的长为 6 ．
【分析】四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BC，∠B＝∠ADC；而AE⊥BC，求得∠DAE＝90°，根据已知条件得到∠DAF＝∠EDC；推出△ADF∽△DEC，由相似三角形的性质得到＝而AB＝8，AD＝6，AF＝4，求得DE＝12，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠ADC；∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDC；
∴△ADF∽△DEC，
∴＝而AB＝8，AD＝6，AF＝4，
∴DE＝12，
∴AE＝＝6，
故答案为：6．
16．齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 1.4 m．（不考虑其它因素）
（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈）
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以分别求得BD、CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
解：作AD⊥MN于点D，如右图所示，
由题意可得，
AD＝1m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝，
CD＝m，
∴BC＝BD﹣CD＝7﹣5.6＝1.4m，
故答案为：1.4．
三、解答题（17题6分，18题10分，19题12分，20题10分，21题12分，22题15分23题13分）
17．计算：3tan30°﹣+cos45°+
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
解：原式＝3×﹣+×+
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1．
18．如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DH＝CD＝，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数．
解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝，
在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH＝，
∴OH＝＝1，
∴∠OCH＝30°，
∵C是的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，
∴∠CPE＝60°，
即∠APC的度数为60°．
19．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
【分析】（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由直角三角形的性质得CD＝BC＝60海里，由锐角三角函数的定义求出AC＝40海里即可；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，证出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，证出A'C＝2A'N＝x，由题意得出方程，解方程即可．
解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．
20．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
【分析】设EF＝x，则GF＝2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
解：设EF＝x，则GF＝2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝．
∵AH＝6，BC＝12，
∴＝．
解得x＝3．
∴矩形DEFG的周长为18．
21．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，DC＝22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，于是得到CF＝EG，CG＝EF，解直角三角形即可得到结论．
解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF＝EG，CG＝EF，
在Rt△EFD中，∵斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，
∴设EF＝3x米，DF＝4x米，
∴DE＝＝5x＝10，
∴x＝2，
∴EF＝6米，DF＝8米，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝22米，
∴BG＝BC﹣CG＝22﹣6＝16（米），
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan31°＝30×0.6＝18（米），
∴AB＝AG﹣BG＝18﹣16＝2（米），
答：宣传牌AB的高度为2米．
22．如图①是被誉为“川北第一楼”的凤凰楼，它不仅是广元市的城标，更是一份承传文化的载体．李铭和王华同学想借助无人机测量凤凰楼的高度，如图②为测量示意图，他们站在坡度是i＝：1，坡面长为4m的斜坡BC的坡底C处操控无人机，无人机从坡顶B出发，以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，38s时到达空中的A处．
（1）求此时无人机离坡底C所在地面的高度；
（2）如图②，无人机在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为60°，底部N的俯角为30°（凤凰楼与李铭和王华所站坡底C在同一水平面），求凤凰楼的高度MN．（结果精确到0.1m；参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.73）
【分析】（1）过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AE⊥CD于点E，交点B所在水平线于点G，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）过点A作AF⊥MN于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：（1）如图，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AE⊥CD于点E，交点B所在水平线于点G．
∵i＝tan∠BCD＝，
∴∠BCD＝60°．
∵BC＝4，
∴GE＝BD＝BC•sin60°＝．
∵AB＝0.3×38＝11.4，
在Rt△AGB中，AG＝AB•sin38°≈7.068．
∴AE＝AG+GE＝7.068+≈10.5（m）．
答：此时无人机离坡底C所在地面的高度约为10.5 m．
（2）如图，过点A作AF⊥MN于点F．
在Rt△AFN中，∠FAN＝30°，
∴AF＝．
在Rt△AFM中，∠FAM＝60°，
∴FM＝AF•tan60°＝3FN．
∴MN＝FN+FM＝4FN＝4AE≈42.0（m）．
答：凤凰楼的高度MN约为42.0m．
23．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，求得∠BAE＝∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，求得∠EPD＝90°，得到DE＝3，AB＝6，求得BD＝6﹣3＝3，CD＝＝3，根据相似三角形的性质得到PD＝，PB＝根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，
即∠BAE＝∠DAC，
在△ABE与△ADC中，，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝∠ACD+∠CFP＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴BP⊥CD；
（2）在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠PDB＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠CAB＝90°，
∴∠EPD＝90°，BC＝6，AD＝3，
∴DE＝3，AB＝6，
∴BD＝6﹣3＝3，CD＝＝3，
∵△BDP∽△CDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PD＝，PB＝
∴PE＝3﹣＝，
∴△PDE的面积＝××＝．
2022-2023学年山东省潍坊市诸城市繁华中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（1-8题单选，每题4分；9-12题多选，每题5分，共计52分）
1．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）
A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanB＝2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知α是锐角，且tanα＝，那么下列各式中正确的是（ ）
A．60°＜α＜90° B．45°＜α＜60° C．30°＜α＜45° D．0°＜α＜30°
4．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．24cm2 B．12cm2 C．6cm2 D．3cm2
5．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ的值（ ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图．△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣2，﹣1）
（多选）10．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C．此时小霞在B地的（ ）
A．南偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．南偏西30°方向上 D．北偏西30°方向上
11．如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EG＝DH；④S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ ．
14．如图⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝8，AD＝6，AF＝4，则AE的长为 ．
16．齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m．（不考虑其它因素）
（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈）
三、解答题（17题6分，18题10分，19题12分，20题10分，21题12分，22题15分23题13分）
17．计算：3tan30°﹣+cos45°+
18．如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．
19．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
20．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
21．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，DC＝22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
22．如图①是被誉为“川北第一楼”的凤凰楼，它不仅是广元市的城标，更是一份承传文化的载体．李铭和王华同学想借助无人机测量凤凰楼的高度，如图②为测量示意图，他们站在坡度是i＝：1，坡面长为4m的斜坡BC的坡底C处操控无人机，无人机从坡顶B出发，以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，38s时到达空中的A处．
（1）求此时无人机离坡底C所在地面的高度；
（2）如图②，无人机在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为60°，底部N的俯角为30°（凤凰楼与李铭和王华所站坡底C在同一水平面），求凤凰楼的高度MN．（结果精确到0.1m；参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.73）
23．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．
参考答案
一、选择题（1-8题单选，每题4分；9-12题多选，每题5分，共计52分）
1．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）
A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1＝30°，
则乙在甲的南偏西 30°．
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanB＝2，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用锐角三角函数求解．
解：在Rt△ABC中，
∵tanB＝，
∴AC＝tanB•BC＝2×4＝8．
故选：D．
3．已知α是锐角，且tanα＝，那么下列各式中正确的是（ ）
A．60°＜α＜90° B．45°＜α＜60° C．30°＜α＜45° D．0°＜α＜30°
【分析】根据特殊角的正切值及正切弦函数随角增大而增大即可解答．
解：∵tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝
而1＜
∴tan45°＜tanα＜tan60°
∴45°＜α＜60°
故选：B．
4．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．24cm2 B．12cm2 C．6cm2 D．3cm2
【分析】根据位似变换的性质、相似三角形的性质计算即可．
解：∵△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1：4，
∴△ABC的面积为24cm2，
故选：A．
5．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ的值（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知正方形的面积即可求出边长．根据勾股定理求出直角三角形的边长，即可求解．
解：由题意知，小正方形的边长为7，大正方形的边长为13．
设直角三角形中较小的边的边长为x，
则有（7+x）2+x2＝169．
解得x＝5（负值不合题意，舍去）
∴sinθ＝．
故选：D．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．
解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB＝8
∴∠OMA＝90°，OA＝5，AM＝4
∴OM最短为＝3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选：A．
7．如图．△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】利用勾股定理的逆定理可判断三角形ABC为直角三角形，再利用锐角三角函数定义求出tan∠ABC的值即可．
解：由图可知AB2＝25，BC2＝20，AC2＝5，
则AB2＝BC2+AC2，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝．
故选：C．
8．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．
解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：D．
9．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣2，﹣1）
【分析】作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，由△OCG∽△OAH，得，从而得出OG，CG的长．
解：作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，
∴△OCG∽△OAH，
∴，
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，
∴OG＝，CG＝1，
∴C（﹣，﹣1），
故选：B．
（多选）10．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C．此时小霞在B地的（ ）
A．南偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．南偏西30°方向上 D．北偏西30°方向上
【分析】由AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米得AC2＝AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
解：当点C在点B的北侧时，如图，
∵AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，
∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1＝90°﹣70°＝20°，
∴∠2＝∠1＝20°，
即C点在点B的北偏西20°的方向上；
当点C在点B的南侧时，如图，
∵AC＝10千米，AB＝8千米，BC＝6千米，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°，
∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1＝70°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝20°，
即C点在点B的南偏东20°的方向上；
所以选：AB．
11．如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EG＝DH；④S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG＝GH＝HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S△ABE＝3S△AGE．故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个．
解：如右图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BE＝DF，选项①正确；
∵E、F是AD、BC中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴∠AEG＝∠ADH，∠AGE＝∠AHD，
∴△AEG∽△ADH，又AE：AD＝1：2，
∴AG：AH＝1：2，即G为AH中点，
∴EG为△ADH的中位线，
∴EG＝DH，选项③正确；
同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，
∴AG＝GH＝CH，选项②正确；
又AD∥BC，
∴∠EAG＝∠BCG，∠AEG＝∠GBC，
∴△AEG∽△BCG，又AE：BC＝1：2，
∴EG：GB＝1：2，
∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，
∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S△ABG＝S△AGB，
∴S△ABE＝3S△AGE，选项④正确，
则正确的结论有4个．
故选：D．
12．如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴sinA＝＝，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，
∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD＝，故B不合题意；
C、无法得出sinA＝，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，
∴∠A＝∠BOE，
∴sinA＝sin∠BOE＝，故D不合题意；
故选：C．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝ 或 ．
【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．
解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
14．如图⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于 28° ．
【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故答案是：28°．
15．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．若AB＝8，AD＝6，AF＝4，则AE的长为 6 ．
【分析】四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BC，∠B＝∠ADC；而AE⊥BC，求得∠DAE＝90°，根据已知条件得到∠DAF＝∠EDC；推出△ADF∽△DEC，由相似三角形的性质得到＝而AB＝8，AD＝6，AF＝4，求得DE＝12，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠ADC；∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF+∠DAF＝∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDC；
∴△ADF∽△DEC，
∴＝而AB＝8，AD＝6，AF＝4，
∴DE＝12，
∴AE＝＝6，
故答案为：6．
16．齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 1.4 m．（不考虑其它因素）
（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10°≈）
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以分别求得BD、CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
解：作AD⊥MN于点D，如右图所示，
由题意可得，
AD＝1m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝，
CD＝m，
∴BC＝BD﹣CD＝7﹣5.6＝1.4m，
故答案为：1.4．
三、解答题（17题6分，18题10分，19题12分，20题10分，21题12分，22题15分23题13分）
17．计算：3tan30°﹣+cos45°+
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
解：原式＝3×﹣+×+
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1．
18．如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DH＝CD＝，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数．
解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝，
在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH＝，
∴OH＝＝1，
∴∠OCH＝30°，
∵C是的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，
∴∠CPE＝60°，
即∠APC的度数为60°．
19．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
【分析】（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由直角三角形的性质得CD＝BC＝60海里，由锐角三角函数的定义求出AC＝40海里即可；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，证出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，证出A'C＝2A'N＝x，由题意得出方程，解方程即可．
解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．
20．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
【分析】设EF＝x，则GF＝2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
解：设EF＝x，则GF＝2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝．
∵AH＝6，BC＝12，
∴＝．
解得x＝3．
∴矩形DEFG的周长为18．
21．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，DC＝22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）
【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，于是得到CF＝EG，CG＝EF，解直角三角形即可得到结论．
解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF＝EG，CG＝EF，
在Rt△EFD中，∵斜坡DE的坡度3：4，DE＝10米，
∴设EF＝3x米，DF＝4x米，
∴DE＝＝5x＝10，
∴x＝2，
∴EF＝6米，DF＝8米，
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝22米，
∴BG＝BC﹣CG＝22﹣6＝16（米），
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan31°＝30×0.6＝18（米），
∴AB＝AG﹣BG＝18﹣16＝2（米），
答：宣传牌AB的高度为2米．
22．如图①是被誉为“川北第一楼”的凤凰楼，它不仅是广元市的城标，更是一份承传文化的载体．李铭和王华同学想借助无人机测量凤凰楼的高度，如图②为测量示意图，他们站在坡度是i＝：1，坡面长为4m的斜坡BC的坡底C处操控无人机，无人机从坡顶B出发，以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，38s时到达空中的A处．
（1）求此时无人机离坡底C所在地面的高度；
（2）如图②，无人机在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为60°，底部N的俯角为30°（凤凰楼与李铭和王华所站坡底C在同一水平面），求凤凰楼的高度MN．（结果精确到0.1m；参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.73）
【分析】（1）过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AE⊥CD于点E，交点B所在水平线于点G，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）过点A作AF⊥MN于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：（1）如图，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AE⊥CD于点E，交点B所在水平线于点G．
∵i＝tan∠BCD＝，
∴∠BCD＝60°．
∵BC＝4，
∴GE＝BD＝BC•sin60°＝．
∵AB＝0.3×38＝11.4，
在Rt△AGB中，AG＝AB•sin38°≈7.068．
∴AE＝AG+GE＝7.068+≈10.5（m）．
答：此时无人机离坡底C所在地面的高度约为10.5 m．
（2）如图，过点A作AF⊥MN于点F．
在Rt△AFN中，∠FAN＝30°，
∴AF＝．
在Rt△AFM中，∠FAM＝60°，
∴FM＝AF•tan60°＝3FN．
∴MN＝FN+FM＝4FN＝4AE≈42.0（m）．
答：凤凰楼的高度MN约为42.0m．
23．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，求得∠BAE＝∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，求得∠EPD＝90°，得到DE＝3，AB＝6，求得BD＝6﹣3＝3，CD＝＝3，根据相似三角形的性质得到PD＝，PB＝根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，
即∠BAE＝∠DAC，
在△ABE与△ADC中，，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝∠ACD+∠CFP＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴BP⊥CD；
（2）在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠PDB＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠CAB＝90°，
∴∠EPD＝90°，BC＝6，AD＝3，
∴DE＝3，AB＝6，
∴BD＝6﹣3＝3，CD＝＝3，
∵△BDP∽△CDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PD＝，PB＝
∴PE＝3﹣＝，
∴△PDE的面积＝××＝．
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