2022-2023学年福建省漳州市高二上学期期末教学质量检测数学试题含解析

2022-2023学年福建省漳州市高二上学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（    ）

A．13 B．40 C．72 D．60

【答案】B

【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.

【详解】由分步乘法计数原理得不同的配法种数为.

故选：B.

2．数列为等差数列，若，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质即可得出结果.

【详解】数列为等差数列，

.

故选：C.

3．若，则（    ）

A．30 B．20 C．12 D．6

【答案】A

【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.

【详解】若

故选：A.

4．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得出直线的斜率，由直线与垂直可得进而求得的斜率，就可得到的倾斜角.

【详解】∵直线，直线与垂直，

，解得，

的倾斜角为.

故选：B.

5．点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出，再由由椭圆定义可知：，代入即可求得.

【详解】椭圆，即，

其中

由椭圆定义可知：

得，

故选：A.

6．已知等比数列{an}中，，，则（       ）

A． B．1 C． D．4

【答案】D

【分析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，

【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，

所以，

所以，解得，

所以，得

故选：D

7．若过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，先得到直线的方程，然后再求得直线的垂直平分线，从而可得圆心以及半径，即可得到结果.

【详解】直线的方程：，即，直线的垂直平分线经过点，

，半径，

从而圆的方程为：，

故选:D.

8．椭圆的左、右焦点也是双曲线的焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积是（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据题意和椭圆、双曲线的对称性可得，结合椭圆、双曲线的定义和离心率即可求解.

【详解】连接，由对称性可知四边形是平行四边形，

又，∴四边形是矩形.在中，

，

对于椭圆，其离心率为；

而对于双曲线，其离心率为，

故，

故选：C.

二、多选题

9．在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法

C．若学校需要两名志愿者，则有24种安排方法

D．若甲被安排在学校，则有12安排方法

【答案】BD

【分析】先将四名志愿者分成三组，然后再分到三所学校求方法数即可判断A选项；先挑出一所学校分给甲乙，剩下的两人去剩下的两所学校，然后求方法数即可判断B选项；先给学校挑两名志愿者，剩下的两人去剩下的两所学校，然后求方法数即可判断C选项；分甲一个人在学校和两个人在学校两种情况计算即可判断D选项.

【详解】所有安排方法有，A错误；

若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；

若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；

若甲被安排在学校，则有种安排方法，D正确.

故选：BD.

10．已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．抛物线关于轴对称

C．的最小值为4 D．过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条

【答案】CD

【分析】根据抛物线的定义得到，然后根据抛物线的图象即可得到当在原点时，最小，即可判断A选项；根据抛物线的图象即可判断BD选项；根据抛物线的定义和几何知识可以得到当三点共线时最小，然后求最小值即可判断C选项.

【详解】

作出抛物线的准线，过作的垂线，垂足为，则.

当在原点时，最小为1，A错误；

易知抛物线关于轴对称，B错误；

，∴当三点共线时最小，最小值为到准线的距离为4，C正确.

点在抛物线内，故只有当过的直线平行于对称轴轴时，过的直线与抛物线有一个公共点，D正确.

故选：CD.

11．已知圆，点为直线上一动点，下列结论正确的是（    ）

A．直线与圆相离

B．圆上有且仅有一个点到直线的距离等于

C．过点向圆引一条切线，为切点，则的最小值为

D．过点向圆引两条切线和，、为切点，则直线过定点

【答案】ACD

【分析】计算出圆心到直线的距离，利用几何法可判断A选项；求出与直线平行且与到直线的距离为的直线的方程，判断所求直线与圆的位置关系，可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；求出直线的方程，并将直线的方程变形，求出直线所过定点的坐标，可判断D选项.

【详解】对于A选项，圆的圆心，半径，

圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，A正确；

对于B选项，设与直线平行且与到直线的距离为的直线的方程为，

所以，，解得，

设直线，直线，

所以到直线的距离为的点在直线、上，

圆心到直线的距离为，

所以，直线与圆相交；

圆心到直线的距离为，

所以，直线与圆相离.

因此，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，B错；

对于C选项，由切线的性质知，为直角三角形，且，

，

当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，C对；

对于D选项，设点，则，

以点为圆心，为半径的圆的方程为，

即，

将圆的方程与圆的方程作差可得直线的方程为，

因为点在直线上，则，

即，整理得.

由，解得，所以直线过定点，D对.

故选：ACD.

12．被誉为“闽南第一洞天”的风景文化名胜——漳州云洞岩，有大小洞穴四十余处，历代书法题刻二百余处.由于岩石众多，造就了云洞岩石头上开凿台阶的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石头上爬，旁边有铁索可以拉，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可.

【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，…

设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确；

B：，故B正确；

C：结合A分析知：，故C错误；

D：，，

可得，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知，则_____．

【答案】

【分析】令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.

【详解】令得：，

令得：，

.

【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.

14．写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程_______．

【答案】

【分析】不妨设双曲线方程焦点在轴上，根据渐近线方程以及的关系，得出双曲线的标准方程．

【详解】不妨设双曲线方程焦点在轴上，渐近线方程为，则

故答案为：

15．抛物线的焦点为，过原点的直线交于另一点，若，则______.

【答案】

【分析】根据抛物线的几何性质得出，即可得出点的坐标，即可根据两点间距离得出答案.

【详解】抛物线的焦点为，若，

则，

，

.

故答案为：.

四、双空题

16．已知等差数列的首项为1，公差为0，构造新数列为：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…，即在的第项和第项之间插入个2，记数列的前项和为，则_______；______.

【答案】     2     3981

【分析】根据已知讨论的中1后面的2的个数，即可得出为第63个1后面的第六个2，而，可以根据含多少个1与多少个2得出.

【详解】由题意得，考虑中1后面的2的个数，可得当有个1时，2的个数共有，

当时，2的个数总共有1953个，则已有个数，

则为第63个1后面的第六个2，即，

则，

故答案为：2；3981.

五、解答题

17．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

18．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________.

(1)求的值；

(2)若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数.

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）分别选择这三个条件，利用二项式系数的性质，求的值；

（2）根据的值和展开式中的常数项为112，利用二项式求得的值，再求展开式中的系数.

【详解】（1）选①，， ；

选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，；

选③，∵所有项的二项式系数的和为256，， .

（2）二项式的展开式的通项公式为

，令得，

∴展开式中的常数项为， 得，又，

的展开式的通项公式为，

令得， ，

∴展开式中的系数为.

19．已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.

(1)求的取值范围；

(2)若，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)方法一：根据直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于半径即可求解；方法二：联立直线和圆的方程，消去“y”得到关于“x”的方程，根据方程即可求解；

(2)根据可知CM⊥CN，再结合几何关系求出圆心到直线l的距离，根据点到直线距离公式即可求出l方程．

【详解】（1）方法一：

圆，圆心，半径，

设直线的方程为，即，

∵直线与圆相交于两点，，

解得：的取值范围是．

方法二：

联立，整理得，

∵直线与圆相交于两点，，

解得：的取值范围是．

（2），

，∴点到直线距离为，

即，

整理得，解得或，

的方程为或．

20．如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆经过两点.

(1)求的标准方程；

(2)若直线与相交于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意求出点C的坐标，列出等式求出a、b即可求解；

(2)直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式计算即可求解.

【详解】（1）设，将代入椭圆方程，得，所以，

，解得，

故椭圆的方程为：；

（2）设，

由，得：，

，

从而.

又点到直线的距离，

，

的面积为.

21．数列满足，设.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设，数列的前项和为，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知得出，则，得出，即可证明数列是以为首项，2为公比的等比数列；

（2）根据已知得出，根据裂项相消法得出，根据，得出数列单调递增，即可得出的最小值为.

【详解】（1）数列满足，，，

，

即，

又，

数列是以为首项，2为公比的等比数列，

.

（2），

，

，

，

数列单调递增，

的最小值为.

22．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有.

(1)求点的轨迹方程；

(2)若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；

(3)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案；

（2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案；

（3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案.

【详解】（1）设，

为切点，

，

由勾股定理有，

又，

，整理得.

点的轨迹方程为：；

（2）设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且，

而，

故当时，. （也可以通过求点到直线的距离得到）

此时，，

故半径取最小值时圆的方程为：.

（3）

设关于直线的对称点为，

解，

，（也可以利用是的中点，得到）

，

当三点共线时，取得等号.

则的最大值为.