2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知正四面体的各棱长为1，点是的中点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把表示为，然后再求数量积．

【详解】由题意，四面体是正四面体，每个面都是正三角形，

∴．

故选：A.

【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把表示为，然后计算即可．

2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】在三棱锥中，点，分别是，的中点，

点满足，若，

则

，

故选：B

3．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，借助模长公式能求出的长．

【详解】，

，

．

故选：A

4．如图，在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是（    ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

【答案】B

【分析】由异面直线的向量求法求解即可

【详解】∵，，

∴．

∵，，

∴．

又∵，

∴，

∴，

又异面直线所成角的取值范围

∴异面直线OB与AC所成的角为60°．

故选：B

5．在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.

【详解】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，，

则，，

设异面直线PN和BM所成角为，则.

故选：B.

6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为，利用平面内两点间的距离公式可求得结果.

【详解】点关于直线的对称点为，如下图所示：

在直线上任取一点，由对称性可知，

所以，，

当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，

故“将军饮马”的最短总路程为.

故选：B.

7．平面直角坐标系中，已知，在两坐标轴上分别有动点、，且，是的中点，则长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出点的轨迹方程为，利用圆的几何性质可得出，即可得解.

【详解】不妨设点、分别在、轴上，设点，则、，

所以，，化简得，

即点的轨迹为圆，该圆的半径为，

由圆的几何性质可得.

故选：D.

8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析曲线的形状，在同一坐标系内作出直线与曲线，利用数形结合方法求解作答.

【详解】方程是恒过定点，斜率为k的直线，

曲线，即，是圆心为，半径在直线及右侧的半圆，

半圆弧端点，在同一坐标系内作出直线与半圆C：，如图，

当直线与半圆C相切时，由得切线PT的斜率，

当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，

包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率，

所以直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.

故选：A

二、多选题

9．如图，正方体的棱长为a，以下结论正确的是（    ）.

A．

B．

C．存在实数，使得

D．

【答案】BD

【分析】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标，结合向量的坐标运算公式，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解.

【详解】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标，如图所示，

因为正方体的棱长为，

可得

对于A中，可得，所以，所以A错误；

对于B中，可得，所以，所以B正确；

对于C中，可得，所以向量与不是共线向量，

所以不存在实数，使得，所以C错误；

对于D中，由，所以D正确.

故选：BD.

10．在空间直角坐标系中，平面的法向量，直线的方向向量为，则下列说法正确的是（    ）

A．轴一定与平面相交 B．平面一定经过点

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】A选项，设设轴的方向向量设为，通过计算可以得到两者一定相交；B选项直接可以作出判断；C选项通过观察发现，可以作出判断，D选项通过计算，可以得到或在平面上.

【详解】不妨设轴的方向向量设为，则，故轴一定与平面相交，A正确；平面不一定经过点，B错误；因为，即，故，C正确；因为，所以，所以或在平面上，故D错误.

故选：AC

11．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（    ）

A．

B．

C．直线与直线所成角的正该值是

D．直线与平面所成角的正弦值是

【答案】AB

【分析】根据空间向量基本定理，将所求转化为基底进行运算即可.

【详解】记，则

因为，所以，故A正确；

因为，故B正确；

因为，，，

所以，所以，故C不正确；

易知，又，所以为平面的法向量，记直线与平面所成角为，则，故D不正确.

故选：AB

12．已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．面积的最大值为

C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个

【答案】ABC

【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用平面向量的数量积可判断D选项.

【详解】在椭圆中，，，，且，

对于A选项，当时，则，

由余弦定理可得，

因为，所以，，A对；

对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，

所以，面积的最大值为，B对；

对于C选项，因为，即，

所以，，C对；

对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，

当为直角顶点时，设点，则，

，，，

所以，，，此时，满足条件的点有个，

综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.

【答案】6

【分析】利用空间向量基本定理，选取合适的基底表示向量，再通过平方的方法求出其模长.

【详解】设，，，则，

∴，

∴.

故答案为：6

14．求与直线的夹角为，且经过点的直线的直线方程可以是________.

【答案】或

【分析】讨论当直线的斜率不存在，检验满足题意；当直线的斜率存在，设为，由两直线的夹角公式，解方程可得，再由直线的点斜式方程可得所求方程.

【详解】直线的斜率为，可得倾斜角为，

当直线的斜率不存在，即倾斜角为时，满足题意，

直线的方程为；

当直线的斜率存在，设为，由题意可得，

解得：，可得直线的方程为，

即为.

故答案为：或.

【点睛】易错点睛：本题易忽略斜率不存在的情况，可以先画出直线，以便于判断的情况.

15．直线与圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为________

【答案】

【分析】由于直线过定点，所以当时，弦AB的长度最短，然后先求出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出三角形ABC的面积

【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为，

所以当时，弦AB的长度最短，

因为，

所以，

所以三角形ABC的面积为，

故答案为：

16．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______________．

【答案】##

【分析】根据左焦点到右顶点距离可得；在中，利用正弦定理可求得，由此可得，进而求得离心率.

【详解】如图所示，

伞柄底端应该位于椭圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为，即；

在中，由正弦定理得：，

，

，该椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题关键是能够提炼出基本图形，结合正弦定理可求得椭圆的，由此可得离心率.

四、解答题

17．已知直线，直线过点，且于点.

（1）求直线的方程；

（2）若直线与轴相交于点，求△外接圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用直线，而直线，可直接求出l的斜率，再由点斜式，求出l的方程；

（2）先求出B的坐标，根据AH⊥BH，得到AB为所求圆的直径，从而求出圆的方程.

【详解】解：(1)直线的斜率，由题意

的斜率   又过点，

的方程为

即

（2）中令得， 故

  于，    所以是外接圆的直径

    ，的中点坐标为

   外接圆方程为

【点睛】待定系数法可以求曲线方程的标准方程，是最常用的方法；

18．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．

(1)试用，，表示向量；

(2)若，求MN的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.

（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.

【详解】（1）解：

，

∴；

（2）解：，

，

，

，

，

 即MN的长为.

19．如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点在第二象限，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求出，结合焦点坐标求出，从而可求，即可得出椭圆方程；

（2）直线方程与椭圆方程联立，可得的坐标，利用三角形的面积公式，可求△的面积．

【详解】（1）解：依题意得，

又，

，，

，．

所求椭圆的方程为．

（2）解：设点坐标为，

，

所在直线的方程为，即．

解方程组，并注意到，，可得

．

20．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

(1)求异面直线EF和所成角的余弦值；

(2)求FH的长.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用坐标法，利用向量的夹角公式即得；

（2）利用向量的模长公式即得.

【详解】（1）如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

可得，，

所以，，

而，

所以

即异面直线EF和所成角的余弦值为；

（2）因为是的中点，所以，

又因为，

所以，，

即.

21．已知直线l：与圆C：交于A，B两点，过点的直线m与圆C交于M，N两点．

（1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；

（2）若，求以MN为直径的圆的方程；

（3）已知点，在直线SC上为圆心，存在定点异于点，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点T的坐标及该常数．

【答案】（1）；（2）；（3）在直线上存在定点使得为常数.

【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，求出圆的半径，根据圆的性质进行求解实数的值即可；

（2）根据圆的垂径定理，结合勾股定理、圆的标准方程进行求解即可；

（3）设直线上的点，取直线与圆的交点，则，

取直线与圆的交点，则，然后求解存在这样的定点，进而求证结论.

【详解】（1）依题意，圆C方程变形为，圆心，半径

又直线l的方程即为，因为垂直平分弦，圆心必在直线上

过点和，斜率，；

（2）设垂直于的弦长为，，

由圆的垂径定理和勾股定理可得：

，所以，因此是MN的中点，

所以以MN为直径的圆就是以为圆心，2为半径的圆，方程为：

；

（3）设直线上的点取直线与圆的交点，则

取直线与圆的交点，则.

令，解得或（舍去，与重合），此时

若存在这样的定点满足题意，则必为

证明如下：

点满足题意.设圆上任意一点，则

，

综上可知，在直线上存在定点使得为常数.

【点睛】关键点睛：应用圆的垂径定理，通过熟练的数学运算是解题的关键.

22．已知椭圆的左、右焦点分别为， 离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且．

(1)求的标准方程;

(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线与轴的交点为定点时，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；

（2）设可得直线AD的方程令x=0，求出y，再根据韦达定理结合直线过定点可求出t的值.

【详解】（1）由题意可知，点P的坐标为，

则，解得，

所以所求的椭圆C的标准方程为.

（2）设，

联立方程，消去y得：.

所以.

由题意得.

所以直线AD的方程为：.

令得：

因为直线AD与y轴的交点为定点Q，

所以，即，

解得：.

即当直线AD与y轴的交点为定点时，t的值为.