2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高二上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.

【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，

D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，

.

故选：A

【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.

2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的中点，则等于（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】D

【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．

【详解】以为基底向量，则，

∵，

则，

又∵，即，

∴．

故选：D．

3．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【详解】，0，，，1，，，

，，，

在上的投影为，

则点到直线的距离为.

故选：D．

4．已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.

【详解】由斜率公式可得，得，

由图像可知，

当介于之间时，直线斜率的取值范围为，

当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ，

所以直线的斜率的取值范围为，

故选：D．

5．“”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先求出“直线：与直线：平行”的充要条件,再判断即可.

【详解】由直线：与直线：平行得，

，解得.

∴“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.

故选：C.

6．已知圆（）截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．外切 C．相交 D．相离

【答案】A

【分析】首先通过已知条件求得，然后根据两个圆的位置关系确定正确选项.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以，

所以.

圆的圆心为，半径，

，

所以两个圆的位置关系是内切.

故选：A

7．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线，

则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，

设点所在直线的方程为，

由，可得，解得，可得，

所以到原点的距离的最小值为.

故选：B.

8．已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由已知可设，则，得，在中求得，从而可求解．

【详解】如图，由已知可设，则，

由椭圆的定义有．

在中，由余弦定理推论得．

所以，则.

得，所以，又，得

故C的方程为

故选：A

二、多选题

9．下面四个结论正确的是（    ）

A．空间向量，若，则

B．若空间四个点，，则三点共线

C．已知向量，若，则为钝角

D．任意向量满足

【答案】AB

【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B

【详解】对于A：因为，，则，故A正确；

对于B：因为，则，即，

又与有公共点，所以三点共线，故B正确；

对于C：，

若为钝角：则，且与不共线，

由得，

当时，，即，由与不共线得，

于是得当且时，为钝角，故C错误；

对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，

故选：AB

10．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（    ）

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：＝0，则l⊥m

C．点到直线l的距离是2

D．过与直线l平行的直线方程是

【答案】BCD

【分析】对A，根据斜率判断即可；

对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；

对C，根据点到线的距离公式求解即可；

对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可

【详解】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；

对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；

对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确；

对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；

故选：BCD．

11．点在圆上，点在圆上，则（     ）

A．的最小值为0

B．的最大值为7

C．两个圆心所在的直线斜率为

D．两个圆相交弦所在直线的方程为

【答案】BC

【分析】求出圆心距，结合半径由圆的性质可得圆上两点的距离的最大值和最小值，判断AB，得直线斜率，判断C，根据两圆位置关系可判断D．

【详解】解：根据题意，圆，其圆心，半径，

圆，即，其圆心，半径，

圆心距，

则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；

对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，C正确，

对于D，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，D错误．

故选：BC．

12．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ）

A．点纵坐标为 B．

C．的周长为 D．的内切圆半径为

【答案】CD

【解析】设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，，利用韦达定理可判断B；根据椭圆的定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D.

【详解】解：由已知，不妨设，

则

，故A错；

，得，，

，

，

，

，故B错；

由椭圆定义，的周长，故C正确；

设的内切圆半径为，

，，故D正确；

故选：CD.

【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.

三、填空题

13．在棱长为2的正方体中，点在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而根据线性规划求得的取值范围.

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，，，

设（且只在正方体的条棱上运动），则，

，

因为，设，

根据线性规划，作出可行域如图，

当时，取得最小值，即取最小值；

当时，取得最大值，即取最大值.

故答案为：

14．过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______．

【答案】

【分析】求出两直线交点坐标，再根据所求直线与直线垂直，确定所求直线斜率，再利用点斜式即可得到答案.

【详解】根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为，

又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为，

则所求直线方程为，整理得，

故答案为：.

15．过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．

【答案】##

【分析】根据圆的性质，结合三角形面积公式、点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为，

因为，，

所以点O到直线l的距离为，所以，解得．

故答案为：

16．已知椭圆E：过椭圆内部点的直线交椭圆于M，N两点，且则直线MN的方程为_____________.

【答案】

【解析】由已知条件得到为的中点，利用中点坐标公式得到，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到即可得出结果.

【详解】由，

可知为的中点，又,

不妨设直线MN的方程为：，

设点，

则，①

将直线MN的方程代入椭圆的方程消得：

，

化简整理得：，

由韦达定理得：，②

由①②得：，

所以直线MN的方程为：，

即直线MN的方程为：.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：确定为的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.

四、解答题

17．在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，O为AD的中点，DC//AB，DC⊥AD，PA=PD，PO=AB=2DC，BC=CD，

(1)求证：平面PBC⊥平面POC；

(2)求平面PAB与平面PCB所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面PAB与平面PCB所成角的余弦值.

【详解】（1）连OB，

在三角形PAD中，且O为AD的中点，所以，

又平面平面ABCD，平面平面平面PAD，

所以平面ABCD，

又平面ABCD，所以.

，所以，

在中，，

在中，，又，

所以，所以，

又，所以平面POC，

平面PBC，所以平面平面POC.

（2）如图，以O为原点，OA、OP所在直线分别为x轴、z轴，过O且垂直于AD的直线为y轴建立空间直角坐标系.

设，则，易求，

则，

所以

设平面PAB的一个法向量为，

则所以

取，则，所以.

设平面PCB的一个法向量为，

则，所以，

取，则，所以.

所以，

即平面PAB与平面PCB所成角的余弦值为.

18．已知空间中三点，设，．

(1)求向量与向量的夹角；

(2)若与互相垂直，求实数k的值．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）先求出向量与向量的坐标，然后利用夹角公式求解即可，

（2）求出与的坐标，由与互相垂直，可得，从而可求出实数的值.

【详解】（1）∵空间中三点，

∴，

设向量与向量的夹角为，

∴，又，

∴，

即向量与向量的夹角为.

（2）∵，且，

∴，

即

∴或.

19．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1

(2)x2＋y2－x－y－1＝0

【分析】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式表示出点坐标，代入已知圆方程可得结论；

（2）设PQ的中点为N(x，y)，由，再由可得轨迹方程．

【详解】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2，2y).

因为点P在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N(x，y).

在中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，如图，

则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2

＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

20．已知的三个顶点，，．

(1)求三角形的外接圆方程；

(2)求过点且与点A及点距离均相等的直线方程．

【答案】(1)

(2) 或

【分析】（1）设圆的一般方程，将点的坐标代入，解方程组即可求得答案；

（2）由题意可知三角形中线符合题意，过点且与平行的直线也满足与点距离相等，由此求得答案.

【详解】（1）设三角形的外接圆方程为，

由题意得

解得，，；

所以所求圆的方程为．

（2）中，，，，

线段的中点为，

直线即为与点距离相等的直线，

，

直线的方程为：，整理得：；

又直线的斜率为，

过点且与平行的直线也满足与点距离相等，

由点斜式得的方程为：，即

过点且与点距离相等的直线方程为或．

21．已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于两点，求.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先由离心率得到，再根据短轴一个端点到右焦点的距离为，得到，结合，即可求出椭圆的方程；

（2）写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出．

【详解】解：（1）由题意：，

即

短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为

即，

而，

所以，，

所以椭圆的方程：；

（2）由（1），左焦点，直线的方程：，

设，

联立直线与椭圆的方程，消去整理得：

所以，

22．如图，设直线：，：.点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数）.

（1）求实数的取值范围；

（2）设，求面积的最小值；

（3）是否存在实数，使得的值与无关?若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，

【分析】（1）由直线的方程为，求出交点坐标后由纵坐标为正可得的范围．

（2）在（1）基础上，求出后可得面积，令换元后由基本不等式可得最小值．

（3）在（1）基础上，求出，不论为何值（有意义时），此值为常数，分析此式可得结论．

【详解】（1）直线的方程为，

令得，，由，得，∵，∴，

由得（时，方程组无解，不合题意），

由，∵，∴或，

综上．即．

（2）由（1）得，，，，

设直线的倾斜角为，则，，∴，

，

令，则，，

．

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值是．

（3）假设存在满足题意的，由（1），，

∴，此式与值无关，则，．

所以，存在，的值与无关．

【点睛】本题考查两直线交点问题，考查三角形面积的最小值，考查直线中的存在性命题．解题方法没有特出之处．求交点坐标，求三角形边长及夹角正弦值得三角形面积，求出的表达式．但在每一部分，又考查了其他的知识，如不等式恒成立问题，用基本不等式求最小值，存在性命题的思维方法等．本题对运算求解能力要求较高，属于困难题．