2021-2022学年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期期中数学试题 一、填空题1．已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为____________．【答案】【分析】根据圆柱体积公式，结合侧面展开图的性质进行求解即可【详解】因为圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为6，因此半径为，而圆柱的高为6，故该圆柱的体积为．故答案为：【点睛】本题考查了圆柱体积公式的计算，考查了数学运算能力.2．某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为____．【答案】【分析】根据圆锥底面面积公式以及圆锥侧面面积公式，求出底面半径和母线长，即可得出结论.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，，解得，设该圆锥的母线与底面所成角为，所以，，所以.故答案为：.3．P是所在平面外一点，是点P在平面上的射影．若，则O是的________心．【答案】外心.【分析】由平面和，利用勾股定理，求得，即可求解.【详解】如图所示，由点是点在平面的射影，所以平面，可得，,，因为，所以，所以为的外心.故答案为：外心.4．正方体的棱长为，是棱的中点，则异面直线与的距离为________.【答案】【分析】根据正方体的性质可得，，则即为异面直线与的距离；【详解】解：依题意可得，面，面，所以，即为与的公垂线，所以即为异面直线与的距离，故答案为：5．给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.其中所有正确命题的序号为___________.【答案】②③【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．【详解】对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．其中所有正确命题的序号为②③．故答案为：②③．6．如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟.【答案】18【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理推得直线，从而在与中求得，由此求得小李到达山顶所需时间.【详解】过点作平面，垂足为，过点作直线，垂足为，连接，如图，.因为平面，，所以，又，面，所以面，又面，所以直线，由题意可知，，所以在中，，在，，所以，因为小李行进速度为每分钟30米，所以他到达山顶需要的时间是（分钟）.故答案为：18.7．如图是正四面体的平面展开图，、、分别为，，的中点，则在这个正四面体中，与所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）【答案】【分析】根据展开图还原几何体，利用平移找到异面直线所成的角，根据余弦定理即可求解.【详解】由正四面体的平面展开图可得正四面体如图所示，其中点重合，连接，因为为 的中点，所以,所以即为与所成的角或补角，不妨设正四面体的棱长为2，则,在中，由余弦定理可得，,所以与所成角的大小为.故答案为【点睛】本题主要考查异面直线所成角的大小求解，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________.【答案】【解析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解.【详解】如图所示：因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4，所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2，因为截去的小棱锥的侧棱长为2，所以正四棱锥的侧棱长为4，又因为正四棱锥的底面边长为2，即，所以，作，则，，所以此棱台的表面积为，故答案为：9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形.底面圆的内接正三角形面积为，则该圆柱的表面积为__.【答案】【分析】先由三角形面积公式求出三角形边长，再由正弦定理求底面圆的半径，由表面积公式求圆柱的表面积.【详解】如图所示，设圆柱的底面圆半径为，则高为，再设底面圆的内接正三角形边长为，则该三角形的面积为，解得；由正弦定理得，所以，所以该圆柱的表面积为.故答案为：.10．已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的正弦值是__.【答案】【分析】设交于，过作直线，证明出为所求二面角的平面角，求出，，，即可求解.【详解】如图，正四棱锥中，为正方形的两对角线的交点，则面.因为侧棱、的中点分别为、，所以为的中位线，所以.设交于，则.因为面，所以.又，，平面，平面，所以平面.过作直线，则,所以面，面，所以为面与底面的交线.因为为正方形，所以，所以.由正四棱锥的对称性可得：.而为的中点，所以.所以为所求二面角的平面角.又，，所以所以.所以截面与底面所成的二面角的正弦值是.故答案为：.11．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是__.【答案】【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出.解得，即可求出的取值范围【详解】作于D.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，.设，，则.在直角三角形中，由正弦的定义：.在直角三角形中，由等面积可得：，所以，所以.在直三棱柱中，.因为平面，所以.因为平面，平面，，所以平面，故，从而，即.于是，解得：.又，解得：.故答案为：.12．如图，三棱柱中，，若，则三棱柱体积最大时，______.【答案】【分析】推导出平面，设，可求出、的长，计算出，可求得的解析式，结合二次函数的性质可求得答案.【详解】因为，，则，又，，平面，所以平面，设，在中，，在中，，所以，所以，由已知可得，可得，所以，又所以三棱柱的体积，所以当时，三棱柱体积最大，此时.故答案为：. 二、单选题13．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时, 在同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．在下列四个正方体中，能得出的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由线面垂直的性质可判断A，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.【详解】对A，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面，则，，平面，平面，，故A正确；对B，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故不垂直，故B错误；对C，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂直，故C错误；对D，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂直，故D错误.故选：A.15．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（    ）A．斛 B．斛C．斛 D．斛【答案】A【分析】由扇形弧长公式可求得底面圆半径，根据圆锥体积公式计算出米堆的体积，进而计算得到结果.【详解】由题意知：底部扇形弧长，圆心角，圆锥的高底面圆半径    米堆的体积堆放的米约有斛故选：【点睛】本题考查圆锥体积相关问题的求解，涉及到扇形弧长公式、圆锥体积公式的应用，属于基础题.16．如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）的所有棱长都相等，,分别为的中点，现有下列四个结论：①平面    ②     ③平面④异面直线与所成的角为，其中正确结论的个数为A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】根据几何体的性质，对选项进行逐一判断.【详解】解：因为底面是菱形，且，为中点，所以为等边三角形，且，又因为，所以，因为四棱柱，所以平面，故，又因为，平面，所以平面，故选项①正确；因为为的中点，所以，若，则得到，与矛盾，故选项②不正确；因为四棱柱，所以有,因为为的中点，所以,故,因为平面，平面所以平面，故选项③正确；由③可知，,所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角,因为四棱柱，且各棱长相等，所以四边形为正方形，故，即异面直线与所成的角为90°，故④不正确，综上：本题的共有2个正确，故选B.【点睛】本题考查了几何体线面的位置关系，解题时应充分运用题中所给的条件，结合判定与性质定理逐项进行验证. 三、解答题17．如图，已知、两点分别是正方形边、的中点，交于点，垂直于所在平面．求证：⊥平面．【答案】证明见解析．【详解】试题分析：连接交于点，由，是正方形边、的中点，得到⊥，再根据平面，得到⊥，即可利用线面垂直的判定定理，证得⊥平面．试题解析：证明：如图，连接交于点，∵，是正方形边、的中点，⊥，∴⊥，又∵平面，平面，∴⊥，∵，平面∴⊥平面．【解析】直线与平面垂直的判定与证明．18．如图，长方体中，，与底面所成的角为.(1)求长方体的体积；(2)求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)(2) 【分析】(1)先证明是与底面所成的角，解三角形求，利用长方体的体积公式可得结果；（2）由，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得结果．【详解】（1）因为多面体为长方体，，所以平面，，所以是与底面所成的角，因为与底面所成的角为，所以，所以，因为正方形的面积，所以长方体体积.（2）因为， 所以是异面直线与所成角（或所成角的补角）. 因为，， 所以. 所以. 所以异面直线与所成角是.19．如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.(1)求三棱锥的体积；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2) 【分析】（1）计算出、的长，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【详解】（1）解：因为是圆的直径，所以，因为，且，所以，，又，所以，，三棱锥的体积.（2）解：，，，所以，所以.所以，设点到平面的距离为，由，得，解得.所以点到平面的距离为.20．如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元.（1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？【答案】（1），定义域为.（2）【分析】（1）由题由圆柱与圆锥体积公式得，得即可；（2）由圆柱与圆锥的侧面积公式得容器总造价为，求导求最值即可【详解】（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，圆锥的体积为，圆柱的体积为.因为，所以，所以.因为，所以.因此.所以，定义域为.（2）圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，底面积.容器总造价为.令，则.令，得.当时，，在上为单调减函数；当时，，在上为单调增函数.因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元.所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为.【点睛】本题考查圆柱圆锥的表面积和体积公式，考查利用导数求函数最值，方程思想的运用，是中档题21．如图，在四面体中，平面，，，．M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取中点，连接，先证明面面平行再证明线面平行；（2）根据三垂直线作法先找到二面角的平面角，然后根据线段长度关系求解出的大小.【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：因为为中点，为中点，所以，又因为，所以，所以，又因为为中点，为中点，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）设，过作交于点，过作交于点，连接，如下图所示：因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，又因为为直角三角形且，所以，所以，所以，所以的大小为.【点睛】本题考查空间中线面平行的证明和几何法求解二面角有关的问题，对学生的空间位置关系的理解能力与证明能力要求较高，难度一般.证明线面平行除了可以使用判定定理之外，还可以通过面面平行来证明.