2021-2022学年上海市上海师范大学附属中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市上海师范大学附属中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．直线的倾斜角是______．

【答案】

【分析】先求斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案.

【详解】直线的斜率，倾斜角为．

故答案为：.

2．在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是______．

【答案】1

【分析】在正方体中，找到异面直线AC与直线的公垂线段，求其长度即可.

【详解】如图，取AC与的中点，

因为,为的中点，则，同理，

所以直线AC与直线的距离为线段长，

又，所以直线AC与直线的距离为1.

故答案为：1.

3．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且直线与平面平行，则实数______．

【答案】2

【分析】依题意可得，即可得到，根据空间向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可.

【详解】解：因为直线与平面平行，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，

所以，则，解得．

故答案为：

4．把一个母线长为10cm的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为1∶4，则圆台的母线长是______cm．

【答案】5

【分析】根据圆台的上、下底面积的比可得半径比，利用比例可得答案.

【详解】作出圆锥的轴截面如图，因为圆台的上、下底面积的比为1∶4，所以上、下底面圆的半径之比为1∶2，所以；

利用平行线截线段成比例，则，

因为圆锥的母线长为10cm，即，所以，

所以圆台的母线长是.

故答案为：5.

5．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是______cm.

【答案】

【分析】先求纬圆半径，根据直角三角形的性质，再求地球仪的半径．

【详解】如图所示，由题意知，

北纬30°所在小圆的周长为，

则该小圆的半径，

其中，

所以该地球仪的半径.

故答案为：.

【点睛】本题考查球的半径的计算，利用球心到截面的距离、截面半径、球的半径构成直角三角形，解直角三角形即可求解半径，属于简单题.

6．已知直线l过点，且与直线的夹角为，则直线l的方程是______．

【答案】或

【分析】根据夹角公式列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程.

【详解】设直线的斜率为，因为，且为锐角，

所以，

所以，解得或0，

故过点，且与直线的夹角为的直线的方程为：

或，

即或．

故答案为：或

7．如图，圆锥的底面半径，高，点C是底面直径AB所对弧的中点，D是母线PA的中点，则异面直线CD与AB所成角的大小是______．（结果用反三角函数表示）

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】因为圆锥的底面半径，高，

所以母线长，

连接，因为为底面直径所对弧的中点，所以，

以为坐标原点，,,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，，

所以．

所以异面直线与所成角的大小为．

8．已知点到直线的距离为d，则d的最大值是______．

【答案】5

【分析】先求出直线过定点，得到d的最大值为，利用两点间的距离公式即可求解.

【详解】直线即，

令得，故直线过定点.

所以d的最大值为．

因为，，

所以.

故答案为：5

9．已知中，，，所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是6，则点P到平面α的距离是______．

【答案】

【分析】过点P作所在平面α的垂线，垂足为的外心，求出的外接圆的半径，再根据勾股定理求点P到平面α的距离.

【详解】记点在平面上的射影为，因为，

所以，即是的外心，

只需求出的外接圆的半径，记为，

在中，，，由余弦定理得，

再由正弦定理得，所以，又，

得,即点到平面的距离为.

故答案为：.

10．过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，则弦的长度为__________．

【答案】

【详解】由条件可知A−BCD是正四面体,如图：

A、 B、 C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，

则过点B、C、D的截面圆半径，

正四面体A−BCD的高 ,

则截面BCD与球心的距离d=OO1= a−R.

因为在中,,

所以,解得.

点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

11．点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】先证明平面，故点的轨道为线段，的取值范围是

【详解】连结，，，

易知平面，故点的轨道为线段，

当在中点时：最小为

当与或重合时：最大值为2

则的取值范围是.  

故答案为

【点睛】本题考查了线段长度的范围，确定点的轨道为线段是解题的关键.

12．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，，，平面平面ABCD，，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的二面角为（为锐角），则当取最小值时，三棱锥的体积为______．

【答案】

【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求解平面与的法向量，根据向量夹角公式判断当取最小值时求得，从而求解三棱锥的体积为．

【详解】由题意得，，两两相互垂直，

以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，

所以，其中，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，故，

又平面的一个法向量为，

所以，

由于，故当时，取得最大值，取得最小值，

此时，三棱锥的体积为．

故答案为：

二、单选题

13．设α、β是两个不同的平面，b是直线，且，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．既非充分又非必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】根据面面垂直的判定与性质定理即可判断结果．

【详解】因为，若，则，反之不成立，故为充分非必要条件．

故选：A

14．给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体､四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（    ）

A．五棱柱､七面体 B．五棱柱､六棱锥

C．六棱锥､七面体 D．以上答案都不正确

【答案】A

【分析】根据正方体的几何结构特征，分别取的中点，即可得到一个直五棱柱，即可求解.

【详解】如图所示，分别取的中点，

分别连接，

可得几何体为一个直五棱柱，且为七面体.

故选：A.

15．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（    ）

A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题；

C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题；

【答案】A

【分析】根据线面平行的判定定理可知①为真命题，利用线面垂直可得②为真命题.

【详解】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以，

因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确；

如图，取中点，则（菱形对角线垂直），

又，且两直线在平面内，所以平面，

因为平面，所以，

因为，所以，所以②正确；

故选：．

16．是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数），问质点走完的第2022段与第1段所在的直线所成的角是（    ）

A．0° B．30° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】不妨设质点运行路线为，找到规律，即可得到第段与第段所在的直线所成的角.

【详解】解：依题意，不妨设质点运行路线为，

走过段后又回到起点，可以看作以为周期，

因为，

所以质点走完的第段与第段所在的直线分别为与，

连接，显然为等边三角形，所以与所成角为，

所以质点走完的第段与第段所在的直线所成的角是.

故选：C．

三、解答题

17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．

(1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)

(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）

【答案】(1)

(2)（克）

【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；

（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.

【详解】（1）该半球的直径，

所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，

所以两个半球的体积之和为，

而，

该“浮球”的体积是；

（2）上下两个半球的表面积是，

而“浮球”的圆柱筒侧面积为，

所以1个“浮球”的表面积为，

因此，2500个“浮球”的表面积的和为，

因为每平方米需要涂胶100克，

所以总共需要胶的质量为：（克）．

18．直线的方程为,直线的方程为．

(1)若直线与直线垂直,求实数a的值;

(2)若直线与直线平行,求这两条平行直线间的距离．

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)根据直线与直线垂直,列出等式,解出即可;

(2)根据直线与直线平行,列出等式,解出a的值,再根据平行直线距离公式代入即可求得距离.

【详解】（1）由题知,,

因为直线与直线垂直,

所以,

即,所以或;

（2）因为直线与直线平行,所以,

即,解得或,

经检验,当时两直线重合,故,

此时直线的方程为,

直线的方程为,即,

所以这两条平行直线间的距离．

19．已知四棱锥的底面是菱形，对角线AC、BD交于点O，，，底面ABCD，设点M满足．

(1)若，求三棱锥的体积；

(2)直线PA与平面MBD所成角的正弦值是，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当 时，，，则点到平面的距离等于点到平面的距离的， 求解即可；

（2）求平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，然后由求解.

【详解】（1）当 时，，即，则点到平面的距离等于点到平面的距离的.

在菱形中，，，，又底面ABCD，，

所以.

所以三棱锥的体积为.

（2）因为底面，底面，底面，所以、，则、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

，,，，则，，

设平面的法向量为，

则，令，，，

设直线与平面所成的角为，

，

解得，（舍去），所以．

20．（1）已知O是平面ABC外一点，求证：P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”；

（2）如图所示，在平行六面体中，，，，，与平面交于点K．设，，．

①用，，表示；

②求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

【答案】（1） 证明见解析；（2）① ；② ．

【分析】（1）利用空间向量基本定理及向量运算求解；

（2）①利用及（1）的结论可求答案；②利用空间向量的运算求解异面直线所成角.

【详解】（1）若且，

则

，

由空间向量基本定理，得，，三个向量共面，

说明点在平面内．

反之，如果点在平面内，则存在，使得，

，即；

令，则且.

所以P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”.

（2）①，因为与平面交于点K，

设，由（1）得，所以，

所以；

②，，

因为，，，，

所以，同理

所以，

，，

设异面直线与所成角的大小为，则，

所以异面直线与所成角的大小为．

21．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，例如：点，点，因为，所以点与点的“切比雪夫距离”为，记为．

(1)已知点，B为x轴上的一个动点，

①若，写出点B的坐标；

②直接写出的最小值

(2)求证：对任意三点A，B，C，都有；

(3)定点，动点满足，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r的值．

【答案】(1)①；②

(2)证明见解析

(3)

【分析】(1)根据切比雪夫距离定义写出答案即可；

(2)设，，，根据切比雪夫距离定义结合三角不等式可证；

(3)根据切比雪夫距离定义求出动点的轨迹方程，从而根据动点P所在的曲线所围成图形的面积是36可求r的值.

【详解】（1）①；②；

（2）设，，，

则

，

同理可得，，

所以；

故对任意三点A，B，C，都有.

（3）设轨迹上动点，则，

等价于或，

所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，

故点所在曲线所围成的图形的面积为，所以，

所以．