2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高一上学期10月月考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高一上学期10月月考数学试题 一、填空题1．用列举法表示集合__________．【答案】【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合．【详解】因为且所以可以取，2，3，4.所以故答案为：【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题.2．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.3．若恒成立，则的值______．【答案】5【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.【详解】因为，即恒成立，所以，所以.故答案为：5【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.4．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是_____．【答案】③【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；对于②，当时，满足，不满足，故②错误；对于③，由，则，即，故③正确；对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误.故答案为：③5．不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】；【分析】由题意可得，不等式成立；当，结合二次函数的性质可得，进而可得结果.【详解】① 当即时，不等式显然成立；② 当，欲使不等式对恒成立，则需满足，解之；综合①②，则实数的取值范围为.故答案为：6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____．【答案】【分析】根据不等式解集可知且方程的两根为，，结合韦达定理可得，代入不等式求解即可.【详解】由题，因为不等式的解集为，所以方程的两根为，，所以且，解得，所以不等式为，即，解得，故答案为：7．已知一元二次方程的两实根为、，且，则实数m的值为______．【答案】或【分析】应用根与系数关系可得，结合已知及与、的关系列方程求m的值.【详解】由的两实根为、，∴，且∴，解得或．故答案为：或.8．“”是“不等式与同解”的__条件.【答案】既不充分又不必要【分析】取说明充分性不满足；举不等式与不等式说明必要性不满足，从而即可得答案.【详解】解：取，满足，所以即为，即为，两不等式的解集不同，故充分性不满足；不等式与不等式的解集相同，均为，但不满足，故必要性不满足；所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件.故答案为：既不充分又不必要9．不等式的解集是__．【答案】【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】原不等式 与不等式 同解，故有 ；故答案为： .10．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2021个，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】解不等式得到的解集为或，的解集为，从而根据整数解得个数得到，求出实数的取值范围.【详解】解得：或，变形为，因为，所以不等式的解集为，其中之间有1个整数解-2，要想同时满足两不等式的的整数值只有2021个，则要满足，解得：.故答案为：11．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为______．【答案】1010【分析】由为“大境集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解.【详解】联立得，即，，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得，则，所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“大境集”的个数.故答案为：101012．设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_________.【答案】【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出.【详解】若，，则，由于的图象开口向上，则不恒成立，，由可解得，而方程的两个实数根异号，必定是方程的一个正根，则，，则可解得，故实数的取值集合为.故答案为：.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断，再得出当，必定是方程的一个正根. 二、单选题13．是成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立.【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立.故选：A14．若，则下列命题正确的是A．和均不成立 B．和均不成立C．和均不成立 D．和均不成立【答案】B【分析】由不等式的性质依次检验选项即可得解.【详解】因为，所以，，所以，A不正确；因为，所以，所以，又，，所以，B正确；因为， ，，所以，所以,C不正确；因为与的大小关系不确定，故与的大小关系不确定，D不正确．综上，可知B选项正确，故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于中档题.15．在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．【详解】若方程和都没有实数根.则 ，解得：.则方程和中，已知至少有一个方程有实数根.所以或故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题．16．设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】通过解方程组的知识求得正确答案.【详解】由得，则，，所以，则，解得，所以关于的方程组有唯一解.所以①为假命题，②为真命题.故选：D 三、解答题17．已知，且，，且或(1)若，，求实数a的值.(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定；（2）利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到a的取值范围.【详解】（1）因为，，所以由数轴法可得，解得，此时，或，满足，，故.（2）因为p是q的充分条件，所以，又因为，所以结合数轴可得，或，得或，所以满足p是q的充分条件的实数的取值范围为.18．设关于的不等式的解集为M．(1)求M；(2)若且，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)a∈ 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得.（2）根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】（1）依题意，即，当时，不等式转化为，解集为空集.当时，不等式转化为，即不等式的解集为.当时，不等式转化为，即不等式的解集为.（2）由于且，所以，解得.19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？【答案】40元【分析】每件定价为元，由题意可得，整理得，求解即可.【详解】解：设每件定价为元，则提高价格后的销售量为万件，由销售的总收入不低于原收入，得，整理得，解得．故要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．20．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．【答案】证明见解析.【分析】假设与都大于或等于2，即，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．【详解】证明：假设与都大于或等于2，即，因为，，故可化为，两式相加，得，与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．【点睛】本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．21．已知集合，，，若非空，且，求的值以及相应的取值范围．【答案】，；，.【分析】化简集合A、B，由非空确定m的取值，再讨论、及求得的取值范围.【详解】或.，故或，得或.（1）当时，，，不合题意；（2）当时，i.当时，，故；ⅱ.当时，，故.综上所述，当时，；当时，.