2021-2022学年上海市上南中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市上南中学高二上学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市上南中学高二上学期期末数学试题 一、填空题1．空间两点和间的距离为__．【答案】【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】故答案为：.2．直线的倾斜角为______．【答案】【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】设直线的倾斜角为．由直线化为，故，又，故，故答案为．【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．3．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为__________．【答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知体积比为【解析】球体的表面积体积4．经过点且斜率为2的直线的一般式方程为__．【答案】【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线过点且斜率为2，所以，直线的方程为，即．故答案为：5．空间向量，若，则__．【答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得即可求得的值.【详解】若，则，则，所以．故答案为：26．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_________名学生．【答案】40【详解】试题分析：该学院的C专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C专业应抽取学生数为400×=40.【解析】本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量，则向量的夹角为_____．【答案】【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量的夹角为，向量则向量则又由，则故答案为：．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【答案】【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径故答案为：9．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________．【答案】【解析】圆锥的底面半径为1，高为，则圆的周长是2，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的母线长为，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知，解得故答案为：10．已知样本的平均数是，标准差是，则________.【答案】96【详解】，，11．已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.【答案】【分析】将直线平移交于点，并作及其外角的角平分线；根据过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，可知方向上有两条，方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线平移交于点，设平移后的直线为，过点作及其外角的角平分线，则；在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；综上所述：.故答案为：.12．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．【答案】2.【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，根据勾股定理求得PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故答案为2点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是___________.【答案】【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ， ，设，则 ， 到平面 的距离为 ，则 ,所以，所以四面体 的体积为，当 时，四面体 的体积取得最大值： ．所以答案应填： ． 【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出，则 ， 到平面 的距离为 ，表示出四面体 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值②当时，三棱锥的体积为定值③当时，有且仅有一个点P，使得④当时，有且仅有一个点P，使得平面【答案】②④【分析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.【详解】由题意得：，，，所以P为正方形内一点，①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决. 二、单选题15．下列几何体中，多面体是（  ）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（    ）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线与平面平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，前者不能推出后者，后者可以推出前者，前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取，则是必然事件；②若任取，则是不可能事件；③若任取，则是随机事件；④若任取，则是必然事件．其中正确的命题有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取，则是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C．19．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为【答案】C【详解】设侧棱长是， 底面的变长是，点到对角线的距离即为直角三角形斜边上的高，，点到平面的距离分别即为直角三角形斜边上的高，若侧棱的长小于底面的边长，即，A,B错误；若侧棱的长大于底面的边长，即，选C 20．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出，判断出在是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，则，取，得，所以，因为，所以在上单调递减，且，由复合函数单调性可知单调递增，所以在是严格减函数，所以时，取最小值，时，取最大值．所以的取值范围是．故选：C．【点睛】方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等； 三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，所以，甲、乙两人都及格的概率.（2）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，所以，两人都不及格的概率为，所以，至少有一人及格的概率；（3）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，所以，恰有一人及格的概率．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．(1)求频率分布直方图中的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．【答案】(1)(2)80(3) 【分析】（1）根据频率和为求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为，解得；所以（2）解：可估算样本平均数为；（3）解：由题知，人，，所以，评分在的职工有人，记为，评分在的职工有人，记为，所以，从中随机抽取人，所有的情况为：，，，共10种，其中，此2人评分都在的有，3种，所以，此2人评分都在的概率．23．正方体的棱长为2，分别为的中点，求：(1)异面直线与所成的角；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，所以异面直线与所成的角为；（2），设是平面的法向量，则，令，得，又，所以点到平面的距离．24．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上（点异于、两点），点在上，且，若圆柱的底面积与的面积之比等于．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，平面．因为平面，所以．因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，又，故平面．因为平面，所以．又，且，故平面．因为平面，所以．（2）因为平面平面，所以过作，由平面平面，则平面，即为与平面所成角，设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，的面积为．圆柱的底面积，因为圆柱的底面积与的面积之比等于，所以，解得，所以点为圆柱底面圆的圆心，则，即直线与平面所成角的正切值．25．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点．(1)求正四棱锥的体积；(2)若平面，求二面角的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)(2)(3)当时，平面． 【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设，通过得到的坐标，结合求出的值，求出答案.【详解】（1）连接BD与AC相交于点O，连接SO，因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，所以SO⊥平面ABCD，，即SO为正四棱锥的高，故正四棱锥的高，正方形ABCD的面积为，所以正四棱锥的体积；（2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图．由（1）知高．于是，，，故，从而，所以平面的一个法向量，平面的一个法向量．由图可知二面角为锐角，设所求二面角为，则，所求二面角的大小为；（3）在棱上存在一点使平面．由（2）得是平面的一个法向量，且，设，则，而，即当时，，而不在平面内，故平面．