2021-2022学年吉林省乾安县第七中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年吉林省乾安县第七中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】由于已知抛物线的对称性，则可设抛物线然后把代入求出即可．

【详解】解：依题意设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

所以抛物线标准方程为，

故选：A．

2．设等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．45 B．32 C．47 D．54

【答案】A

【分析】根据等差数列的前n项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可.

【详解】由题可知：成等差数列

所以，又，所以

故选：A

3．是方程表示椭圆的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，，，但当时，，方程表示圆．不充分，

方程表示椭圆时，，即且，是必要的．

应为必要不充分条件．

故选：B．

4．如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，连接OG，

则

．

故选：A．

5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据抛物线方程求出焦点，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线距离求解.

【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，

所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了抛物线，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，属于容易题.

6．已知数列满足，则数列的前10项和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】用替换已知式中的，然后两式相减求得，然后由裂项相消法求和．

【详解】因为，

所以时，，

两式相减得，，

又，满足此式，所以，

，

所以数列的前10项和为．

故选：C．

7．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，证明，把直线到直线的距离转化为点F到直线的距离求解作答.

【详解】在棱长为的正方体中，取中点G，连接，如图，

因为为的中点，则，即有四边形为平行四边形，

有，则四边形为平行四边形，有，

又为的中点，则，四边形为平行四边形，则有，

因此直线到直线的距离等于点F到直线的距离，因为，

则四边形为平行四边形，有，在中，，

边上的高，由三角形面积得：，，

所以直线到直线的距离为.

故选：D

8．在正项等比数列中，，，的前项和为，前项积为，则满足的最大正整数的值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出等比数列的公比和首项，利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出关于的不等式，求出的取值范围即可得解.

【详解】设正项等比数列的公比为，则，即，

，则，，

所以，，

，

因为，即，即，即，

解得，因为，则，

因此，满足条件的正整数的最大值为.

故选：B.

二、多选题

9．已知圆：和圆：，则（    ）

A．两圆的圆心的距离为25

B．两圆相交

C．两圆的公共弦所在直线方程为

D．两圆的公共弦长为

【答案】BD

【分析】A选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距；B选项，利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定是否相交；C选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D选项，利用C选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心到的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长.

【详解】圆：圆心，半径，圆：圆心，半径，圆心距，A错误；

因为，，，，两圆相交，B正确；

两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C错误；

圆心到的距离为，由垂径定理得：两圆的公共弦长为，D选项正确.

故选：BD

10．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（    ）

A． B．若，则

C．点A关于平面对称的点的坐标为 D．

【答案】AB

【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.

【详解】，

,，

A正确,D错误.

若，则,则,B正确，

点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，

故选：AB.

11．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（    ）

A．双曲线的方程为

B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为

C．到双曲线渐近线的距离为

D．双曲线的离心率为

【答案】ABD

【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.

【详解】因为双曲线的左焦点为，

所以，

又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，

所以的面积为，即，

又，

所以，

所以双曲线的方程为，故正确;

则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B正确;

到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔

双曲线的离心率为.故D正确;

故选：ABD

12．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（    ）

A．数列的通项公式

B．

C．数列的通项公式为

D．的取值范围是

【答案】ABD

【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.

【详解】A：由可得，所以等比数列的公比，所以.

由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；

B：，所以B正确；

C：，所以C不正确；

D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知数列前n项和为，则___________.

【答案】##

【分析】根据即可求解.

【详解】解：因为数列前n项和为，

所以，

又当时，也满足上式，

所以，

故答案为：.

14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的余弦值为___________.

【答案】##0.4

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，

则，故.

故答案为：

15．已知等差数列前n项和为，若，则_____________.

【答案】51

【分析】根据给定条件，结合等差数列通项求出，再利用等差数列性质求和作答.

【详解】设等差数列的公差为，则，

解得，所以.

故答案为：51

16．已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是______．

【答案】

【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围．

【详解】解：如图，延长交于点，连接，因为为的平分线，且，所以为的中点，为的垂直平分线，所以，在中，、分别为、的中点，所以，设点坐标为，所以，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．在下列所给的三个条件中，任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答选择多个解答，按第一个解答给分．

①与直线垂直；

②直线的一个方向向量为；

③与直线平行．

已知直线l过点，____________．

(1)求直线l的一般式方程；

(2)若直线l与圆相交于P，Q两点，求．

【答案】(1)选①：直线的方程为；

选②：直线的方程为；

选③：直线的方程为.

(2)选①②时，为4；

选③时：为．

【分析】（1）先选条件，然后根据条件求直线方程；

（2）利用直线与圆相交，建立直角三角形，即可求解．

【详解】（1）选①：

因为直线的斜率为，

因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，

依题意，直线的方程为，即；

选②：

因为直线的一个方向向量为，所以直线的向量为，

依题意，直线的方程为，即；

选③：因为的斜率为，

又因为直线与平行，所以直线的斜率为，

依题意，直线的方程为：，即；

（2）选①②时，

圆的圆心到直线的距离为，

设，的中点为，由圆的半径为可知：，

因此，即弦长为4．

选③：圆的圆心到直线的距离为，

设，的中点为，由圆的半径为可知：，

因此，即弦长为．

18．已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.

(1)求数列通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由题意知，求出变量的值，进而得到通项；（2）由题意得到，分组求和即可得到结果.

【详解】（1）解：由题意知，

解得，，或，（舍去），

所以.

（2）解：，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到：

.

19．已知抛物线与直线相交于、两点.

（1）求证：；

（2）当的面积等于时，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）设、，直线过定点，利用向量共线可得，证出即可.

（2），将直线与抛物线联立，利用韦达定理即可求解.

【详解】证明：设、；

直线过定点，，，

由、、共线，

∴，

又，∴，

∴，

∴，

解：，则，得，

则，

∴，

.

20．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求点C到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)2.

【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.

（3）利用（2）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.

【详解】（1）在正方体中，，则四边形为平行四边形，

因此，而平面，平面，

所以平面.

（2）在棱长为2的正方体中，射线两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

，棱的中点，，

设平面的法向量，则，令，得，

直线与平面所成的角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知，，

所以点C到平面的距离.

21．已知数列中，，，

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用给定的递推公式，构造等差数列即可求解作答.

（2）利用错位相减法求出作答.

【详解】（1）数列中，，，则有，

因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即，

所以数列的通项公式.

（2）由（1）知，，

则，

于是得，

两式相减得：，则，

所以数列的前n项和为.

22．已知直线与直线垂直，其纵截距为，椭圆C的两个焦点为，且与直线相切.

(1)求直线和椭圆C的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形面积的最大值与最小值.

【答案】(1)，；

(2)，.

【分析】（1）根据给定条件，求出直线的方程，设出椭圆方程，与的方程联立，消元利用判别式求解作答.

（2）直线不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立，求出四边形对角线长，借助均值不等式求解，再验证直线垂直于坐标轴时的情况作答.

【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的斜率为1，又其纵截距为，

所以直线的方程为；

设椭圆C的方程为，显然有，

由消去y并整理得：，

依题意，，整理得，因此，

所以椭圆C的方程为.

（2）直线，当与之一斜率不存在时，不妨令轴，则必与x轴重合，有，

由解得：，即有，四边形面积，

当直线与的斜率都存在且不为0时，设直线方程为：，则直线方程为：，

由消去x并整理得：，设，

则，

，同理，

因此，

当且仅当，即时取等号，而，因此，

综上得，

所以四边形面积的最大值与最小值分别为，.

【点睛】方法点睛：联立直线l与椭圆C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为：

(1)直线l与椭圆C相交；(2)直线l与椭圆C相切；(3)直线l与椭圆C相离.