2021-2022学年重庆市第七中学高二上学期期中数学试题 （解析版）

重庆市第七中学校2021-2022学年度上期

高2023级高二（上）半期  数学试题

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上）

1. 点关于坐标平面的对称点为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】关于平面对称，则坐标和坐标不变，坐标变为相反数.

【详解】关于坐标平面的对称点为.

故选：D

2. 若直线交于一点，则a的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【分析】先联立方程求出的交点，再将该点代入即可求出a的值.

【详解】由，解得，

即直线与相交于点，代入，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查直线交点坐标的求法，属于基础题.

3. 圆与圆的公共弦长等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】联立圆的方程求出公共弦的端点坐标，用两点距离公式即可求出公共弦长.

【详解】解：联立，解得或，

故公共弦长等于.

故选：D.

4. 直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【分析】将直线与椭圆联立，消去整理得，然后利用韦达定理求解.

【详解】直线与椭圆联立，得消去整理，得．

设直线与椭圆的交点，中点．

，

∴中点坐标为．

故选：C

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系属于基础题.

5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【分析】根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.

【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，

∴该渐近线的方程为，∴，

解得或（舍去），∴，

∴双曲线的离心率为．

故选：A．

6. 如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（ ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【分析】根据空间向量关系表示出，平方处理即可求得模长.

【详解】由题平行六面体中，M为AC与BD的交点，

，，，

，

所以

故选：B

7. 已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆，都在椭圆内，可得圆上的点，都在椭圆内，由此列关于，的不等式组得答案．

【详解】由圆，得，

得圆的圆心为，半径为，

由圆，得，

得圆的圆心为，半径为，

要使圆，都在椭圆内，

则，解得．

椭圆离心率的范围是．

故选：．

【点评】本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．

8. 已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（    ）

A. ； B. ； C. ； D. ；

【答案】A

【分析】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.

【详解】解：由已知可得，得，

根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，

取得最小值时，即 最小，

根据三角形的两边之差小于第三边有

当三点共线，且点P不在线段上时， ，

即

如图所示：，

当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．

当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．

∴的最大值和最小值分别为 ；.

故选：A.

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）

9. 下列说法错误是（    ）

A. 直线与直线互相垂直则

B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或

C. 过、两点的所有直线的方程为

D. 无论为何值，直线必过定点

【答案】AC

【分析】对于A：取特殊值否定结论；

对于B：分直线经过原点和不经过原点直接求直线方程；

对于C：取特殊值或否定结论；

对于D：用代入法进行验证.

【详解】对于A：当a=0时，直线与直线分别化为：y=1和x=2，互相垂直.故A错误；

对于B：当直线经过原点时，所求直线为：；

当直线不经过原点时，用截距式方程表示：，因为在轴和轴上截距都相等，所以a=b，把（1，1）代入解得：a=b=2，所以所求直线为.故B正确；

对于C：当或时，经过、两点的所有直线的方程不能表示为：.故C错误；

对于D：把代入恒成立，所以无论为何值，直线必过定点.故D正确.

故选：AC

10. （多选）已知方程表示曲线，则（    ）

A. 当时，曲线一定是椭圆

B. 当或时，曲线一定是双曲线

C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BD

【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.

【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；

对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，

当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；

对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．

故选BD．

11. 在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量 与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①， ，且，和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②的模 （表示向量 ，的夹角）在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）

A.  B.

C. 共线 D. 与正方体表面积的数值相等

【答案】ACD

【分析】在正方体中根据外积的定义逐项检验后可得正确的选项.

【详解】设正方体的棱长为，

对于A，如图，因为为等边三角形，故，

因为，而 为等边三角形，

故，故A正确.

对于B，根据定义，， ，两者不相等，故B错.

对于C，因为平面，结合外积的定义可得 与共线，

故C正确.

对于D，，故它与正方体表面积相同，

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：对于立体几何的新定义问题，一般要依据给出的定义进行验证，此题中注意外积中向量的先后次序.

12. 在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ）

A. 当时，平面

B. 当时，存在唯一点使得与直线的夹角为

C. 当时，长度的最小值为

D. 当时，与平面所成的角不可能为

【答案】ACD

【分析】对于A，可知点在线段上，易证平面平面，利用线面平行的性质可证得结论；对于B，可证得点为中点，此时可判断； 对于C，可知三点共线，线段在中，利可求得距离最小值； 对于D，设点在平面内的射影为Q在线段上，则为所求角，求，可判断结果.

【详解】对于A，当时，，即点在线段上，利用正方体的性质，易证平面平面，平面，平面，故A正确；

对于B， 当时，，设的中点为H，则，即，即点为中点，此时，故B错误；

对于C，当时，可知三点共线，线段在中，当点为中点时，最小，此时，，故长度的最小值为，故C正确；

对于D，当时，可知三点共线，点在平面内的射影为Q在线段上，则为与平面所成的角，，又，所以，而，所以与平面所成的角不可能为，故D正确；

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：

（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；

③求，利用解三角形的知识求角；

（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡相应的位置上）

13. 已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为________．

【答案】20

【分析】根据椭圆方程求得，由此求得三角形的周长.

【详解】依题意椭圆方程为，所以，

所以三角形的周长为.

故答案为：

14. 过圆x2+y2=4上一点（，1）的圆的切线方程是___________.

【答案】

【分析】求出圆心与已知点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为－1求出过此点切线方程的斜率，即可确定出切线方程．

【详解】∵过与直线斜率为，

∴过切线方程的斜率为，

则所求切线方程为，即．

故答案为：．

15. 若圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的值为___________

【答案】2或

【分析】根据圆的半径和圆心到直线的距离列方程，由此求得的值.

【详解】圆的半径为，且圆上恰有个点到直线的距离为，

所以圆心到直线的距离为，

所以或.

故答案为：2或

16. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________．

【答案】6

【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.

【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.

【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.

四、解答题（共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知直线.

（1）若平行于l的直线m经过点，求m的方程；

（2）若l与直线的交点在第二象限，求b的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据两直线平行，先设直线方程，再由直线过点，即可求出结果；

（2）联立两直线方程，求出交点坐标，根据交点位置列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为直线m平行于l，

可设直线m的方程为，

又因为直线m经过点，

所以，

解得，可知m的方程为.

（2）联立方程组，解得

因为它们的交点在第二象限，

所以，解得，

即b的取值范围为.

18. 已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．

（1）求此椭圆的方程；

（2）若点P在第二象限，，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）.

【分析】（1）由题可得，根据椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可求解；

（2）由题可得直线方程为，联立椭圆方程可得点P，利用三角形的面积公式，即求.

【小问1详解】

设椭圆的标准方程为，焦距为，

由题可得，，

所以，可得，即，

则，

所以椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

设点坐标为，，，

∵，

∴所在的直线方程为，

则解方程组，可得，

∴.

19. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，E、F分别是棱、BC的中点.

（1）求证：平面AEF；

（2）求点F到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，即得证；

（2）利用向量法求点F到平面的距离.

【小问1详解】

证明三棱柱的侧棱垂直于底面，，

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

，E、F分别是棱C、BC的中点，

0，0，1，，

1，，

，

，

，AE，平面AEF，

平面AEF.

【小问2详解】

解：0，1，，

设平面的法向量b，，

则，取，得1，，

平面的法向量1，，

点F到平面距离： .

20. 已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.

（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.

【答案】（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.

【分析】（1）根据点与两个定点，之间的距离的比为，由求解；

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知成立；当直线的斜率存在时，设的方程，然后由求解.

【详解】（1）由题意，得，即，

化简得，即.

点的轨迹的方程是，

轨迹是以为圆心，5为半径的圆.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时所截得的线段的长为，符合题意.

当直线的斜率存在时，设的方程为，

即，

圆心到直线距离，

由题意，得，解得，

直线的方程为，即.

综上，直线的方程为或.

21. 已知椭圆C：过点，为椭圆的左右顶点，且直线的斜率的乘积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)写出椭圆C的左右顶点坐标，利用给定斜率积求出，再由椭圆过的点即可计算得解；

(2)根据条件设的方程为，将与C的方程联立求出弦MN长，再求出点P的横坐标并计算PQ长，最后借助均值不等式即可得解.

【详解】(1)依题意，，则，解得，

又，于是得，

所以椭圆C的方程为；

(2)由(1)可得，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，

设点，

由消去y并整理得，

则，

于是得，

显然点P的坐标有：，，

而直线PQ方程为：y-yP=-m(x-xP)，

则，

，

当且仅当，即时取“=”，

所以的得最小值.

22. 已知正方形的边长为，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上.

（1）若为的中点，且直线与由，，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；

（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）答案见解析   

（2）答案见解析

【分析】（1）根据面面位置关系判断点的位置，再根据线线平行证明线面平行；

（2）设，利用坐标法根据线面夹角为可得的值，再；利用坐标法求二面角余弦值.

【小问1详解】

证明：因为直线平面，故点在平面内也在平面内，所以点在平面与平面的交线上(如图所示).

因为，为的中点，所以，所以，，所以点在的延长线上，且.

连接交于，因为四边形为矩形，所以是的中点.

连接，所以为的中位线，所以，

又因为平面，所以直线平面.

【小问2详解】

解：存在.由已知可得，，，所以平面，所以平面平面,

取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，

所以

设（），则，设平面的法向量，则所以，

取，则，所以.

因为与平面所成的角为，所以

所以，解得或，

所以存在点，使得直线与平面所成的角为.

设平面的法向量为，则，所以，

取，则，

所以， ，设二面角的大小为.

所以.

因为当时， ，此时平面平面，

所以当时， 为钝角，所以.

当时， 为锐角，所以