2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题
1．若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（    ）
A．10 B．－10
C． D．－
【答案】B
【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值
【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10．
故选：B
2．直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立直线和直线，求出交点，根据直线垂直求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.
【详解】联立，解得，
直线与直线垂直，则直线直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理可得.
故选：A.
3．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意点，点与点关于平面对称，则点
点与点关于轴对称，则点，

故选：
4．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体， ，点为的中点，则二面角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据法向量的求法，求得平面和平面的一个法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】设，则，
因为为的中点，所以，所以 ，
设是平面 的一个法向量，
则，即 ，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面，所以是平面 的一个法向量，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
故选：C.

【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解二面角的大小，其中解答中正确求解相应平面的法向量，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5．以下命题中，不正确的个数为（    ）
①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；
利用与任意向量共线，来判断②是否正确；
利用共面向量定理判断③是否正确；
根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；
代入向量数量积公式验证即可．
【详解】解：对①，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，①错误；
对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误；
对③，，则，，不能得到，故③错误；
对④，用反证法，若不构成空间的一个基底；
设，即，，共面，为空间的一个基底，④正确；
对⑤，，⑤错误．
故选：．
【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于中档题．
6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，，则该二面角的大小为   
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．
【详解】由条件，知．
∴
=62+42+82+2×6×8cos，
∴cos，即=120°，
所以二面角的大小为60°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7．已知定点，若直线上总存在点P，满足条件，则实数k的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，由两点间的距离公式可得x的一元二次方程，由解k的不等式即可．
【详解】点P在直线上，可设，
由，得，
由两点间的距离公式可得：
，
整理可得，
由，
解得，
故选：D．
8．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，
因为，所以，
，，
，，
所以点P到AB的距离．
故选：C.
9．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线与所成角的大小.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系.
，，，，，
，
设异面直线与所成角为，
，
，
异面直线与所成角的大小是.
故选：C.
10．已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，，直线与平面所成的角为，，以为一组基底，利用空间向量法求解.
【详解】如图所示：

设正方形的边长为2，则,,
设，，直线与平面所成的角为，，
以为一组基底，
则，
所以，
则，所以,
所以，
所以，
故选：A

二、多选题
11．如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD// BC，AD⊥AB，AE= BC=2，AB=AD=1，，则（    ）

A．BD⊥EC
B．BF//平面ADE
C．二面角E- BD-F的余弦值为
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，逐项验证，即可求解.
【详解】以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），F（1，2，），=（-1，1，0），=（1，2，-2），，则BD，EC不垂直，则A错误；
（1，0，0）是平面ADE的法向量，又= （0，2，），可得=0，又因为直线BF平面ADE，所以BF//平面ADE，则B正确；
设为平面BDF的一个法向量，则即令b=1，可得，.依题意，=（-1，1，0），=（-1，0，2），=（-1.-2.2）.设为平面BDE的法向量，则即令z=1，可得.所以，.则C正确；
，则D错误.
故选BC.

12．下列结论错误的是（    ）
A．过点，的直线的倾斜角为30°
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
【答案】ABC
【分析】运用解析几何的基础知识，分析每个选项的几何意义，逐项计算即可.
【详解】对于A，A，B两点所在直线的斜率为 ，设倾斜角为 ，
则 ， ，A错误；
对于B，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由于两直线垂直，  ，错误；
对于C，选取直线 上一点 ，则点 到直线 的距离就是两直线的距离，
，错误；
对于D，如图：

作点A关于x轴对称点  ，连接 ，与x轴的交点为P，则P就是使得 最小的点，
的最小值为 ，正确；
故选：ABC.

三、填空题
13．直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________.
【答案】
【分析】根据题意设出点，的坐标，利用中点坐标公式求出，，再写出直线的方程即可.
【详解】设点､，
由中点坐标公式得：，
解得：，，
由直线过点､，
直线的方程为：，
即.
故答案为：.
14．已知长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离为________．
【答案】
【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上任意一点到为终点的向量．
【详解】解：以为坐标原点，射线、、依次为、、轴，建立空间直角坐标系，
则点，2，，，0，，，0，，，4，，
从而，0，，，2，，，4，，
设平面的法向量为，，，由可得，
令，
所以点到平面的距离为：．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题，属于中档题．
15．有一光线从点射到直线l：3x﹣4y+4＝0以后，再反射到点B（2，15），则这条光线的反射线所在直线的方程为_____________．
【答案】
【分析】设点A关于直线的对称点为C（m，n），结合AC⊥l，AC的中点在直线l上，可列得关于m和n的方程组，求出点C的坐标后，再由点斜式写出直线BC的方程即可．
【详解】设点 关于直线l：3x﹣4y+4＝0的对称点为，
则，解得m＝3，n＝﹣3，∴，
∵，∴直线BC的方程为y+3，
即．
故答案为：．
16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于__________．
【答案】
【解析】过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，利用三棱柱和等边三角形的性质求出B1E和AB1，则可求得∠B1AE的正弦值.
【详解】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，
由△ABC为等边三角形可得DA＝，
由勾股定理得A1D＝＝,
过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E＝，
如图作A1S⊥AB交AB于S，连接A1B，AD，BD，
明显，
则，即为等边三角形，
则S为AB中点，
∴A1S＝，AB1＝,
∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE＝＝．
故答案为：.

【点睛】本题考查线面角的计算，关键是要做出线面角的平面角，考查学生的计算能力和空间想象能力，是一道中档题.

四、解答题
17．在中，已知
（1）若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线：为的平分线，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）转化条件为直线过线段的中点或，结合直线方程的知识即可得解；
（2）转化条件为点关于直线的对称点在直线上，由轴对称的性质可得，再由直线方程的知识即可得解.
【详解】（1）点到的距离相等，直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）直线为的平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，
则有，解得，即，
直线的斜率，
直线的方程为，即
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题目条件，再结合直线的位置关系、直线方程即可得解.
18．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使；
（3）若点Q在直线l上运动，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题意，求出点A关于直线l的对称点C的坐标，反射光线为直线CB，两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
（2）点是线段AB的垂直平分线与l的交点，求出线段AB的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
（3）设，整理之后为，转化为求的最小值，进而转化为AB的中点D到直线l的距离的平方求解．
【详解】（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于，
因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即M坐标为．
因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，
所以，，
所以
根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，
由直线的两点式方程得：
直线BC方程为，
即反射光线所在直线的方程为
设线段AB的垂直平分线为m，因为，
所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，
所以点P为直线l与m交点，
由，的坐标可知，
线段AB中点，直线AB斜率为，
所以其垂直平分线m斜率，
因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为
，即．
与直线l的方程联立

解方程组得P点坐标为
设点Q坐标为，令，
则

，
当且仅当最小时，u取得最小值.
即点Q到线段AB中点D距离最小，
因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，
此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得
．
所以．
19．如图，在四棱锥中，平面平面ACDE，是等边三角形，在直角梯形ACDE中，，，，，P是棱BD的中点．

（1）求证：平面BCD；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取BC的中点Q，连接PQ、AQ，由线面垂直判定定理可证面，即可得证；
（2）以Q为原点建立坐标系，利用向量法建立关系可求出.
【详解】（1）证明：如图，取BC的中点Q，连接PQ、AQ，因为是等边三角形，所以，
又平面平面ACDE，，平面平面ACDE=AC，所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以面，
因为，又P是棱BD的中点，所以，，又，，
所以，，即四边形是一个平行四边形，所以，
所以平面BCD；

（2）由（1）得平面，所以以点Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的法向量为，
由，
因为点M在线段上，设其坐标为，其中，
所以，
设平面的法向量为，
由，
由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，
则或，因为，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.
20．在正四棱柱中，，为的中点.

（1）求直线与平面所成的角；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求点B到平面的距离.
【答案】（1）30°；（2）60°；（3）.
【分析】建系设点，利用空间直角坐标，结合求空间角和距离公式求解.
（1）平面的法向量,则与平面所成的角为，由公式求得；
（2）异面直线与所成的角,利用公式求得；
（3）平面的法向量，则B到平面的距离求得.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，.
，，
设平面的法向量，
则，化为，
令，解得，.∴.
设直线与平面所成的角为θ，则
，
∴直线与与平面所成的角为30°.
（2），∴
∴异面直线与所成的角为60°.
（3）设平面的法向量，
则，∴，令，解得，.
∴.
∴点B到平面的距离.
【点睛】本题考查了利用空间向量，解决立体几何中的空间角和距离问题，建系设点，求出点的坐标，并运用夹角和距离公式求解，还考查了学生的运算能力.
21．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据三角形垂心的意义，结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为，，只须求得这两条高线的交点即可．
求出关于直线l ：的对称点为，求出BC：，根据点到线的距离公式计算即可．
【详解】设，

由题意， ，可得，故垂心 ；
由（1）知：，   由“三条高线交于一点”得：，
，又 ，可设，代入，解得： ，
，
，可得，即，
∴，整理后得： ，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为 ．
22．已知三棱柱中，，，，．

(1)求证：平面平面ABC；
(2)若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，，理由见解析.

【分析】（1）连接，由线面垂直的判定有平面，根据线面垂直的性质，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.
（2）构建空间坐标系，假设存在使题设条件成立，进而求得面、面的法向量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求，即可判断存在性.
【详解】（1）由知：四边形为菱形．
连接，则，又且，

∴平面，平面，则；
又，即，而，
∴平面，而平面ABC，
∴平面平面ABC．
（2）以C为坐标原点，射线CA、CB为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于AC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵，，，
∴，，，．
设在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的余弦值为，则，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
平面的一个法向量为．
由，解得或．
因为，则．
故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为．