2021-2022学年吉林省洮南市第一中学高二上学期第三次月考数学试题题（解析版）

2021-2022学年吉林省洮南市第一中学高二上学期第三次月考数学试题题

一、单选题

1．已知：点，，则线段的中垂线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出的中点坐标，及直线的斜率可得中垂线的斜率，然后可得中垂线方程．

【详解】由已知中点坐标为，即，，

∴　线段中垂线方程为，化简得．

故选：A．

【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件，掌握两直线垂直的条件是解题关键．

2．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加减运算，数乘运算，利用表示向量即可.

【详解】在四面体中，点在上，且，为中点

所以

即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.

3．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意结合轴与圆相切可设圆心，则圆的半径为，再由弦长即可列方程，求得n后即可得解.

【详解】因为圆的圆心在直线上，且与轴的正半轴相切，

所以可设圆心，则圆的半径为，

又圆截轴所得弦的长为，所以，

所以，所以圆的圆心，半径为，

所以圆的标准方程为.

故选：C.

【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

4．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程

【详解】设，有，

由可知，

又由椭圆的定义有，

可得，解得，

可得，

，，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

5．已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】以D为坐标原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

设平面一个法向量为 ，则由

因为 ，所以与平面所成的角的正弦值为，选A

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

6．设双曲线的方程C：(a>0，b>0)，以焦点F1F2为直径的圆与双曲线交于点P，已知∠PF1F2=2∠PF2F1，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，利用已知条件得是直角三角形，再利用∠PF1F2=2∠PF2F1，得到，最后利用双曲线的定义即可得到答案.

【详解】设，

由于点P是以焦点F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，

则是直角三角形，

则,

由∠PF1F2=2∠PF2F1，

则,

所以,

由双曲线的定义得：，

所以；

故选：B.

7．已知点在抛物线C：（）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【分析】由点在准线上可知的值，从而确定抛物线的方程，设点的坐标为，，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过、两点的坐标也可求得，于是建立关于的方程，解之可得的值，最后利用抛物线的定义即可得解.

【详解】抛物线的准线方程为，

∵点在准线上，∴即，

抛物线的方程为，即，

设点的坐标为，，

对求导可得，，∴直线AB的斜率为，

由、，可知，解之得，或（舍负），

∴点，由抛物线的定义可知，，

故选：C.

【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.

8．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点P满足，则椭圆的离心率取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的坐标运算公式，结合椭圆中的关系、椭圆离心率的公式进行求解即可.

【详解】设P点的坐标为，所以，

因此，因为，

所以，可得：，

因为，所以可化简得：

，

故选：C

二、多选题

9．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．

【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；

当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，

求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；

综上知，所求的直线方程为、，或．

故选：ABC．

【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．

10．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2+y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by＝r2，则下列结论正确的是（    ）

A．m∥l B．m⊥l C．m与圆相离 D．m与圆相交

【答案】AD

【分析】根据OP的斜率得l的斜率和方程，再根据m和l的方程可判断两直线平行；根据圆心到直线m的距离与半径可判断直线m与圆C相交.

【详解】解：直线OP的斜率为，直线l的斜率为﹣，直线l的方程为：ax+by＝a2+b2，

又P(a，b)在圆外，∴a2+b2＞r2，故m∥l，

圆心(0，0)到直线ax+by＝r2的距离d＝＜＝|r|，故m与圆相交，

故选：AD.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，判断直线与圆的位置关系的方法是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，属中档题.．

11．设抛物线的焦点为F. 点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】焦点为，准线为，由中点坐标公式可得，，由抛物线定义可列方程解得，即可依次求得、.

【详解】由题意得，焦点为，准线为，

设B的坐标为，由B为FM的中点得 ，，即

由点B到抛物线准线的距离为得，解得，

则抛物线为，，则，故，

故M的坐标为或

故选：BC

12．如图所示，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则（    ）

A．

B．与平面AEF所成角的正弦值为

C．二面角的余弦值为

D．平面AEF截正方体所得的截面周长为

【答案】BD

【分析】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系；对A，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B，由向量法求线面角；对C，由向量法求面面角；对D，分析得，则平面AEF截正方体所得的截面为四边形，即可根据几何关系求周长，

【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，E，F分别是棱BC，的中点，，

，

对A， ，，故与不垂直，A错；

对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有，

设与平面AEF所成角为，则，B对；

对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错；

对D，，平面AEF截正方体所得的截面为四边形，则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对.

故选：BD.

三、填空题

13．直线被圆截得的弦长的最小值是______．

【答案】8.

【分析】首先化简直线求出直线恒过定点，并判断点在圆内，由圆的性质知：当该直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短.用弦长公式计算弦长即可.

【详解】直线的方程可化简为：，

整理得：.

令，解得：.

所以直线恒过定点.

又因为，所以点在内.

所以当该直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短.

，故最短弦长为.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了含参直线恒过定点问题以及过圆内一点求最短弦长问题，考查了学生的图形转化计算的能力，属于中档题.

14．椭圆的左、右焦点分别为焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于      .

【答案】

【详解】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.

【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为________.

【答案】4

【分析】由双曲线定义可得，分析可得为的中位线，结合、的周长关系可得，AB为双曲线的通径即，联立上式可得，则可由均值不等式求二次商式最大值.

【详解】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.

为的中点，，则为的中位线，故，

又的周长为，则的周长为 ①，

∵ ②，

故由①②可得，即，可得.

故，当且仅当即时取等号.

故答案为：4

16．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为____

【答案】

【解析】根据题意作出示意图，取中点，作，根据条件证明即为线面角，由此求解出线面角的正弦值.

【详解】如图所示，取中点，连接，作交于点，

因为为中点，所以，

所以与平面所成角即为与平面所成角，

又因为平面，所以平面，所以，

又因为为中点，所以，同理可知，

又因为，所以，所以，且，

所以平面，所以且，

所以平面，所以与平面所成角为，

又因为，所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查利用几何方法求解线面角的正弦值，解答问题的关键在于能否准确的找到线面角，难度一般.，本题还可以利用向量方法进行求解，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解线面角的正弦值.

四、解答题

17．已知直线，圆．

（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；

（2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．

【答案】（1）证明见解析；（2），.

【解析】（1）求出直线过定点，此定点在圆内即证；

（2）定点与圆心连线与垂直时，截得的线段最短，由此可得．

【详解】（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点．

，即点在圆内，

直线与圆C恒相交于两点.

（2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直．

，直线l的斜率，则，解得．

此时，弦长.

【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．如果直线恒过圆内一点，则直线与圆一定相交，过圆内一定点的弦，当弦过圆心时弦长最长，当定点与圆心连线与弦垂直时，弦长最短．

18．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为.

（1）求双曲线C的标准方程.

（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】（1）由渐近线可设双曲线方程为，代入已知点的坐标求得，即得双曲线方程；

（2）假设在在，设弦中点是，设，代入双曲线方程相减可得直线的斜率从而得直线方程，再与双曲线方程联立方程组，检验直线怀双曲线是否相交．若不相交说明弦不存在．

【详解】（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入，可得，所以双曲线C的标准方程为.

（2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l.设是弦的中点，设，则.因为点在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即两式相减得，所以，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.

联立直线l与双曲线方程得消去y，得，显然，所以直线l与双曲线无交点，所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦.

【点睛】方法点睛：（1）已知双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线方程为，再由其他条件求得，即得双曲线方程；

（2）已知圆锥曲线弦中点问题，设弦两端点坐标为，代入曲线方程相减可得弦所在直线斜率与中点坐标的关系．这种方法称为“点差法”，这种方法在双曲线中应用时，可能求出的直线与双曲线没有公共点，需进行检验．椭圆与抛物线中只要看已知点在不在曲线内部即可得．

19．已知椭圆C： 的右焦点为，直线过点F与椭圆C交于A，B两点，为坐标原点.

(1)求椭圆C的长轴长和离心率；

(2)求的面积的最大值；

(3)若为直角三角形，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由椭圆相关定义可直接求；

（2）由题意得直线l斜率不为0，设直线l的方程为，，联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理可得，结合对勾函数单调性可讨论最大值；

（3）由向量数量积关于向量垂直的表示可得，结合（2）结论即可解的.

【详解】（1）由题意得，，∴椭圆方程为，长轴长为，离心率.

（2）由题意得直线l斜率不为0，设直线l的方程为，，

联立直线l与椭圆方程可得，则有，

∴.

设，则在上单调递增，∴当即时，取得最小值2，

∴的面积的最大值为.

（3）为直角三角形，∴，即，

由（2）可得，

∴，解得，

故直线的方程为，即.

20．在四棱锥中，为平行四边形，，三角形是边长为的正三角形，.

（1）证明：平面；

（2）若为中点，在线段上，且，求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】解：（1）因为，，所以，所以，

又因为为平行四边形，所以，，

因为，，，所以，所以，

因为，所以平面，所以，

因为，，，所以，所以，

因为，所以平面，所以，

因为，所以平面.

（2）由（1）知，，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三角形中，，则，，，，，，

所以，，，

，设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，于是取，

又由（1）知，底面为正方形，所以，

因为平面，所以，

因为，所以平面.

所以平面的一个法向量，

设二面角的大小为，

则，

所以二面角的大小为.

21．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.

（1）求抛物线的方程；

（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或

【详解】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（*）

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．

因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，

得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋8＝0．

y1＋y2＝4m，y1y2＝8． …6分

设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①

又， ②

由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，

解得m2＝3，．

所以，直线l的方程为，或． …12分

【解析】抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.

22．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）直线l：与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）首先根据题意得到，再根据椭圆经过点，即可得到答案.

（2）首先设直线l的方程为，联立，得到，根据得到所以直线恒过点，再计算面积的最大值即可.

【详解】（1）设椭圆的上下顶点为，，左焦点为，

则是正三角形，所以，

则椭圆方程为.

将代入椭圆方程，可得，

解得，，故椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线l的方程为，联立，

消去x得.

设，，

则有，，

因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，

由，，则，

将，代入上式，

并整理得，

则，

化简得，解得或，

因为直线不过点，

所以，故.所以直线恒过点.

故

，

设，

则在上单调递增，

当时，，

所以面积的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于难题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，，然后利用得到直线恒过点为解题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．