2021-2022学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期12月月考（文）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期12月月考（文）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
2．已知实数x，y满足，则z =2x -y的最小值是（ ）
A．5B．C．0D．-1
【答案】C
【分析】作出可行域，将问题转化为求y= 2x- z的截距的最大值，进而根据几何意义求解即可.
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由，得，
平移直线，由图可知当直线过点时取得最小值.
由得，
所以的最小值是.
故选：C
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.
【详解】由得：，
其焦点坐标为.
故选：A.
4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．
【解析】等差数列与等比数列的性质．
5．椭圆：的焦点为，，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题首先可根据椭圆定义得出以及，然后根据得出为直角三角形，即可求出的面积.
【详解】解：因为椭圆方程为，所以由椭圆的定义可知，，
因为，所以，因为，所以为直角三角形，
则，
故选：A.
6．若，则的最小值是．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由对数的换底公式可得,则，整理可得，再利用均值不等式求解即可.
【详解】由题,，
所以,即，
所以，
因为，，所以,，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
【点睛】本题考查利用均值定理求最值,考查对数的运算,考查运算能力.
7．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A．B．C．1D．或1
【答案】D
【分析】根据椭圆的焦点和双曲线的焦点性质进行求解即可.
【详解】因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
8．已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由分析可得出△为直角三角形，再结合条件及椭圆定义得到即得.
【详解】
不妨设M在第一象限，由，两边平方后化简得：
，所以.
在Rt△中，
∵，
∴，
由椭圆定义可知：
所以离心率.
故选：C.
9．已知是双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件列出关系式，求解，然后得到双曲线的渐近线方程．
【详解】解：由已知为双曲线的一个焦点可得，，即，
所以渐近线方程为：．
故选：．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
10．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆的离心率可得，的关系，得到椭圆方程为，设出，的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线的斜率．
【详解】解：由，得，
，则椭圆方程为，
设，，，，
则，，
把，的坐标代入椭圆方程得：，
①②得：，
．
直线的斜率为．
故选：．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．
11．已知抛物线的焦点为F，过F点倾斜角为的直线l与C交于A，B两点（A在B的右侧），则（ ）
A．9B．C．D．3
【答案】D
【解析】利用点斜式设出直线方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义，即可求得结果.
【详解】抛物线的焦点为，故直线方程为：，
设,，由题知
联立，得，解得：
利用抛物线定义知
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，标准方程及简单的几何性质，利用抛物线定义得到是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于一般题.
二、多选题
12．过双曲线的右焦点,作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分析点、点在点同侧还是两侧，结合二倍角公式即可求出离心率.
【详解】由题意可知：右焦点，则到渐近线的距离为，
①、当点、点在点同侧时，图像如下：
，，点是点、点中点，,
，，，故双曲线的离心率可能为2；
②、当点、点在点两侧时，图像如下：
，，，,
在中，，
，，，
故双曲线的离心率可能为；
综上所述：双曲线的离心率可能为或.
故选：AC
三、填空题
13．不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.
【详解】即
即即，
所以或
解得或
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．已知△中，，满足，则△的面积为___________.
【答案】
【分析】令，由余弦定理求，再根据三角形面积公式即可求△的面积.
【详解】由余弦定理知：，令，
∴，即，
∴.
故答案为：.
15．若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.
【答案】##
【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.
【详解】由题设知：，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．
【答案】7
【分析】先由双曲线渐近线求出，记双曲线的右焦点为，利用，得，再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案.
【详解】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为
比较方程，得
所以双曲线方程为，点
记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以
所以
由两点之间线段最短，得最小为
因为点在圆上运动
所以最小为点F到圆心的距离减去半径2
所以
所以的最小值为7
故答案为7.
【点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题.
四、解答题
17．已知，命题：“，”，命题：“”.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）对分离参数，求得函数在区间上的最小值，即可求得参数范围；
（2）对命题，根据一元二次方程有根求得参数的范围，结合（1）中所求，分类讨论即可.
【详解】（1）∵命题：“，”，
故，对恒成立；又在上的最小值为时的函数值,
∴实数的取值范围是；
（2）由（1）可知，当命题为真命题时，，
命题为真命题时，=4a2，解得或.
∵命题“”为真命题，命题“”为假命题，
∴命题与命题必然一真一假，
当命题为真，命题为假时，，
当命题为假，命题为真时，且，解得.
综上：实数的取值范围是：.
18．已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．
【答案】(1)an＝2n+1
(2)Tn＝
【分析】（1）根据题意得，设公差为d，代入可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案.
（2）由（1）得an＝2n+1，即可求得，进而可得，根据裂项相消求和法，计算即可得答案.
【详解】（1）由题意得：，设公差为，
所以（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝0（舍）或2，
所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）由于（1）得an＝2n+1，则＝n2+2n，
所以．
所以Tn＝
=＝．
19．在锐角中，分别为角所对的边，且．
（1）确定的大小； （2）若，且的周长为，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合正弦定理可得．结合△ABC为锐角三角形可得．
（2）由题意结合周长公式和余弦定理求得ab的值，然后求解三角形的面积即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为,所以．
所以或．
因为是锐角三角形，所以．
（2）因为,且的周长为，所以①
由余弦定理得，即②
由②变形得，所以，
由面积公式得．
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
20．设数列的前项和为，，.若数列为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若对都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知求得，，根据已知求得数列的通项公式，借助与的关系即可得出通项公式；
（2）利用裂项相消求得，进而得出，，结合题意对都有成立，即可得出结果.
【详解】解：（1）由，，
得，，，，
∵数列为等差数列，则首项为-3，公差为1，
则，
∴，
当时，，
当时，也成立，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即；
∴，，
∵，都有成立，
∴.
【点睛】本题考查根据数列中与的关系求通项公式，考查利用裂项相消法求和以及不等式在证明中的应用，考查计算能力，属于中档题.
21．已知椭圆的左､右焦点分别为F1､F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与以线段F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆相交于不同的两点A､B，若.求的值.
【答案】(1)；
(2)±.
【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，再求得，则椭圆方程得解；
（2）设出直线方程，根据直线与圆的位置关系，求得关系；再根据，结合韦达定理，即可求得直线斜率.
【详解】（1）由△PF1F2面积的最大值等于，可得=，
∵离心率为，∴，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）由直线l与圆O相切，得：=1，∴，
设，
由直线代入椭圆方程，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
因为直线与椭圆交于两点，所以，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2×+km（﹣）+m2
=，
又，
∴x1x2+y1y2===﹣，解得：k=±.
故的取值是：.
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交时直线斜率的求解；本题的关键点是，由直线与圆相切，从而找到参数的关系；同时，利用韦达定理转化向量的数量积，也是解题的另一个关键步骤，属中档题.
22．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，点在椭圆S上，过的直线l交椭圆S于A，B两点.
(1)求椭圆S标准方程；
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.
【详解】（1）解：设椭圆S的半焦距为，
由题意解得
∴椭圆S的标准方程为；
（2）解：由（1）得，
设，代入，得，
设，则，
∴，
∴，当且仅当即时，等号成立，
故的面积的最大值为.