2022-2023学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为，则（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.

【详解】直线的斜率为.

故选：A.

2．椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知，，，求出，即可求出椭圆的离心率．

【详解】因为椭圆中，，

所以，

得，

故选：B．

【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．

3．在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（    ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系即可作答.

【详解】圆：的圆心，半径，

圆：的圆心，半径，

，

显然，即圆与圆外切，

所以两圆的公切线的条数是3.

故选：B.

4．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.

【详解】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.

故选：D.

5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，即可写出圆的方程.

【详解】由圆的方程可得，圆心坐标半径为2，

由题意可得关与直线对称的圆的圆心为关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为，则，解得，

故圆的方程为

故选：D

6．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,

，

所以方程为，故选A.

【解析】椭圆方程及性质

7．直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案.

【详解】设所求点的坐标为，有，且，

两式联立解得或.

故选：C

8．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.

【详解】解：由得，

所以直线与半圆有个公共点，

作出直线与半圆的图形，如图：

当直线经过点时，，

当直线与圆相切时，，解得或（舍），

由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，

故选：B.

9．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.

【详解】由恒过，

又，即在圆C内，

要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，

由，圆的半径为5，

所以.

故选：A

10．已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（　　）

A．2 B． C． D．4

【答案】A

【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

由圆C1与圆C2相外切，得

即，

∴；

要使取得最大值，则，同号，不妨取，，

由基本不等式，得

，当且仅当时等号成立，

∴ab的最大值为2．

故选：A

11．已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：依题意可知，，即，两边除以得，解得．

【解析】1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆离心率.

12．已知、是椭圆：的焦点，P为C上一点，且，则的内切圆半径（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.

【详解】椭圆中，，，

则，、∴，，∴．

∵，，∴，

∵，

∴，

解得．

故选：C．

二、填空题

13．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】列出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围

【详解】若方程表示椭圆，则

解之得或

故答案为：

14．已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则等于________．

【答案】

【解析】由椭圆的定义有，又，再利用三角形面积公式即可得到结果.

【详解】由椭圆有，

由椭圆的定义有，又，

在中，，

得，①

又，②

设，

①化简整理得：，③

②化简整理得：，④

由③④得：

，

，

又，

故，

所以.

故答案为: .

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和焦点三角形的面积问题.属于中档题.

15．经过直线：，：的交点M，且与直线:垂直的直线方程为______.

【答案】

【分析】求出交点坐标，由两直线垂直得到斜率即可写出直线方程.

【详解】由，解得，所以M点的坐标为，设与垂直的直线的方程为，因为，所以，所以直线的方程为.

故答案为：

16．若实数x、y满足条件，则的范围是______.

【答案】

【分析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，求得斜率的取值范围即可.

【详解】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，

则AB的方程为，

，解得，

故的范围是

故答案为：.

三、解答题

17．已知圆：和：.

(1)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；

(2)求过点且与圆相切的直线方程.

【答案】(1)圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为.

(2)或

【分析】(1)将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长；

(2)当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：，

也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，

圆：可化为，

圆心坐标，半径，

由点到直线的距离公式可得：

到公共弦的距离，

由垂径定理可知：公共弦长，

（2）由（1）知：圆： ，

圆心坐标，半径，

过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；

当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，

由点到直线的距离公式可得：，

解得：，所以此时切线方程为：，

综上：过点且与圆相切的直线方程为或.

18．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为，E为BC边的中点，且AE所在的直线方程为

(1)求顶点A的坐标；

(2)求过E点且与x轴、y轴截距相等的直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由垂直关系求直线AB的方程，再联立AE所在的直线求交点坐标即可.

（2）设则，由点在相关直线上，将坐标代入直线方程求出的坐标，讨论直线l是否经过原点，求直线方程即可.

【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，即，

直线AB的方程：，化为：，

联立，解得，，

；

（2）设，则，联立，解得，，

，由直线l与x轴、y轴截距相等，

①当直线l经过原点时，设直线l为：，把E代入可得：，则，

直线l的方程为：；

②当直线l不经过原点时，设直线l为：，把E代入可得：，

直线l的方程为：

综上，所求直线l的方程为或

19．已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点和，半径为．

(1)求圆P的方程；

(2)设点Q在圆P上，试问使△的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论．

【答案】(1)；

(2)2个，证明见解析.

【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，设出圆的标准方程，结合其过点，即可求得方程；

（2）求得满足题意的点到直线的距离，结合圆上一点到定直线的距离，结合圆的对称性即可求解和证明.

【详解】（1）因为点和，故其中点坐标为，斜率为，

则线段的垂直平分线方程为：，即，

故可设圆的圆心为，则其标准方程为，

又其过点，即，解得或，

因为圆心在第二象限，故，即圆心坐标为，

故圆的标准方程为：.

（2）点Q共有2个，证明如下：

因为，又直线方程为：，

若使得△的面积为8，设点到直线的距离为，

则，解得.

因为圆心到直线的距离为，

故，，

根据圆的对称性可知，使△的面积等于8的点Q共有2个.

20．已知圆C：.

(1)当，，时，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点，求k的取范围；

(2)当圆C以坐标原点O为圆心，且与直线相切时，圆与x轴交于A，B两点，圆内的动点P使，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意得到圆的方程，直线，由圆心到直线的距离小于半径得到不等式，解得即可；

（2）由原点到直线的距离等于半径，即可求出圆的方程，从而求出、两点的坐标，设点，由距离公式求出的轨迹，再由点在圆内求出的取值范围，最后由数量积的坐标表示计算可得.

【详解】（1）解：当，，时圆，圆心为，半径，

依题意可得直线，即，

因为直线与圆有两个交点，则圆心到直线的距离，

即，解得；

（2）解：由题意圆的半径等于原点到直线的距离，

即，

圆的方程为．

令，则，解得或，不妨令、，

设点，因为，

所以，整理得，

又由点在圆内可得，故有，

又，，

，

的取值范围是．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点分别为，，，圆为的外接圆.

(1)设直线l：与圆交于M，N两点，若，求直线l的方程；

(2)设圆：上存在点P，满足过点P向圆作两条切线PA，PB，切点为A，B四边形的面积为10，求实数m的取值范围.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】(1)设出圆的一般方程，利用圆上A，B，C三点坐标待定系数法求圆的方程，则圆心，利用到直线l的距离建立等式求解即可．

(2)由四边形的面积为10，求得，进而可得点P的轨迹方程根据点P在圆上可得圆E与圆有公共点，利用圆心距建立不等式即可求实数m的取值范围．

【详解】（1）设圆的方程为：，

则，解得

圆的方程为，即，

设圆心到直线l的距离为d，则，

又，，解得．

直线l的方程为或

（2）四边形的面积为10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成，

的面积为5，即，

又，，，

动点P的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，

即点P在圆上，

又点P在圆上，

圆E与圆有公共点．

，即，

解得．

实数m的取值范围为

22．已知圆与圆内切.

（1）求圆O的方程；

（2）过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦记为和，若，求实数的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由两圆的位置关系即求；

（2）由题可设，则，结合条件及弦长公式可得，再利用基本不等式即得.

【详解】（1）圆，所以，，

因为圆O与圆E内切，所以，即，

解得：或0，因为，所以，

故圆.

（2）由题，直线和的斜率存在且不为0，

设，即，则，

O到的距离为：，

所以，

同理，，

则，

当时，（当且仅当时等号成立），，

当时，（当且仅当时等号成立），，

所以实数的最大值为.