2021-2022学年广西钦州市第四中学高二下学期2月月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年广西钦州市第四中学高二下学期2月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，根据的单调性和零点的存在定理得到的实根，构造新函数，得到在上为单调递增函数，结合，可判定A正确，B不正确；再令，结合零点的存在定理，得到C、D不正确.

【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数，

且当时，函数，且，

可得方程的实根，则，

又由，可得，即，

构造新函数，可得，

所以在上为单调递增函数，

可得，

因为实数是方程的实根，则，即，

所以，即，所以A正确，B不正确.

令，可得，为单调递增函数，

由，即，

所以，又由，且，所以，所以C、D不正确.

故选：A.

2．设函数可导，则等于（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】A

【分析】根据导数的定义，即可求出结果.

【详解】．

故选：A.

3．已知函数，，若方程有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由方程有两个不相等的正实根，转化为方程有两个不相等的正实根，进而得到函数的图象与直线在上有两个不同的交点，根据当时，若直线与的图象相切，得到切点坐标为和切线方程，结合图象，即可求解.

【详解】因为函数，，且方程有两个不相等的正实根，

所以方程有两个不相等的正实根，

即方程有两个不相等的正实根，

即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，

因为当时，，所以在上单调递增，

作出在上的大致图象，如图所示，

当时，若直线与的图象相切，

设切点坐标为，则切线方程为，

可得切线过点，所以，解得或(舍去)，

所以该切线的斜率为，

因为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，

所以数形结合可得.

故选：D.

【点睛】方法点拨：把方程有两个不相等的正实根，转化为方程有两个不相等的正实根，进而转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键.

4．函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由导函数与原函数的单调性的关系求解．

【详解】由图象知在和上单调递减，所以不等式的解集为．

故选：A．

5．已知直线与曲线有3个不同交点，，，且，则（    ）

A．6 B．8 C．9 D．12

【答案】C

【分析】根据题意，求得，，令，得到曲线的对称中心为，

由，得出点一定是对称中心，且，两点关于对称，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，，

令，即，解得，

所以曲线的对称中心为，

因为直线与曲线的交点，，，满足，

故点一定是对称中心，即点坐标是，

且，两点关于对称，可得，，

所以.

故答案为：.

6．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得函数，把在上有两个极值点转化为方程在区间上由两个不等式的实数根，令，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数在区间上有两个极值点，

等价于关于的方程在区间上由两个不等式的实数根，

令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

当时，，当时，，当时，，

要使得函数在区间上有两个极值点，

则满足，即a的取值范围是.

故选：D.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

7．已知函数，若，使成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】当时，求得函数的值域为，当时，求得，当时，利用导数求得函数的单调性，可得，根据题意，转化为值域包含的值域，得出不等式，求得；②当时，求得的值域为，满足题意，进而求得实数的取值范围.

【详解】当时，函数，所以函数的值域为，

当时，函数，可得，

①当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

因为对，使成立，转化为值域包含的值域，

所以，即，解得，所以；

②当时，令，解得，

当时，，单调递增，此时值域为，

满足对，使成立，

综上所述，实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

8．若存在实数x，y满足，则（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】C

【分析】令，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令，结合基本不等式，求得，进而得到，求得的值，即可求解.

【详解】令函数，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当，可得，

令函数，则，当且仅当时取等号，

又由，所以，

所以，所以．

故选：C.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

9．已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.

【详解】设切点为，则，切线斜率为

所以切线方程为，因为过点 则

解得或，所以切线方程为或

故选：C

10．已知函数，若在R上为增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由函数是递增函数可得在R上恒成立，再分离参数，由取值范围即得结果.

【详解】在R上为增函数，故在R上恒成立，即恒成立，

而，故.

故选：D.

11．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案.

【详解】，

，切线的斜率为，

因为切线与直线垂直，所以，

解得.

故选：D.

12．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（    ）

A．当时，有极小值 B．当时，有极大值

C．当时，有极小值 D．当时，有极大值

【答案】B

【解析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.

【详解】小盒子的容积为，

所以，令得，或舍去，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以当时有极大值为144.

故选：B.

二、填空题

13．试写出一个实数a的值，使得关于x的不等式恒成立：___________.

【答案】答案不唯一，可填区间[0，1]内任意实数.

【分析】令，求得，分，和三种讨论，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】令，可得，

①当时，，单调递增，

当时，，所以不能恒成立，

即关于x的不等式不能恒成立，舍去；

②当时，恒成立，即关于x的不等式不能恒成立；

③当时，令，即，解得，

令，即，解得，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

要使得恒成立，则满足，即，解得，

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：答案不唯一，可填区间[0，1]内任意实数.

14．是定义在R上的函数，设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】根据条件的结构特征构造函数，利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成形式，结合已知可解.

【详解】记，则

因为，所以，所以在R上单调递增.

由知，，所以原不等式，

又因为，所以，所以原不等式，

即，解得.

故答案为：

15．已知函数，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据题意，把问题转化为，结合导数分别求得函数的单调性与最值，得出关于的不等式，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，解得；令，解得或，

所以在递减，在递增，在递减，

而，所以，

若对任意的，都有成立，

则只需即可，

由函数，可得，

（1）当时，，在递增，，

故，解得（舍去）；

（2）当时，令，解得；令，解得，

所以在递减，在单调递增，

所以，所以，即，

解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：

16．已知不等式的解集为，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】在同一坐标系中，作出函数和的图象，分、和三种情况讨论，结合导数的几何意义求得切线的斜率，即可求解.

【详解】在同一坐标系中，作出函数和的图象，

如图所示，

当时，函数和的图象必有交点，此时不等式在不能恒成立；

当时，由，显然不等式在恒成立；

当时，由函数，可得，可得，

即函数在处的切线的斜率为，

要使得不等式恒成立，可得，

综上可得，实数的取值范围是

三、解答题

17．已知函数．

(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．

(2)若，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）令换元得函数，然后通过导数求极值，根据与函数图象有三个交点可得；

（2）构造函数，通过导数研究在区间上的单调性，然后由单调性结合已知可证.

【详解】（1）令，则，记

令，得

当时，，时，，时，

所以当时，取得极大值，时，取得极大值，

因为函数有三个零点与有三个交点，

所以，即 a的取值范围为.

（2）记

记

则

记

则

易知在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增

因为，记

所以

由（1）可知，

所以，即

又，所以

因为，所以

由（1）知在区间上单调递增，所以，即

所以

【点睛】本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成或，本题由于采取了换元法转化问题，因此构造函数为.

18．已知函数，（其中a为非零实数）

(1)讨论的单调性：

(2)若函数（e为自然对数的底数）有两个零点，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，分类讨论可得；

(2)将变形成，然后取对数、换元转化为，再利用相应方程进行整体代换，最后换元将双变量问题转化为单变量问题可解.

【详解】（1）的定义域为

，

若，则时，，单调递增；

当时，，单调递减.

若，则当时，，单调递减；

当时，单调递增.

（2）由已知得有两个不等的正实根，

所以方程，即，即有两个不等正实根.

要证，只需证，即证.

令，所以只需证.

由得，

所以，

消去得，只需证

设，令，则，所以只需证.

令，则，

所以，即当时，成立.

所以，即，即.

【点睛】该题破题的关键在于：1、利用两根满足的方程进行整体代换进行化简；2、巧妙变形，通过换元将双变量化为单变量.

19．已知.证明：

(1)若函数有极大值，则；

(2)若函数没有极值点，则对任意的，都有；

(3)若，则在区间内有且仅有一个实数，使得.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求得，结合单调性和题意得到，结合，得到，令，利用导数求得函数的单调性和，即可求解.

（2）令，得到，根据没有极值点，得到，令，求得，得到，再令，利用导数求得单调性和最值，即可求解；

（3）令，根据，转化为证明，，即证和，构造新函数，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】（1）解：因为函数，可得，

由，解得，

设，其中，

又因为，所以，

记，可得，

故当时，，故在上为减函数，

所以即.

（2）解：由

因为，令，

可得，

又因为函数没有极值点，可得，

所以，

令，则，

所以，

令，其中，且，

可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，即.

（3）解：，，

令，其中.

又，所以只需证明，，

欲证，

即证，

又，

令，，

所以，得证，

同理可证：，

综上，当时，在区间内有且仅有一个实数，使得.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

20．已知函数．

（1）求函数的极值点；

（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．

【答案】（1）极小值点是，无极大值点；（2）．

【分析】（1）对函数进行求导，列表，根据函数极值的定义进行求解即可；

（2）对函数进行求导，根据函数的单调性，结合导数的性质，利用常变量分离法进行求解即可.

【详解】解析：（1）定义域，

令，得，

列表如下：

所以，的极小值点是，无极大值点；

（2），

在上单调递减

在上恒成立

在恒成立

，

令，

在上恒成立

在上单调递减

实数的取值范围是．

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解是解题的关键.