2021-2022学年北京师范大学附属实验中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年北京师范大学附属实验中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的加减运算即可求解.

【详解】，

故选：.

2．如果空间向量不共面，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量不共面性质求出即可的答案.

【详解】因为，

所以，

由空间向量不共面，

所以，

所以，

故选：D.

3．已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别在和中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案.

【详解】因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点，

所以在中，，

同理，在中，，

所以.

故选：.

4．在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（    ）

①点关于轴的对称点是

②点关于平面的对称点是

③点关于轴的对称点是

④点关于原点的对称点是

A．①② B．①③ C．②④ D．②③

【答案】C

【分析】根据空间坐标的对称性进行判断即可．

【详解】点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误；

点关于平面的对称点的坐标是，，，则②正确；

点关于轴的对称点的坐标是，，，则③错误；

点关于原点的对称点的坐标是，，，故④正确，

故正确的命题的序号是②④，

故选：C.

5．已知直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B． C． D．7

【答案】A

【分析】根据两直线平行的系数对应关系即可求解

【详解】因为直线与直线平行，所以，解得.

故选：A

6．的展开式中常数项为（    ）．

A． B． C．15 D．20

【答案】B

【分析】写出展开式的通项公式，再令得，再代入通项公式即可得答案.

【详解】根据题意，的展开式的通项公式，

令，解得，

所以常数项为.

故选：B

7．已知直三棱柱中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的加减法则逆运算得，结合夹角与模长计算即可.

【详解】在直三棱柱中，侧棱与底面垂直，则

，

故选：A.

8．已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.

【详解】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则，

由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，

，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则，

故直线的斜率为.

故选：C.

9．如图所示，已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别以直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，可求出一些点的坐标，设平面的法向量为，根据，即可求出法向量，设直线和平面所成角为，则根据即可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】解：以边，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则：

，，，，，；

，，，

设平面的法向量为，则；

，取，则，则；

设和平面所成角为，

则：；

故选：C.

10．马路上有依次编号为的9盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法的种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间7盏中的4盏，4盏灯有5个空，利用插空法即可求解.

【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间7盏中的4盏，

4盏灯有5个空格，从5个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有种，

故选：.

二、填空题

11．已知向量，则______.

【答案】0

【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案.

【详解】由，则，

由，则.

故答案为：.

12．设，则______

【答案】63

【分析】利用赋值法分别令和即可求解.

【详解】由，

令，则，即，

令，则，即，

所以.

故答案为：63.

13．用排成无重复数字的三位偶数的个数为______

【答案】

【分析】可以看作是3个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从3个偶数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上排列即可.

【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有3种，其它位数的排列数为，即这样的数有个，

故答案为: .

14．已知点，则原点到平面的距离为______.

【答案】

【分析】由等体积法求点面距离.

【详解】分别为x、y、z轴上的点，则，.

设原点到平面的距离为h，由得.

解得.

故答案为：.

15．点关于直线的对称点的坐标为______ .

【答案】

【分析】设点，根据线段的中点在直线上以及斜率得出方程组，解方程组即可得出点的坐标.

【详解】设点是点关于直线的对称点.

由已知直线的斜率为1，所以，

解得，所以点.

故答案为：.

16．如图，在长方体中，，点在棱上，当取得最小值时，，则线段的长为______

【答案】

【分析】把长方形展开到长方形所在的平面，利用三点共线时取最小值，可得等量关系，再利用勾股定理列方程，求出即可.

【详解】把长方体展开到长方形所在的平面，易知，

当在同一直线上时，取得最小值，

此时，设，，

原图形中,则有，

，

，

因为，所以，

即，解得：．

故答案为：.

三、解答题

17．已知点.

(1)求过点且与直线平行的直线的方程；

(2)求点到直线的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先求出，再用点斜式求方程即可；

(2)先求出直线的方程，再求点到直线的距离.

【详解】（1），

过点且与直线平行的直线的方程为：，

即；

（2）又(1)知，则直线的方程为，

即，则点到直线的距离为.

18．在棱长为4的正方体中，解答下列问题：

(1)点分别是线段和的四等分点，分别满足，求和所成角的余弦值；

(2)点是线段的四等分点，满足，求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据空间向量的坐标运算求异面直线的夹角；

(2)根据空间向量的坐标运算求出直线的方向向量和平面的法向量，从而计算线面夹角的正弦值.

【详解】（1）在正方体中，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则,

所以，

所以，

所以和所成角的余弦值为.

（2）由（1）可知，，

设平面的法向量为，与平面所成角为，

则，令则，所以，

所以.

19．分别求满足下列条件的各圆的方程.

(1)过点且圆心在直线上；

(2)与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求得弦的中垂线方程，联立求得圆心，计算半径，可得答案；

（2）设出圆心与半径，利用弦长公式，可得答案.

【详解】（1）由，则其中点坐标为，直线的斜率，即线段的中垂线方程为，

联立两直线方程，可得，解得，则圆心为，

半径，故圆的方程为.

（2）设圆心为，则半径，，即，

圆心到直线的距离，

由直线截得的弦长为，则，解得，

当时，，半径，此时圆的方程为；

当时，，半径，此时圆的方程为.

20．如图，已知四棱锥中，是直角梯形，，平面，.

(1)求点到平面的距离；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；

（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.

【详解】（1）∵平面平面

 ∴，

又  两两互相垂直，

则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，

设平面的一个法向量

即

令，可得 ，

，

 记点到平面的距离为，

则，

所以点到平面的距离为4.

（2）由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

由图可知 ，

，

所以二面角的余弦值为.

21．如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线.

(1)求证：直线平面；

(2)求证：直线直线；

(3)直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)当时，直线分别与平面、直线所成的两角互余，理由见解析.

【分析】（1）先证明，由条件根据面面垂直性质定理证明直线平面；

(2)根据线面平行判定定理证明平面，再由线面平行性质定理证明直线直线；

（3）建立直角坐标系，求出面的法向量，继而求出，利用

，求出点的坐标即可.

【详解】（1）因为点是以为直径的圆上异于的点，所以

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面；

（2），分别是，的中点，

所以，又平面，不包含于面，

所以平面，又面，平面平面，

所以，

（3）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，

∴，，

设,,，平面的法向量为，则，

取，则，

所以为平面的一个法向量，

且，

，，

设直线与平面所成的角为、直线与直线所成的角为，

则，，

因为直线分别与平面、直线所成的两角互余，所以，

所以，

所以，所以．

所以当时，直线分别与平面、直线所成的角互余．

22．记集合，对于定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度，

(1)已知，计算；

(2)设，证明：；

(3)对于给定，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知，

①中关于的绝对共线整点的个数为______；

②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，则的最小值为______

【答案】(1)

(2)证明见解析；

(3)①108；②73

【分析】(1)由广义向量的绝对长度的定义计算即可；

(2)根据广义向量的绝对长度的定义结合绝对值三角不等式证明；

(3)①根据绝对共线整点的定义由(2)结合条件列关系式，确定的绝对共线整点的个数；

②先考虑坐标都为3的点中至少取多少个元素满足要求，由此确定的最小值.

【详解】（1）因为，

所以，

所以；

（2）由已知设，则

，，

，

由绝对值三角不等式可得

当且仅当时等号成立，

所以

，

当且仅当，都成立时等号成立；

所以；

（3）①设，为中关于的绝对共线整点，则；

因为，所以，，，所以，，，

所以中关于的绝对共线整点的个数为，

②先考虑的绝对共线整点中坐标都为3的点，

考虑取出坐标分别为1,2,3,5，坐标为3的点的所有点共24个，因为1,2,3,5中任意两个数的和都不等于另两个数的和，故不存在满足要求的四个点，

若取出坐标分别为1,2,3,5，坐标为3的点的所有点共24个，加入坐标为4，坐标为3的任意点，则存在，则存在，，满足要求；同理加入坐标为6，坐标为3的任意点都存在满足要求的四个点，

由此可证在坐标都为3的点中取24个点不一定存在满足要求的4个点，但取25个点则一点存在满足要求的4个点，

故要满足给定要求，得最小值为73.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.