2022届北京师范大学附属实验中学高三下学期摸底考试数学试题含解析

这是一份2022届北京师范大学附属实验中学高三下学期摸底考试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届北京师范大学附属实验中学高三下学期摸底考试数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，，所以，故选A．【解析】集合的运算．2．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答.【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A不是；对于B，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B是；对于C，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，C不是；对于D，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D不是.故选：B3．设p：，q：，则p是q成立的（       ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：，即，显然，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：C4．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．5．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（       ）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.6．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7【答案】B【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝3．故选B．【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【详解】如图所示：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.8．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．【解析】双曲线的标准方程和简单几何性质．9．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．10．设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是A． B．C． D．【答案】B【解析】根据所给定义，结合图形，分别计算出的值即可.【详解】对于正四面体，其离散曲率对于正八面体，其离散曲率对于正十二面体，其离散曲率对于正二十面体，其离散曲率因为所以，故选：B【点睛】本题考查学生阅读理解能力，合情推理能力，涉及正多面体相关知识，数形结合思想，属于中档题.二、填空题11．设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.【答案】【分析】利用复数的运算法则及其模的定义即可求解.【详解】由已知条件得，则.故答案为：.12．在中，，，，则_______；_________.【答案】2,【详解】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【解析】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.13．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．【答案】【详解】①男女，种；②男女，种；③男女，种；∴一共有种．故答案为120.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．14．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是________．【答案】【解析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】由题意得：，       由圆知：圆心，半径圆心到直线距离到直线距离，即故答案为：【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的范围的应用，关键是明确圆上的点到直线的距离的取值范围为，其中为圆心到直线距离，为圆的半径.三、双空题15．定义为正整数的各位数字中不同数字的个数，例如.在等差数列中，，则___________，数列的前100项和为__________.【答案】          227【分析】用求公差，得到通项公式；利用为奇数，分类求出，，的个数，在相加可得.【详解】因为，所以公差，所以.因为，且为奇数，所以当时，；当时，.在中，小于100的项共有47项，这47项中满足的共有项，故的前100项和为.故答案为： ；227．【点睛】本题考查解决等差数列基本量求通项公式.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．四、解答题16．已知函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)最小正周期为，增区间为；(2)最大值为，最小值为1.【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦型函数的性质计算作答.(2)由(1)及已知求出函数的相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.(1)依题意，，则有的最小正周期为，由得，，，所以的最小正周期为，单调增区间为.(2)由(1)知，当时，，因正弦函数在上递增，在上递减，因此，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值1，所以在区间上的最大值为，最小值为1.17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得为平面的法向量，可求得即可证明；（2）求出平面和平面的法向量，即可由向量关系求出；（3）设，可得，结合为平面的法向量，再由即可求出.【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，，又因为，分别为和的中点，得，．可得为平面的法向量，，由此可得，又因为直线平面，所以平面．（2）解：，，设为平面的法向量，则，即不妨设，可得．设为平面的法向量，则，又，得，不妨设，可得．因此有，所以，平面与平面的夹角的余弦值为．（3）解：依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的法向量，由已知，得，整理得，又因为，解得，所以，线段的长为．【点睛】利用空间向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望是；(3)升级方案合理.【分析】(1)根据给定条件求出抽一件是一级品的概率，再利用对立事件、独立事件的概率公式计算作答.(2)求出10件产品中二级品的数目，再求出的可能值及各个取值的概率，列出分布列，计算期望.(3)由给定数据求出今年的利润，明年预计的利润，再比较大小作答.(1)抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，所以至少有一件产品是一级品的概率是.(2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，，，，所以的分布列为：012 .(3)今年利润为：(万元)，明年预计利润为：(万元)，显然有，所以该次升级方案合理.19．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，定点【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；（2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标，假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得.(1)由椭圆的定义可知△，的周长为，即，∵，∴，又∵，∴，故椭圆C的方程为：，(2)将联立，消元可得，∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，∴，∴，此时，，∴由得，假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，设，则，，，整理得，对任意实数m，k恒成立，则，故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.20．设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；(2)求的单调区间；(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)答案见解析(3)最大值为2【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）利用分离参数可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可求解.(1)由已知条件得，在点处的切线斜率为，即，(2)的定义域为, ，若，则，则在上单调递增；若，由得，由得，则单调递增区间为，单调递减区间为；(3)由得，整理得，当时，，即令，则.令，由（2）知，函数在上单调递增，其中，，∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，∴在上，在上，∴在上，在上，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，又∵，∴，即，∴，且为整数，∴的最大值.21．将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.(1)若，求；(2)如果，计算的特征值，并求相应的；(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件.【答案】(1)(2)答案见解析(3)，，验证答案见解析【分析】（1）由新定义可得，利用，可得，从而得出结论；（2）由特征值的定义可得，由此可知的特征值，以及相应的；（3）解方程组，可得，从而可得、、、应满足的条件，当时，有唯一的特征值，且，再进行证明即可.(1)由于此时，又因为是在的条件下，有（时取最大值），所以此时有.(2)由，可得：，即两式相比可得：，从而，当时，解方程,此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且，当时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中且.(3)解方程组，即，从而向量与平行，则有，，，应满足：，当时，有唯一的特征值，且.具体证明为：由的定义可知：对任意的有：，所以为特征值.此时，，，，满足：，所以有唯一的特征值.在的条件下，从而有.