2022-2023学年北京市北京师范大学附属实验中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年北京市北京师范大学附属实验中学高一上学期期中考试数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题,双空题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市北京师范大学附属实验中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1.若集合,,则A. B. C. D.【答案】C【详解】试题分析:由,解得或,即,又,故选C.【解析】1.解二次不等式;2.集合的运算.2.命题“,”的否定为( )A., B.,C., D.,【答案】C【分析】对题干命题改量词,否结论,即可求得结果.【详解】根据题意,命题“,”的否定为:“,”.故选:.3.下列命题为真命题的是( )A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则【答案】D【分析】举反例说明ABC不正确,依据不等式的性质可知D正确,从而得出选项.【详解】对于A,当c=0时,ac2=bc2,所以A不是真命题;对于B,当a=0,b=-2时,a>b,但a2<b2,所以B不是真命题;对于C,当a=-4,b=-1时,a<b<0,a2>ab>b2,所以C不是真命题;对于D,若a<b<0,则,所以D是真命题.故选:D.4.设,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式求出不等式的解集,根据为的真子集,得到答案.【详解】,等价于,解得:,,解得:,,因为为的真子集,所以,但,故“”是“”的必要不充分条件.故选:B5.已知函数的图像是连续不断的,有如下的对应值表:123456123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88 则函数在区间上的零点至少有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【分析】由零点存在性定理得到函数零点至少有3个.【详解】因为函数的图像是连续不断的,且,由零点存在性定理得:内存在至少1个零点,因为,故由零点存在性定理得:内存在至少1个零点,因为,故由零点存在性定理得:内存在至少1个零点,综上:函数在区间上的零点至少有3个.故选:B6.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为( )A.y=x+1 B.y=-x2 C.y=x3 D.【答案】C【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.【详解】y=x+1是非奇非偶函数,y=-x2是偶函数,y=x3由幂函数的性质,是定义在R上的奇函数,且为单调递增,在在定义域为,不是定义域上的单调增函数,故选:C【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断,要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握,是简单题目.7.函数,若,则实数a的值为( )A.±1 B.-2或±1 C.-1 D.-2或-1【答案】C【分析】根据分段函数解析式,分段求解,即可得答案.【详解】当时,令 ,与矛盾,不合题意;当时,令 ,取 ,符合题意,故选:C8.已知函数.关于的性质,有以下四个推断:①的定义域是;②是奇函数;③在区间上单调递增;④的值域是.其中推断正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】对于①因为,所以函数的定义域为,即①正确;根据函数奇偶性定义得到函数为奇函数,故②正确;根据函数单调性的证明方法得到函数为增函数,所以③正确;当时,,再由函数为奇函数得到函数的整体值域为,,故④正确.【详解】①因为,所以函数的定义域为,即①正确;②,所以是奇函数,即②正确;③任取,,且,则,因为,,且,所以,,所以,即在区间上单调递增,所以③正确;④当时,,由②知,函数为奇函数,所以当时,,而当时,,所以的值域是,,即④正确.故选:D. 二、填空题9.函数的定义域为__________.【答案】【分析】根据题意列出简单不等式,求解即可.【详解】要使得函数有意义,则,且,解得:且,即的定义域为:.故答案为:.10.已知函数为R上的奇函数,且当时,,则____.【答案】【分析】利用奇函数的定义即可求解.【详解】当时,,故.∵为奇函数,∴.故答案为: .11.欲用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长米,则这个菜园的最大面积为_______平方米.【答案】【分析】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长为米,则另外一边的长为米,求出的取值范围,利用二次函数的基本性质可求得矩形菜园面积的最大值.【详解】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长为米,则矩形菜园另外一边的长为米,则,矩形菜园的面积为,当且仅当时,等号成立,故矩形菜园面积的最大值为平方米.故答案为:.12.已知关于的方程有一个正根和一个负根,则实数的取值范围为_______.【答案】【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.【详解】设方程关于的方程的两根分别为、,则,解得.故答案为:.13.函数的定义域为,其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数,满足,且当时,.给出下列三个结论:①;②不等式的解集为R;③函数的单调递增区间为,.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③【解析】由可知是周期为2的周期函数,又当时,,由此作出函数图像,利用数形结合思想依次判断;【详解】满足,可知函数是周期为2的周期函数,又函数是R上的偶函数,且当时,,作出图像如图所示,由图可知,故①正确;不等式的解集为,故②错误;函数的单调递增区间为,,故③正确;故答案为:①③【点睛】关键点点睛:本题考查抽象函数的周期性,奇偶性,抽象函数在高考中常考到,在做题时,利用函数的性质作出函数的图像是解题的关键,考查学生的逻辑推理与数形结合思想,属于一般题.14.函数的值域为,且在定义域内单调递减,则符合要求的函数可以为_____.(写出符合条件的一个函数即可)【答案】【解析】由函数的值域为,且在定义域内单调递减,即是符合要求的一个函数.【详解】解:∵函数的值域为,且在定义域内单调递减,∴函数即是符合要求的一个函数,故答案为:【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题.15.已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,正实数的取值范围是________.【答案】【分析】令,分、两种情况讨论,利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组,综合可解得实数的取值范围.【详解】令,其中.因为,二次函数图象的对称轴为直线,且,①当时,即当时,因为,因为,则,解得或,此时;②当时,即当时,函数在上单调递减,所以,,解得,此时.综上所述,实数的取值范围是.故答案为:. 三、解答题16.设集合,.(1)求和;(2)若,满足,求实数的取值范围.【答案】(1),;(2). 【分析】(1)解不等式求出,,进而求出和;(2)根据得到,求出,从而比较端点值,列出不等式,求出实数的取值范围.【详解】(1)解得:,∴∵,解得:,∴,则,;(2)由,可知∵,则,所以,故的取值范围为.17.设函数(1)求函数的图像与直线交点的坐标:(2)当时,求函数的最小值(3)用单调性定义证明:函数在上单调递增.【答案】(1) 或 (2) 7 (3)证明见解析.【解析】(1)由解出方程可得答案.(2)利用均值不等式可得答案.(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.【详解】(1)由,即,解得或所以函数的图像与直线交点的坐标为或(2)当时,当且仅当,即时,取得等号.所以当时,函数的最小值为7.(3) 任取,且则 由,且,则,所以,则所以,即所以函数在上单调递增【点睛】思路点睛:本题考查利用函数的奇偶性求参数,证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为:(1)在给定的区间内任取变量,且设.(2)作差变形,注意变形要彻底,变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号,得出的大小.(4)得出结论.18.已知二次函数满足.(1)求b,c的值;(2)若函数是奇函数,当时,,(ⅰ)直接写出的单调递减区间为 ;(ⅱ)若,求a的取值范围.【答案】(1);;(2)或【详解】试题分析:(1)代值计算即可,(2)先根据函数的奇偶性求出的解析式,(i)根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间,(ii)根据函数单调性性质可得 或解得即可.试题解析:二次函数满足,解得:;. (2)(ⅰ).(ⅱ)由(1)知,则当时,;当时,,则因为是奇函数,所以. 若,则或 解得或. 综上,a的取值范围为或.19.若是偶函数,且在单调递减,比较,,的大小关系.(用“>”或“<”连接)【答案】【分析】根据函数奇偶性得到,由函数单调性求出,从而得到.【详解】因为是偶函数,所以,因为在单调递减,所以,故.20.已知,且.(1)求的最小值;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据条件“,且”,直接应用基本不等式得到,从而求得结果;(2)将恒成立问题转化为最值处理,利用基本不等式求得,从而得到不等式,求解得答案.【详解】(1),且,,当且仅当时,取等号,故的最小值为.(2),且,,当且仅当,且,即,时,取等号,即的最小值为,,即,解得,即实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有利用基本不等式求和的最小值,将恒成立问题向最值转化,一元二次不等式的解法,属于简单题目.21.设函数.(1)求函数在区间上的最大值和最小值;(2)设函数在区间上的最大值为,试求的表达式.【答案】(1)最大值为,最小值为(2) 【分析】(1)利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值;(2)对实数的取值进行分类讨论,分析函数的单调性,可求得的表达式.【详解】(1)解:当时,,所以,函数在上单调递增,在上单调递减,所以,,又因为,,则,因此,函数在区间上的最大值为,最小值为.(2)解:当时,,且函数在上连续.①当时,即当时,在上单调递增,在上单调递减,所以,;②当时,即当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,因为,,且,此时,;③当时,即当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因为,,此时,.综上所述,.【点睛】方法点睛:本题考查二次函数“动轴定区间”型最值的方法,解法如下:(1)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;(2)根据二次函数的单调性,分别讨论参数在不同取值下的最值,必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析;(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.22.已知集合.对于,定义:与的差为;与之间的距离为.(1)当时,设,求;(2)若对于任意的,有,求的值并证明:.【答案】(1);;(2);证明见解析.【解析】(1)直接代入计算和;(2)根据,都有或,可计算得;然后表示出,分别讨论与两种情况.【详解】(1);;(2)证明:因为,,所以对于任意的,即对,都有或,所以得.设则,当时,;当时,.所以【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出,然后代入化简判断与两种情况. 四、双空题23.已知偶函数,写出一组使得恒成立的实数、的取值:_______,_______.【答案】 (只需满足即可)【分析】利用偶函数的定义可求得的值,利用可得出的取值范围,即可得解.【详解】因为函数为偶函数,则,可得,则,,所以,.故答案为:;(只需满足即可).24.某购物网站在年月开展“买三免一”活动,规则是“购买件商品,最便宜的一件商品免费”,比如如下结算案例:包的价格为元,衣服的价格为元,鞋的价格为元,用户应支付元,减免价格最低商品价格元,实际支付元,实际折扣约折,立省元.(1)如果在此网站上购买的三件商品价格分别为元、元、元,按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是________折;(2)在这个网站上购买件商品,按照“买三免一”的规则,这件商品实际折扣力度最大约为________折(保留一位小数).【答案】 【分析】(1)按照“买三免一”的规则可计算可得出购买这三件商品的实际折扣;(2)设在这个网站上购买件商品,这件商品的价格从高到低依次为元、元、元,即,利用不等式的基本性质可求得结果.【详解】解:(1)因为,按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为是折;(2)设在这个网站上购买件商品,这件商品的价格从高到低依次为元、元、元,即,所以,这件商品实际折扣为,且,当且仅当时,等号成立,故这件商品实际折扣力度最大约为折.故答案为:(1);(2).
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