精品解析：北京市第一零九中学2021-2022学年八年级下学期数学期中试题

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北京市第一零九中学 2021～2022 学年度第二学期期中检测
八年级数学试卷

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. x为任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于等于0可以确定x的取值范围.
【详解】函数中，
解得，
故选：B.
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，正确列式是解题的关键.
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B、是最简二次根式，此项符合题意；
C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
3. 下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ）

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
5. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项．
【详解】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A. B. C正确，D错误.
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解．
6. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 1，，2 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝22
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
C、∵22+32≠42
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
D、∵42+52≠62
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．
7. 如图，正方形的面积为8，菱形的面积为4，则的长是（ ）

A. 4 B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
【详解】解：连接AC，如下图所示：

∵正方形ABCD的面积为8，
∴AD=，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：
，
∵菱形AECF的面积为4，
∴×EF×AC=4，
∴EF=2.
故答案选：C．
【点睛】此题考查了正方形性质，熟练掌握正方形和菱形的面积计算公式是解决此题的关键．
8. 如图，平面直角坐标系中，在边长为1正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点P的运动路线可得出点P纵坐标的变化，从而可确定函数图象．
【详解】解：∵点P在正方形ABCD的边上运动，
∴点P的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系的图象应该有四条，分别是：
①当点P在AB上，由点A运动到点B时，纵坐标y的值由2变为1；
②当点P在BC上，由点B运动到点C时，纵坐标y的值不变为1；
③当点P在CD上，由点C运动到点D时，纵坐标y的值由1变为2；
④当点P在DA上，由点D运动到点A时，纵坐标y的值不变为2；
由此可知选项D正确，
故选：D
【点睛】本题是一道动点的函数问题．主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
二、填空题（本题共 29 分，9-17 题每小题 3 分，18 题 2 分）
9. 如图，在数轴上点A表示的实数是______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，利用勾股定理求出，即可得解．
详解】解：如图，，
∴，
∴，
∴点表示的实数是：．
故答案为：．

【点睛】本题考查实数与数轴．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应，是解题的关键．本题还考查了勾股定理．
10. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性求出x和y，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，掌握“非负数之和等于0时，各项都等于0”是解题的关键．
11. 在平面直角坐标系中，已知点，如果以为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】需要分类讨论：以AB为该平行四边形的边和对角线两种情况．
【详解】解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB=OC，

∵点A（1，1），B（-1，1），O（0，0）
∴点C坐标（-2，0）或（2，0）
②当AB为该平行四边形的对角线时，C（0，2）．
故答案是：（-2，0）或（2，0）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．解答本题关键要注意分两种情况进行求解．
12. 笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点D与点C被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则C，D之间的距离为_____．

【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理可得AB=5，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，
∵AC的长为3km，BC的长为4km，
∴AB=5km，
∵D点是AB中点，
∴.
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．
13. 如图，在矩形 ABCD 中， E，F 分别是 AD，BC 边上的点，AE=CF，∠EFB=45°，若 AB=6，BC=14， 则 AE 的长为_____．

【答案】4
【解析】
【分析】过E点作EH⊥BC于H点，可证四边形ABHE是矩形，得BH＝AE，AB＝EH＝6，再证△EFH是等腰直角三角形，得到FH＝EH＝AB＝6．设AE＝CF=a，则BH＝FC＝a，由BC＝14可列方程，即可求得答案．
根据BC＝14可构造关于AE的方程求解．
【详解】解：过E点作EH⊥BC于H点，则∠EHF＝∠BHE＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴BH＝AE，AB＝EH＝6，
∵∠EFB＝45°，
∴∠FEH＝90°－∠EFB＝45°，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴FH＝EH＝AB＝6．
设AE＝CF=a，则BH＝FC＝a，
∵BC=14，
∴BH＋HF＋FC＝14，
∴a+6+a＝14，解得a＝4．
即AE＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元一次方程等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14. 如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______.

【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，AB∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积．
【详解】∵四边形是菱形，
∴.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴.
∴.
故答案为：1，.
【点睛】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AF=HD=1是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，-2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是________．

【答案】5
【解析】
【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解．
【详解】解：连接AC，

∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
16. 如图，将ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB'C'D’，点B’恰好落在BC边上，则∠DAB'= __________°.

【答案】75
【解析】
【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DAB′=75°．
故答案为75．
17. 如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
【详解】解：连接 ，
四边形是菱形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
当取最小值时，的值最小，
当时，最小，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
18. 下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，△ABC．
求作：直线AD，使AD∥BC．
作法：如图2：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于点E、F；
②作直线EF，交AC于点O；
③作射线BO，在射线BO上截取OD（B与D不重合），使得OD = OB；
④作直线AD．
∴ 直线AD就是所求作的平行线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ＯA =OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）（填推理依据）．
∴AD∥BC（ ）（填推理依据）．
【答案】 ①. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ②. 平行四边形对边平行
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定及性质依次判断即可.
【详解】证明：连接CD，
∵OA=OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∴AD∥BC (平行四边形的对边平行)，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行.
【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键.
三、解答题（本题共 55 分，19 题每小题 4 分共 8 分.20-23 题每小题 5 分，24 题 6 分，25-27 题每小题 7分）
19. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．

【答案】见解析.
【解析】
【分析】由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可得证．
【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB＝180°，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴BE＝DF．
【点睛】此题考查了矩形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
20. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，点A落在点A′处，折痕为DG，求AG的长．

【答案】AG=3．
【解析】
【分析】由折叠的性质得∠BA′G=∠DA′G=∠A=90°，A′D=6，由勾股定理得BD=10，得出A′B=4，设AG=A′G=x，则GB=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【详解】∵矩形ABCD折叠后AD边落在BD上，
∴∠BA′G=∠DA′G=∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴A′D=6，BD===10，
∴A′B=4，
设AG=A′G=x，则GB=8-x，
由勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，
∴AG=3．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．
21. 如图，在ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE.

（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE交AB于点F，若，，求AD的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证四边形AEBD是平行四边形，再因为BE＝BD，即可由菱形的判定定理得出结论；
（2）连接DE交AB于F，根据四边形AEBD是菱形，得出AB⊥DE，从而证得∠EDC ＝∠EFB＝90°.得用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∵DB＝DA， BE＝BD，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BE＝BD，
∴四边形AEBD是菱形
【小问2详解】
解：如图，连接DE交AB于F，

∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，
∴∠EFB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC.
∴∠EDC ＝∠EFB＝90°.
∵DC＝，DC：DE＝1：3，
∴DE＝.
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得
∴AD＝.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解题词的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）BC与B1C1的位置关系是　 　，AA1的长为　 　；
（3）若点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为　 　．

【答案】（1）见解析；（2）BCB1C1，；（3）（-a，-b））
【解析】
【分析】（1）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数画出图形即可；
（2）根据图形可得出BCB1C1，根据勾股定理得出AA1的长为；
（3）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数得出P1的坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）∵B（-4,1），C（-3,3），，
∴BCB1C1，
＝；
故答案为BCB1C1，；
（3）∵点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
∴点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为，
故答案为．
23. 学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程y（千米）与出发的时间x（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）甲车行驶的路程为______千米；
（2）乙车行驶的速度为______千米／时，甲车等候乙车的时间为______小时；
（3）甲、乙两车出发________小时，第一次相遇；
（4）甲、乙两车出发________小时，相距20千米．
【答案】（1）560；（2）80，0.5；（3）2；（4）1， 3，4.25.
【解析】
【分析】(1)根据函数图象中的数据可以写出甲行驶的路程；
(2)根据函数图象中的数据可以求得乙车行驶的速度和甲等候乙车的时间；
(3)根据函数图象中的数据可以计算出甲、乙两车第一次相遇的时间；
(4)根据题意可以计算出两车相距20千米时行驶的时间.
【详解】(1)由图象可得，
甲行驶的路程为560千米，
故答案为： 560；
(2) 乙车行驶速度为：5607=80千米/时， 甲车等候乙车的时间为：4080=0.5小时，
故答案为：80，0.5；
(3) a=32080=4， c=320+40=360，
当时，甲车的速度是: (360-60)  (4-1) =100千米/时，
设甲、乙两车c小时时，两车第一次相遇，80c=60+100 (c-1)，
解得，c=2，
故答案为：2；
 (4) 当甲、乙两车行驶t小时时，相距20千米，
当时，80t-60t=20，得t=1，
当时，，解得t=1（舍去），t=3，
当时，360-80t=20，解得t=4.25，
综上，当甲、乙两车行驶1小时、3小时或4.25小时，两车相距20千米，
故答案为：1，3，4.25.
【点睛】此题考查一次函数的应用，正确理解函数图象的意义，根据图象提供的信息正确计算是解题的关键.
24. 已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．

【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）证是等腰直角三角形即可得；
（2）①先证得，由知，证得，，由知是等腰直角三角形，从而得；②连接，证四边形是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，

四边形是正方形，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①如图所示，连接、，

是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
∵
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
即；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
又且，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，，
，
则．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点．
25. 在平面直角坐标系中，对于点，如果点满足条件：以线段为对角线的正方形，且正方形的边分别与轴，轴平行，那么称点为点的“和谐点”，如下图所示．
已知点，，．

（）已知点的坐标是．
①在，，中，是点的“和谐点”的是__________．
②已知点的坐标为，如果点为点的“和谐点”，求的值；
（）已知点，如果线段上存在一个点，使得点是点的“和谐点”，直接写出的取值范围．
【答案】（）①，；②或；（2）或
【解析】
【分析】（1）①画出图形，根据“和谐点”的定义判断即可；②画出图形，根据“和谐点”的定义解决问题即可；
（2）作出点D，E的“和谐点”，利用图象法可得结论．
【详解】解：（）①如图，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点E，点F，

故答案为：点E，点F；
过点作轴于点，如图，

点的坐标为且，
点为点的“和谐点”，
，
或
（）如图，

观察图形可知，点M在线段DE上，
∴点M的“和谐点”在线段HF和NG上，且H（-3，0），F（-1，0），N（1，0），G（3，0）
∴的取值范围为：或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
26. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．

（1）在①平行四边形② 菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；
（2）在“完美”四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接 AC．
① 如图 1，求证：AC 平分∠BCD；
②如图 2，当∠BAD=90°，用等式表示线段 AC，BC，CD 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）④ （2）①证明见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据各种图形的性质，由“完美四边形”定义可求解；
（2）①延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，先证明△ADC≌△ABE（SAS），得到∠ACD＝∠AEB，AC＝AE，进进一步得到∠ACB＝∠AEB，结论得证；
②延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，先证明△ADC≌△ABE（SAS），得到∠CAD＝∠BAE，AC＝AE，CD＝BE，即△ACE为等腰三角形．再证△ACE是等腰直角三角形．由勾股定理得到，进一步即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵平行四边形的一组邻边不一定相等且对角不一定互补，菱形的邻边相等但对角不一定互补，矩形的对角互补但邻边不一定相等，正方形的邻边相等且对角互补，
∴由“完美四边形”的定义可得正方形一定是“完美四边形”，①②③都不一定是“完美四边形”．
故答案为：④
【小问2详解】
①证明：如图①，延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵AB=AD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE，
∴∠ACB＝∠AEB．
∴∠ACD＝∠ACB．
即AC平分∠BCD；
②．
理由如下：如图②，延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵AB=AD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠CAD＝∠BAE，AC＝AE，CD＝BE，
∴△ACE为等腰三角形．
∵∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝90°，
∴∠EAC＝∠BAE＋∠BAC＝∠90°
∴△ACE等腰直角三角形．
∴，
∴．
∵CE＝BC＋BE＝BC＋CD，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．