精品解析：北京市西城市三帆中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份精品解析：北京市西城市三帆中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京三帆中学2022-2023学年度第二学期期中试卷初二数学学科
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义得出答案．
【详解】解：A、，故不是最简二次根式；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故不是最简二次根式；
D、，故不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
2. 已知，对角线交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A、，一定成立，故该选项不符合题意；
B、，一定成立，故该选项不符合题意；
C、，不一定成立，故该选项符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，∴，∴，一定成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3. 下列化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式化简及运算法则计算即可．
【详解】解：A. ，选项A错误，不符合题意；
B. ，选项B错误，不符合题意；
C. ，选项C错误，不符合题意；
D. ，选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的化简及运算，熟记其运算法则是解题的关键．
4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，是边上的中线，那么的长为（ ）

A. 2.5 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理可得,则，即是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：由勾股定理可得,
∴，即是直角三角形，
∵是边上的中线，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识点，根据勾股定理逆定理判定是直角三角形是基础，掌握斜边上的中线的性质是解题的关键．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 有一个角是直角的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，本选项不符合题意；
B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，原说法错误，本选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，本选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，原说法错误，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般．
6. 如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（ ）

A. 16 B. C. 12 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点坐标，求得，由菱形性质得，根据勾股定理求得，根据面积公式求菱形面积．
【详解】如图，，
中，
∵菱形面积=
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，运用勾股定理求线段长是解题的关键．
7. 一次函数和的图像如图所示，几位同学根据图像得到了下面的结论：
甲：关于，的二元一次方程组的解是
乙：关于x的一元一次方程的解是．
丙：关于x的一元一次方程的解是．
三人中，判断正确的是（ ）

A. 甲，乙 B. 甲，丙 C. 乙，丙 D. 甲，乙，丙
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像可知，方程组的解是直线的交点可知甲正确，乙错误，用待定系数法求出，判断丙正确．
【详解】根据图像可知，方程组的解是交点，
∴解是，
故甲正确，
x的一元一次方程的解是，
故乙错误，
把点，代入，
解得，，
，
当，
，
故丙正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了函数交点问题，解题的关键是掌握二元一次方程组可以转化成一次函数交点求解．
8. 如图1，中，D是边的中点，，点P是边上的动点．设，图2中的函数图象反映三角形中的一个变量y随着x的变化而变化的情况，那么变量y可能是（ ）

A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 的度数
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的哪条线段符合要求，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
如果是线段的长，则y随x的增大先减小再增大，且后来的最大值大于开始时的最大值，与图2相符，故选项A符合题意；
如果是线段的长，则y随x的增大而减少，与图2不符，故选项B不符合题意；
如果是线段的长，则y随x的增大先减小再增大，且后来的最大值小于开始时的最大值，与图2不符，故选项C不符合题意；
如果是的度数，则y随x的增大先增大再减小，与图2不符，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 一次函数的图象经过一、二、三象限，那么______0，_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据一次函数的图象性质求解．
【详解】一次函数图象经过一、二、三象限，则，
故答案为： ，．
【点睛】本题考查一次函数图象性质，掌握图象性质是解题的关键．
11. 小明带了40元钱去超市买大米，大米售价为8元/千克，若小明买了x千克大米，还剩下y元，写出y与x的函数解析式_______ ，其中自变量x取值范围是_______ ．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据题意写出函数解析式，并判断自变量x取值范围．
【详解】根据题意可得，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，．
【点睛】此题考查了函数解析式，解题的关键是读懂题意并根据题意写出函数解析式．
12. 如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定义可得，，，，，，从而证明四边形是平行四边形，再根据，，，可得，从而证明四边形是矩形，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质、平行四边形的判定和矩形的判定，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
13. 如图，正方形的对角线交于点O，延长到点E，使，与交于点F，那么为__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的判定和性质以及三角形的外角性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵正方形的对角线交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14. 如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，点P是对角线上的一个动点，则线段的最小值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点O，连接，，交于点，根据正方形的性质可得点A、C关于对称，从而可得，再根据当点E、P、C在一条直线上时，的值最小，即最小值为，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于点O，连接，，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点A、C关于对称，
∴，
∴当点E、P、C在一条直线上时，的值最小，即为的长，
∵，点E是的中点，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段和最小值，熟练掌握正方形的性质得到是解题的关键．
15. 有这样一道作图题：
已知：如图，点A在直线l外．
求作：过点A且平行于l的直线．

李同学的做法如下：
①在直线l上任取两点B，C，连接；
②以A为圆心，为半径作弧；
③以点C为圆心，为半径作弧，与前弧交于点D，且点D与点B位于的两侧；
④作直线．
则直线为所求．

请根据作法判断，李同学这样做的依据是：
（1）_____________________________；
（2）______________________________．
【答案】 ①. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②. 平行四边形的对边平行
【解析】
【分析】李同学实际画的是一个平行四边形，再根据平行四边形两组对边分别平行可得过点A与直线l平行的直线．
【详解】解：由作图知：，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∴（平行四边形的对边平行）．
即．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行．
【点睛】本题考查复杂作图与平行四边形的性质与判定，熟悉基本几何图形的性质，将复杂作图化简为简单作图是关键．
16. 已知一次函数（a，b是常数，且），如果，有下列说法：
①它的图象经过点；
②直线与x轴的交点坐标为；
③若，那么；
④方程的解是．
其中正确的是（写序号）__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用一次函数的性质可判断①和②；利用不等式的性质可判断③；解方程可判断④．
【详解】解：一次函数，且，
当时，则，∴它的图象经过点，故①正确；
当时，则，∴，
∴直线与x轴的交点坐标为，故②不正确；
∵，∴，即，整理得，
∴，∴，故③正确；
∵，∴，∵，
∴，故④正确；
综上，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，不等式的性质，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（17题12分，18-20每题5分，21，22，24每题7分；23，26每题6分，25题8分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）0 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的加减运算法则计算即可；
（3）先根据平方差公式计算，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
．
【小问2详解】
解：

．
【小问3详解】
解：，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简各二次根式是解答本题的关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点在对角线BD上，且，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】求出OE＝OF，根据两条对角线互相平分四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
【详解】证明：连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键．
19. 已知与互为相反数，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】由相反数的性质，可得二元一次方程组，解之求出x、y的值；然后代入计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，互为相反数的性质，以及非负数的性质和应用，代数式求值，要熟练掌握，注意加减法和代入法的应用．
20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像直线l与x轴交于点，与y轴交于点B，与正比例函数的图像交于点

（1）画出正比例函数的图像，并求的值；
（2）求直线的解析式及点B的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2），
【解析】
【分析】（1）先用描点法画出函数图像，然后将代入即可求得m的值；
（2）先用待定系数法求得函数解析式，然后令求得y，即可确定点B的坐标．
【小问1详解】
解：画出函数图像如图所示：
将代入可得：．
【小问2详解】
解：由（1）可得，
设直线的解析式为，
将和代入函数解析式可得：
，解得：
∴直线的解析式为；
令时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数图像的性质等知识点，掌握运用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
21. 如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别交于点F，E．

（1）猜想图中四边形的形状是______形，并证明你的猜想；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）菱，证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）设与交于点O，由线段垂直平分线的性质可得，，，然后证明，得出，再根据四条边都相等的四边形是菱形得出结论；
（2）首先用含的式子表示出，再利用勾股定理构建方程求出即可．
【小问1详解】
解：四边形的形状是菱形；
证明：设与交于点O，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的形状是菱形；
故答案为：菱；
【小问2详解】
解：由（1）知，四边形的形状是菱形，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴菱形的周长．
【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用各性质是解题的关键．
22. 一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B

（1）求的面积；
（2）点为轴上一点，点为坐标平面内另一点，若以为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）6 （2），，，
【解析】
【分析】（1）一次函数的图象与x轴交于点，代入解得，即，可解得的面积；
（2）根据菱形的各边都相等，可有四种情况，再根据其性质分类讨论求解即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象与x轴交于点，代入解得，即,
所以；
【小问2详解】
解：如图，在中，，根据勾股定理

①在菱形中，,则；
②在菱形中，,则；
③在菱形中，,则；
④在菱形中，,且,
设，则，在中，,
即，解得，解，所以，
综上，的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、菱形的性质，用分类讨论的思想是解题的关键．
23. 公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得整理前人的几何成果，形成了《几何原本》一书，书中的公理化思想对几何学发展起到了重要作用．在《几何原本》中，图形之间的“等于”、“和”意味着这些图形可以通过适当的变换进行转化．
（1）下面是《几何原本》中证明两个平行四边形“相等”的思路；
如图1，在两条平行线，之间有两个平行四边形和，那么这两个平行四边形（的面积）相等．

证明：因为四边形和是平行四边形，
所以，依据：_________．且，．
所以，，因此_______．
从它们中同时减去（的面积），再同时加上_________（的面积），即得结论．
（2）如图2，网格中每个小正方形的边长为1，可将正方形通过适当的剪拼，变成一个面积与它相等的平行四边形，且平行四边形有一组对边的长度为5，请在图中画出分割线以及所拼出的平行四边形．

（3）在《几何原样》第一卷的命题47中提到了勾股定理：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和”下面的几幅图巧妙地通过变换完成了勾股定理的“无字证明”，但图的顺序被打乱了，仅知道图②应排在第一张，图④是最后一张，请补全其余三幅图的顺序，完成勾股定理的证明：②，________，________，________，④．

【答案】（1）平行四边形的对边相等；；；
（2）见解析； （3）⑤①③
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定以及等量代换进行填空即可；
（2）根据所拼出的平行四边形有一组对边的长度为5结合勾股定理可确定分割线的位置，然后再进行剪拼即可；
（3）根据平行四边形的面积和正方形的面积易得图⑤中两个平行四边形的面积分别等于两个小正方形的面积，再根据平移的性质推理即可．
【小问1详解】
证明：因为四边形和是平行四边形，
所以，依据：平行四边形的对边相等．且，．
所以，，因此．
从它们中同时减去（的面积），再同时加上（的面积），即得结论．
故答案为：平行四边形的对边相等；；；
【小问2详解】
解：如图，为分割线，所拼出的平行四边形是平行四边形，且；
【小问3详解】
解：由图可得：图⑤中两个平行四边形的面积分别等于两个小正方形的面积，图①中两个平行四边形的面积也分别等于两个小正方形的面积，将两个平行四边形整体下移，可得到图③，将图③中的三角形阴影图形移动到下方，即可得到图④．由此即可证明直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和．
所以正确的顺序是②⑤①③④，
故答案为：⑤①③．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的证明，结合图形证明是解题的关键．
24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他探究过程，请你补充完整：
（1）若，，则；________；_______；
（2）小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：
②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；
③若．则的最小值为________．
【答案】（1）；
（2）①见详解②③
【解析】
【分析】（1）将，分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值．
【小问1详解】
解：当，时，
，
．
故答案为：；；
【小问2详解】
①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
∵都是正数，
∴都是正数，
∴．
故答案为：；
③∵，
∴当时，取最小值，
此时，即，
整理，可得，
∴，
∵，
∴，
此时，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
25. 已知正方形，F是上一点，以为斜边作等腰，点H是延长线上一点，过点E作交边于点G．

（1）如图①，求证：；
（2）如图②，当时，连接，求证：且；
（3）在图②中连接，若，，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）40
【解析】
【分析】（1）证明，即可解答；
（2）过点E作的垂线段交于，证明，即可解答；
（3）证明四边形为正方形，求得的长，即可解答．
【小问1详解】
证明：等腰，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，过点E作的垂线段交于，

，是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，即；
【小问3详解】
解：如图，连接

，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是正方形，
在中，，
，
，
正方形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为．已知点，．

（1）已知点，，，其中满足的点有：_________；
（2）若点K在直线上，且满足，请直接写出K点横坐标的取值范围；
（3）在中，若三条边的“直角长度”都相等，则称该三角形为“等距三角形”．若点C是平面内一点，且为“等距三角形”，请直接写出点C的坐标：_______．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）分别计算，按照题意选出符合条件的点即可；
（2）设，用表示，根据，对的取值范围进行讨论化简绝对值，即可解答；
（3）设，求出，根据题意列方程，进行分类讨论，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得，
，
，
满足的点有,
故答案为：；
【小问2详解】
解：设，
则，
即，
当时，，解得，故不成立；
当时，恒成立；
当时， ，解得不成立，
综上所述，K点横坐标的取值范围为；
【小问3详解】
解：设，
可得，
为“等距三角形”，
可得方程，
①当时，
当时，可得方程，方程无解；
当时，可得方程，解得，故；
当时，可得方程，方程无解；
②当时，
当时，可得方程，解得（舍去）；
当时，可得方程，方程无解；
当时，可得方程，解得（舍去）；
②当时，
当时，可得方程，方程无解；
当时，可得方程，解得，故
当时，可得方程，方程无解；
综上所述，或者，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，二元一次方程的应用，正确地进行分类讨论是解题的关键．