初二数学北师大版春季班 第14讲 特殊的平行四边形--基础班 试卷

第14讲  特殊的平行四边形

知识点1：矩形

1.矩形的性质：

（1）矩形具备平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线平分且相等

（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

2.矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形

【典例】

例1（2020春•西华县期末）如图所示，长方形纸片ABCD中，点E是AB的中点，且AE＝1，DE的垂直平分线MN恰好经过点C，则BC边的长度为（　　）

A．2 B． C． D．1

【方法总结】

本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．

例2（2020春•福州期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO＝1，BO＝2，AB．

求证：四边形OCED是矩形．

【方法总结】

本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明∠COD＝90°是本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•襄汾县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）

A．OA＝OC B．AC＝BD C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA

2．（2020春•原州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2，求矩形ABCD的面积．

知识点2：菱形

1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；

           （2）菱形的四边都相等；

           （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

           （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；

菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形；

【典例】

例1 （2020春•桂林期末）一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（　　）

A．8 B．10 C．15 D．20

【方法总结】

本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积＝菱形的对角线长乘积的一半是解题的关键．

例2（2020春•无棣县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．证明：四边形ACDE是平行四边形：

【方法总结】

本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．

例3 （2020春•中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．

（1）求证：AF∥CE；

（2）当∠BAC＝________度时，四边形AECF是菱形？说明理由．

【方法总结】

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．

例4（2020春•牡丹江期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：四边形ADBF是菱形；

（2）若DE＝3，BF＝5，求AB的长．

【方法总结】

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•长清区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为AD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（　　）

A．32 B．24 C．16 D．18

2．（2020春•永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形．

知识点3：正方形

1.正方形的性质：

（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；

（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2.正方形的判定方法：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形；

（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；

（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．

【典例】

例1（2020春•东湖区期末）下列不能判断是正方形的有（　　）

A．对角线互相垂直的矩形 

B．对角线相等的矩形 

C．对角线互相垂直且相等的平行四边形 

D．对角线相等的菱形

【方法总结】

此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角或对角线相等或对角线相等．

例2（2020•碑林区校级三模）如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接BE，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：BE＝AF．

【方法总结】

本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

例3（2019春•新余期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．

【方法总结】

本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．

【随堂练习】

1．（2020•郑州校级一模）从下列四个条件：①∠ABC＝90°；②AB＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD中选择两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

2．（2020春•西丰县期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接BE，求∠DEB的度数．

 3.（2020春•越秀区期末）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．

综合运用

1．（2020春•长清区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB＝12，AD＝8，求△CDE的周长．

2.（2020春•麻城市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC＝6，EF：BF＝2：1，求菱形AEBD的面积．

3．（2020春•金平区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

4. （2020春•沂水县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形ADFE是矩形；

（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．

5.（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．

（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；

（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．