北师大版八年级下册1 因式分解当堂检测题

第8讲  因式分解（二）

 知识点1 十字相乘法

对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b．那么可以直接写成结果：．

【典例】

例1（2020春•下城区期末）已知x2+kx+12＝（x+a）（x+b），x2+kx+15＝（x+c）（x+d），其中a，b，c，d均为整数．则k＝________．

【方法总结】

本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．

例2 （2020秋•松江区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣2（x2+4x）﹣15．

【方法总结】

本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．解决本题亦可利用换元法．

例3 （2020春•绍兴期中）【阅读理解】如何将x2+（p+q）x+pq型式子分解因式呢？我们知道（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．

上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：

这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．

【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+12．

（2）﹣2x2﹣2x+12．

【方法总结】

本题考查提公因式法、十字相乘法分解因式，理解和掌握十字相乘法是正确进行因式分解的关键．

【随堂练习】

1.（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．

2．（2020秋•海淀区校级期中）若二次三项式x2+ax﹣12能分解成两个整系数的一次因式的

乘积，则符合条件的整数a的个数是________．

3．（2020春•宁远县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？

探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．

解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）

运用结论：

（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．

（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：

将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．

知识点2 分组分解法

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.

【典例】

例1 （2020春•郴州期末）阅读某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，并解决问题：

解：设x2﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）

＝y2+8y+16（第二步）

＝（y+4）2（第三步）

＝（x2﹣4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步的变形运用了________填序号）；

A．提公因式法                                    B．平方差公式

C．两数和的平方公式                              D．两数差的平方公式

（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？________（填“能”或“不能”）．如果能，直接写出最后结果________．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分行解．

【方法总结】

本题考查了分解因式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•汝阳县期中）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：x2﹣xy+4x﹣4y

＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）

＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）

＝（x﹣y）（x+4）．

乙：a2﹣b2﹣c2+2bc

＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）

＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）

＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

（1）m3﹣2m2﹣4m+8．

（2）x2﹣2xy+y2﹣9．

知识点3  因式分解的综合应用

【典例】

例1（2020春•九江期末）解答下列问题

（1）一正方形的面积是a2+6ab+9b2（a＞0，b＞0），则表示该正方形的边长的代数式是________．

（2）求证：当n为正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2能被8整除．

【方法总结】

此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．

例2（2020春•舞钢市期末）如图，把一个长方形纸板剪切成图示的9块，其中有2块边长是a的大正方形，2块是b的小正方形，还有5块长、宽分别是a和b的长方形，且a＞b．

（1）通过观察图形，把多项式2a2+5ab+2b2分解因式．

（2）若4个正方形的面积和是58，每块长是a宽是b的小长方形的面积是10，求下面代数式的值．

①a+b；

②a2b+ab2．

【方法总结】

本题考查了因式分解，能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•靖远县期末）观察下面的因式分解过程：

am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）

利用这种方法解决下列问题：

（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm

（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．

2．（2020春•永年区期末）请利用因式分解说明993﹣99能被100整除．

综合运用

1．（2020春•永定区校级期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是_________．

2．（2020春•相城区期中）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求nm的值．

3．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）

4．（2020春•富平县期末）先阅读下列材料，再解答下列问题

分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1

将：将a+b看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2

再将M换原，得原式＝（a+b﹣1）2

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：

（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2．

（2）（n2+3n+2）（n2+3n）+1．

5．（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．

解：∵a2＝3﹣a

∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12

∵a2+a＝3

∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9

∴a2（a﹣4）＝9

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．

（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．